1、2022年中考数学复习专题16：函数中恒成立与存在性问题函数中恒成立问题【一】分离参数法利用分离参数法来确定不等式,（ ,为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤:将参数与变量分离,即化为（或）恒成立的形式；求在上的最大（或最小）值；解不等式(或) ,得的取值范围.【例1】不等式对任意恒成立，则实数的取值范围（ ）ABCD【解析】对恒成立，即对恒成立，从而求，的最小值，而故即当时，等号成立，方程在内有根，故，所以，故选D.【例2】已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范围.【解析】(1),又的图象在点处的切线的斜率为,即,；(
2、2)由（1）知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数；当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数,其中且,(1)若,且时,的最小值是2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】(1),易证在上单调递减,在上单调递增,且,当时,由,解得（舍去）当时,由,解得.综上知实数的值是.(2)恒成立,即恒成立,.又,恒成立,.令,.故实数的取值范围为.【练习2】若，恒成立，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】设,则，原不等式等价于恒成立，设是单调递增的，零点为
3、,函数y的最小值为1，故，零点是 在上单调递增，故，故.故选C.【练习3】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】，即，当时，当时，故当时，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以.当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C.【二】函数性质法利用函数性质求解恒成立问题，常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值。因含有参数，大多要分类讨论. xD,均有f(x)A恒成立,则f(x)minA； xD,均有f(x)A恒成立,则 f(x)maxg(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x)m
4、in 0； xD,均有f(x)g(x)恒成立,则F(x)= f(x)- g(x) 0, F(x) max g(x2)恒成立,则f(x)min g(x)max； x1D, x2E,均有f(x1) g(x2)恒成立,则f(x) max g(x) min.1.例题【例1】定义域为的函数满足，当时，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】因为当时，不等式恒成立，所以，当时， 当时，当时， ，因此当时，选B.【例2】若对，且，都有，则的取值范围是（ ）注:（ 为自然对数的底数，即）ABCD【答案】C【解析】因为对于,定义域为 ,所以当满足时,成立化简可得,移项合并后可得,
5、即因为,所以可等价于即满足为减函数，因为为减函数，所以,即，则 ，因为对，且，都有所以 ,即的取值范围为，故选C.【例3】已知函数，对任意x1，)，当恒成立时实数m的最大值为1，则实数a的取值范围是 【解析】对任意x1，)，有f(x)mx恒成立，即恒成立，即，又当f(x)mx恒成立时实数m的最大值为1，所以.因为所以问题等价转化为在上恒成立，即在上恒成立.设（），当时，因为，所以，因此在上是单调递增函数，所以，即在上恒成立；当时，在上，有；在上，有，所以在上为单调递减函数，在上为单调递增函数.当，有，即在上不恒成立.综合得：实数的取值范围是.2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数，当时，不等式
6、恒成立，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】D【解析】因为所以即，即当时，恒成立，所以在内是一个增函数，设，则有即 ，设则有，当时，即，当时，即所以当时，最小，即 ，故选D.【练习2】已知定义在上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题设可得，则原不等式可化为，即，也即在上恒成立，由于，因此，令，则，所以当时，函数单调递减，因，故函数在上单调递减，故，当时，函数，所以，应选答案D.【练习3】若，满足恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】（1），显然成立；（2）时，由 ，由在为增 在恒成立，由在为增，综上，故答案为.【三】数形结合
7、法对于参数不能单独放在一侧的,即不能用分离参数法解决问题时，可以利用函数图象来解：利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围.（1）对于一次函数有： （2） 对于二次函数,上恒成立；上恒成立.1.例题【例1】已知函数,在恒有,求实数的取值范围.【解析】令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线.当图象与x轴无交点满足,即,解得.当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得： ，解得,故由知.【例2】已知函数f(x)若对于tR，f(t)kt恒成立，则实数k的取值范围是_【答案】
8、，1【解析】令yx32x2x，x0，即(x1)(3x1)0，解得x1.又因为x1，所以x.令y0，得x1，所以y的增区间是(，)，减区间是(，1)，所以y极大值.根据图像变换可作出函数y|x32x2x|，x1的图像又设函数ylnx(x1)的图像经过原点的切线斜率为k1，切点(x1，lnx1)，因为y，所以k1，解得x1e，所以k1.函数yx32x2x在原点处的切线斜率k21.因为tR，f(t)kt，所以根据f(x)的图像，数形结合可得k1.2.巩固提升综合练习【练习1】已知定义在上的奇函数满足:当时,若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是（ ）A BC. D【答案】A【解析】当时,在上是
9、增函数对任意实数恒成立对任意实数恒成立,结合二次函数图象可得,故选A.【练习2】若不等式对任意恒成立,实数x的取值范围是 . 【答案】【解析】可转化为,设,则是关于m的一次型函数,要使恒成立,只需,解得.【练习3】已知函数 若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意得：设，易得，可得，与x轴的交点为，当，由不等式对任意上恒成立，可得临界值时，相切，此时，可得，可得切线斜率为2，可得切点坐标（3，3），可得切线方程：，切线与x轴的交点为,可得此时，综合函数图像可得；同理，当，由相切，（1）当，可得，可得切线斜率为-2，可得切点坐标（1，3），可得切线方程，可
