1、 2022年中考数学复习专题26：平面向量【一】向量的概念1.向量有关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模（2）零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的（3）单位向量：长度等于1个单位的向量（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量2.有关平面向量概念易错点：（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混淆（4）非零
2、向量与的关系：是与同方向的单位向量，是与反方向的单位向量（5）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小（6）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件1.例题【例1】给出下列结论：数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【
3、答案】D【解析】向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，正确；实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，正确；数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，正确；数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，正确.【例2】下列命题中，正确的个数是（ ）单位向量都相等；模相等的两个平行向量是相等向量；若，满足且与同向，则；若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；若，则A0个B1个C2个D3个【答案】A【解析】对于，单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故错误；对于，模相等的两个平行向量是相等向
4、量或相反向量，故错误；对于，向量是有方向的量，不能比较大小，故错误；对于，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故错误；对于，时，则与不一定平行综上，以上正确的命题个数是02.巩固提升综合练习【练习1】给出下列命题：若则；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；的充要条件是且；若，则；其中正确命题的序号是 .【答案】【解析】正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.正确，且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平
5、行四边形，则且，因此，.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.【二】平面向量的线性表示1.平面向量的线性运算技巧：（1）不含图形的情况：可直接运用平行四边形法则和三角形法则求解；（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置；（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形
6、式；（3）比较、观察可知所求.3.两个重要结论：（1）位线段的中点;（2）为的重心.4.关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解1.例题【例1】在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【解析】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.【例2】在梯形ABCD中，3，则等于(
7、)A B C. D【解析】在线段AB上取点E，使BEDC，连接DE，则四边形BCDE为平行四边形，则；故选D.【例3】已知A，B，C为圆O上的三点，若则与的夹角为_【解析】由可得O为BC的中点，则BC为圆O的直径，即BAC90，故与的夹角为90.2.巩固提升综合练习【练习1】在正方形中，为的中点，若，则的值为（ ）ABCD1【答案】B【解析】由题得,.故选：B【练习2】已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足：，则P一定为ABC的()A重心 BAB边中线的三等分点(非重心)CAB边中线的中点 DAB边的中点【解析】如图所示：设AB的中点是E，O是三角形ABC的重心，2，
8、P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心，故选B.【练习3】如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为 （ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，.设=所以当时，上式取最小值 ，选A.【三】向量共线的应用1.共线向量定理：向量()与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得2.平面向量共线定理的三个应用：3.求解向量共线问题的注意事项：（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用；（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量
9、共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线；（3）直线的向量式参数方程：三点共线(为平面内任一点，)1.例题【例1】设两个非零向量与不共线(1)若，求证：三点共线；(2)试确定实数，使和共线【答案】（1）见解析；（2）k1.【解析】(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，共线又它们有公共点B，A，B，D三点共线(2)假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.【例2】已知点，则与向量的方向相反的单位向量是（ ）A.B.C
10、.D.【解析】,向量的方向相反的单位向量为，2.巩固提升综合练习【练习1】设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积的比值是()A. B. C. D.【解析】因为2，所以，又PAB在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等，所以.【练习2】设向量，不平行，向量与平行，则实数_【解析】因为向量与平行，所以，则所以【四】平面向量基本定理及应用1.平面向量基本定理:如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2.平面向量基本定理的实质及解题思路：（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行
11、四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1.例题【例1】如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简，所以，即，【例2】在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则 的 取值范围为_【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以，所以 ， ，故的取值范围. 2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别在边CD和BC上，且3 ，3 ，若mn，其中m，nR，则mn_.
12、【解析】由题设可得，又mn，故mmnn(mn)(mn)，而()，故mn. 故应填答案.【练习2】如图，在中，是的中点，在边上，与交于点.若，则的值是_.【解析】如图，过点D作DF/CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.【五】平面向量的坐标运算1.平面向量的坐标运算:（1）若，则；（2）若，则；（3）设，则，.2.平面向量坐标运算的技巧：（1）向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标（2）解
13、题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解1.例题【例1】已知向量，则（ ）A B2 C5 D50【答案】A【解析】由已知，所以，故选A【例2】在平面直角坐标系中，向量n(2,0)，将向量n绕点O按逆时针方向旋转后得向量m，若向量a满足|amn|1，则|a|的最大值是()A21 B21 C3 D.1【解析】由题意得m(1，)设a(x，y)，则amn(x3，y)，|amn|2(x3)2(y)21，而(x，y)表示圆心为(3，)的圆上的点，求|a|的最大值，即求该圆上点到原点的距离的最大值，最大值为21.【例3】在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，
14、C(3,0)，动点D满足|1，则|的取值范围是()A4,6B1，1 C2，2 D1，1【解析】法一：设出点D的坐标，利用向量的坐标运算公式及向量模的运算公式求解设D(x，y)，则由|1，C(3,0)，得(x3)2y21.又(x1，y)，|.|的几何意义为点P(1，)与圆(x3)2y21上点之间的距离，由|PC|知，|的最大值是1，最小值是1.故选D.法二：根据向量的平行四边形法则及减法法则的几何意义，模的几何意义求解如图，设M(1，)，则，取N(1，)，.由|1，可知点D在以C为圆心，半径r1的圆上，|，|max|11，|min1.2.巩固提升综合练习【练习1】在矩形ABCD中，AB1，AD2
15、，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A3B2C. D2【解析】如图所示，建立平面直角坐标系：设A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，P(x，y)，根据等面积公式可得圆的半径r，即圆C的方程是(x2)2y2，(x，y1)，(0，1)，(2,0)，若满足，即，1y，所以y1，设zy1，即y1z0，点P(x，y)在圆(x2)2y2上，所以圆心到直线的距离dr，即，解得1z3，所以z的最大值是3，即的最大值是3.【练习2】如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若，则()A2 B. C. D.【解析】法一如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系
16、，设正方形边长为1，(1,1)，解之得故.法二以，作为基底，M，N分别为BC，CD的中点，因此，又，因此解得且.所以【六】向量共线（平行）的坐标表示1.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：（1）利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量(2)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若，则”解题比较方便2. 主要命题角度：（1） 利用向量共线求向量或点的坐标；（2） 利用向量共线求参数，总体难度不大.1.例题【例1】已知向量，若，则实数等于（ ）A.B
17、.C.或D.0【答案】C【解析】.【例2】若，则与同方向的单位向量_【答案】【解析】与同方向的单位向量2.巩固提升综合练习【练习1】如图，在平面四边形中，点为线段的中点若()，则的值为_【解析】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设ABBC2，则有A（0,0），B（2,0），C（2,2），E（2,1），AC2，AD2tan30，过D作DFx轴于F，DAF180904545，DFsin45，所以D（，），（2,2），（，），（2,1），因为，所以，（2,2）（，）+（2,1），所以，解得：的值为故答案为：【练习2】已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，若(ac)b，则向量a
18、与向量c的夹角的余弦值是()A. B. C D【解析】a(3,1)，b(1,3)，c(k，2)，ac(3k,3)，(ac)b，(3k)331，k2，ac321(2)4，|a|，|c|2，cosa，b， 故选A.【一】平面向量数量积的概念1.两个向量的夹角：（1）定义：已知两个非零向量和，作，则叫做向量与的夹角 （2）范围：向量夹角的范围是；与同向时，夹角0；与反向时，夹角180.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90，则与垂直，记作.2.平面向量的数量积的概念：（1）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即：=，其中是与的夹角规定：；（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投
19、影的乘积3.数量积的运算律：（1）交换律：；（2）分配律：；（3）对，4.计算向量数量积的三种常用方法：（1）定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即=，其中是与的夹角（2）基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解（3）坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解1.例题【例1】在如图的平面图形中，已知,则的值为（ ）A B C D0【答案】C【解析】如图所示，连结MN，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.【例2】已知=(2,3)，
20、=(3，t)，=1，则=（ ）A-3 B-2C2 D3【答案】C【解析】由，得，则，故选C2.巩固提升综合练习【练习1】如图，是半圆的直径，、是弧的三等分点，是线段的三等分点若，则的值是（ ）A.12B.C.26D.36【答案】C【解析】连接，由、是弧的三等分点，得AODBOC60，【练习2】已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【解析】因为，所以，所以，所以 【练习3】已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_.【解析】cta(1t)b，bctab(1t)|b|2.又|a|b|1，且a与b夹角为60，bc，0t|a|b|cos 60(1t)，01t.t2.【二】平面
21、向量数量积的性质1.向量数量积的性质：（1）如果是单位向量，则； （2）；（3）； （4）.(为与的夹角)； （5）；2.数量积的坐标运算：设则：（1）； （2）；（3）； （4）.(为与的夹角).3.求向量夹角问题的方法：（1）当是非坐标形式时，求与的夹角，需求出及，或得出它们之间的关系；（2）若已知，则.(为与的夹角)；.4.平面向量模问题的类型及求解方法（1）求向量模的常用方法若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式；若向量是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式：；或，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解；（2）求向量模的最值(范围)的方法代数法：把所求的模表示成某
22、个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解5.平面向量垂直问题的类型及求解方法：（1）判断两向量垂直计算出这两个向量的坐标；根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可（2）已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数1.例题【例1】已知平面向量不共线，且，记与 的夹角是，则最大时，（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则，所以.易得，当时，取得最小值，取得最大值，此时.故选C.【例2】已知为单位向量，且=0，若 ，则_.【解析】因为，所以，所以，所以 【例3】设向量 =（1,0），
23、=（1,m）,若，则m=_.【解析】，由得：，即.2.巩固提升综合练习【练习1】若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（ ）A.B.C.D.【解析】将平方得：，解得： .所以向量与的夹角是.【练习2】已知非零向量与满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B【练习3】已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.【解析】由|2ab|，得4 a 24 abb210，得44|b|cos45|b|210，即62|b|b|20，解得|b|3或|b|(舍去)【三】平面向量的综合应用1.向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形
24、放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决（2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解2.向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）：（1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题（2）工具作用：利用；，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到3.向量与三角的综合应用（三角函数专
25、题中详讲）：解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解1.例题【例1】已知是平面向量，是单位向量若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）A B C2 D【答案】A【解析】设，则由得，由得因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.【例2】在，若，且，则的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【答案】C【解析】由题意可得：，故，且：，则，结合可知ABC为等边三角形.【例3】如图所示，直线x2与双曲线C：y21的渐近线交于E1，E2两点记e1，e2，任取双曲线C上的点P，若ae1be2(a，bR)，则ab的值为()A
26、. B1 C. D.【解析】由题意易知E1(2,1),E2(2，1)，e1(2,1)，e2(2，1)，故ae1be2(2a2b，ab)，又点P在双曲线上，(ab)21，整理可得4ab1，ab.【答案】A2.巩固提升综合练习【练习1】在平面四边形中，若， 则的最小值为_【答案】【解析】如图，以的中点为坐标原点，以方向为轴正向，建立如下平面直角坐标系.则，设，则，因为所以，即：整理得：，所以点在以原点为圆心，半径为的圆上.在轴上取，连接可得，所以，所以由图可得：当三点共线时，即点在图中的位置时，最小.此时最小为.【练习2】已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
27、【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.【解析】解：（1）因为，ab，（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.课后自我检测1.已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，且，则（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以,所以，故选：A.2.已知是的重心，是的中点 则_【答案】4【解析】因为是的中点，G是的重心，则，即又，所以,所以, 故答案为：.3.在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为_【答案】-3【解析】根据题意，设E（0，a），F（0，b）；a=b+2，或b=a+2；且；当a=b+2
28、时，；b2+2b2的最小值为；的最小值为3，同理求出b=a+2时，的最小值为3故答案为：3 4.在四边形中， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则_.【答案】.【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，.因为，所以，因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为.由得，所以.所以.5.已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ）A B C D 【答案】D 6.设向量a，b满足，则ab()A1 B2 C3 D5【解析】，(ab)210，即a2b22ab10.，(ab)26，即a2b22ab6.由可得ab1.故选A.7.已知a(3,2)，b(2，1)，若ab与ab平行，
29、则_.【解析】a(3,2)，b(2，1)，ab(32，21)，ab(32，2)，abab，(32)(2)(21)(32)，解得18.在平行四边形ABCD中，|3，|5，cos A，则|()A. B2 C4 D2【解析】如图，取AE的中点G，连接BG，|2|AG|222252251120，|2，故选B.9.已知锐角ABC的外接圆的半径为1，B，则的取值范围为_【解析】如图，设|c，|a，ABC的外接圆的半径为1，B.由正弦定理得2，a2sinA，c2sinC，CA，由，得A，cacos4sinAsinC2sinAsin2sinAsinAcosA3sin2Asin2Asin2Acos2Asin.A
30、，2A，sin1，3sin.的取值范围为.10.已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心【解析】因为|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为ABC的外心；由0，得，由中线的性质可知点N在三角形AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为ABC的重心；由，得0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，所以点P为ABC的垂心【答案】C11.设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积：ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b
31、2)已知向量m，n，点P在ycos x的图象上运动，点Q在yf(x)的图象上运动，且满足mn(其中O为坐标原点)，则yf(x)在区间上的最大值是()A4 B2 C2 D2【解析】因为点P在ycos x的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cos x0)，设Q点的坐标为(x，y)，则mn(x，y)(x0，cos x0)(x，y)即y4cos，即f(x)4cos，当x时，由x2x02x，所以cos124cos4，所以函数yf(x)在区间的最大值是4，故选A.12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()的最小是()A2 B C D1【解析】以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐标，则A(0，)，B(1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，所以(x，y)，(1x，y)，(1x，y)所以(2x，2y)，()2x22y(y)2x22当P时，所求的最小值为，故选B.13.已知是正的中心若，其中， ，则的值为（ ）A B C D 2【解析】由题是正的中心，延长交与 则 即 故选C.