10、得，综合函数图像可得，（2）当，相切，可得，此时可得可得切线斜率为-2，可得切点坐标,可得切线方程：，可得切线与x轴的交点为，可得此时，综合函数图像可得，综上所述可得，故选C.函数中存在性问题. ,使得成立,则；. ,使得成立,则 ；. ,使得成立,设, ；. ,使得成立,设,；. , , 使得成立,则；. , ,均使得成立,则., ,均使得成立,则.（其中、 ）1.例题【例1】 已知函数f(x)x，若存在x，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_【答案】 (1,5)【解析】解法1 当x1,2时，f(x)2，等价于|x3ax|2，即2x3ax2，即x32axx32，得到x2ax2，即minam
11、ax，得到1a5.解法2 原问题可转化为先求：对任意x1,2，使得f(x)2时，实数a的取值范围则有x|x2a|2，即|ax2|.(1) 当a4时，ax2225，得到a5.(2) 当a1时，x2a，有ax211，得到a1.(3) 当1a0矛盾那么有a1或a5，故原题答案为1a0，x0.(1) 对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(2) 对任意，任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(3) 对任意，存在，使成立，求实数的取值范围；(4) 存在，任意，使成立，求实数的取值范围【解答】（1） 因为对任意x1,2，都有f (x)g(x)恒成立，即对任意x1,2，x22ax1恒成立，所以a0，所以(x)
12、min(1)，所以a0，所以实数a的取值范围是.（2）函数f (x)x22ax1(xa)21a2在区间1,2上的最小值有以下三种情况：当0a1时，f (x)minf (1)22a；当1a2时，f (x)minf (a)a22a211a2；当a2时，f (x)minf (2)54a.函数g(x)的最大值为.当0，即22a，解得0a；当1a，无解；当a2时，f (x)min54a，无解综上可知，实数a的取值范围是.（3）函数f (x)x22ax1(xa)21a2在区间1,2上的最小值有以下三种情况：当0a1时，f (x)minf (1)22a；当1a2时， f (x)minf (a)a22a211
13、a2；当a2时，f (x)minf (2)54a.函数g(x)的最小值为当0，即22a，解得0a；当1a，无解；当a2时，f (x)min54a，无解综上可知，实数a的取值范围是.（4）函数g(x)的最大值为.函数f (x)x22ax1(xa)21a2在区间1,2上的最大值有以下三种情况：当0a时，解得0a0 的图象过点 1,0若对任意的 x10,2，存在 x20,2，使得 fx1+fx232a，求 ba 的取值范围.【解析】 由题意，对任意的 x10,2，存在 x20,2，使得 fx1+fx232a .所以 fminx+fmaxx32a .因为 a+b+c=0 ，所以 fx=ax2+bx-a
14、-b ，其对称轴为 x=-b2a .当 -b2a0 时，fx 在 0,2 上单调递增，所以 fminx+fmaxx=f0+f2=-a-b+3a+b=2a32a .所以 ba0 符合题意. 当 0-b2a1 即 -2ba0 时， fx 在 0,-b2a 上递减，在 -b2a,2 上递增且 f032a 得：-2ba0 符合题意.当 1-b2a2 即 -432a 得：-4-2ba-4+2所以 -4ba32a .所以 ba-4 符合题意.综上所述：所以 ba-2 .【练习2】 已知函数 fx=12ax2-2a+1x+2lnxaR（1）若曲线 y=fx 在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行，求 a
15、的值；（2）求 fx 的单调区间；（3）设 gx=x2-2x，若对 x10,2，均存在 x20,2，使得 fx10由题意知 f1=f3，即 a-2a+1+2=3a-2a+1+23，解得 a=23（2） fx=ax-1x-2xx0 当 a0 时，因为 x0，所以 ax-10，在区间 2,+ 上，fx0，故 fx 的单调递增区间是 0,2，单调递减区间是 2,+当 0a2，在区间 0,2 和 1a,+ 上，fx0，在区间 2,1a 上 fx12 时，01a0，在区间 1a,2 上，fx0，故 fx 的单调递增区间是 0,1a 和 2,+，单调递减区间是 1a,2（3） 由题意知，在 0,2 上有
16、fxmaxgxmax由已知得 gxmax=0，由（2）可知，当 a12 时，fx 在 0,2 上单调递增，故 fxmax=f2=2a-22a+1+2ln2=-2a-2+2ln2，所以 -2a-2+2ln2ln2-1，故 ln2-112 时，fx 在 0,1a 上单调递增；在 1a,2 上单调递减，故 fxmax=f1a=-2-12a-2lna由 a12 可知 lnaln12ln1e=-1，所以 2lna-2，即 -2lna2，所以 -2-2lna0，所以 fxmaxln2-1课后自我检测1已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为(1)求实数的值；(2)若对任意成立,求实数的取值范
17、围. (2)由（1）知,对任意成立对任意成立, 令,则问题转化为求的最大值,令,解得, 当时,在上是增函数；当时,在上是减函数 故在处取得最大值,即为所求. 2.已知函数,其中且,(1)若,且时,的最小值是2,求实数的值；(2)若,且时,有恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).(2)恒成立,即恒成立,.又,.令,.故实数的取值范围为.3.设函数,其中,若存在唯一的整数,使得,则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】令.由题意知存在唯一整数,使得在直线的下方.,当时,函数单调递减,当,函数单调递增,当时,函数取得最小值为.当时,当时,直线过定点,斜率为,故且,解得.4.已知函数f(x)x3ax210,若在区间1,2内至少存在一个实数x,使得f(x)e,即a1e；又a10,a1,实数a的取值范围是(1e,1.故选B.9.已知函数,若有且只有两个整数, 使得,且,则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可知, ,即, ,设,由,可知,在上为减函数,在上为增函数, 的图象恒过点,在同一坐标系中作出的图象如下：若有且只有两个整数,使得,且,则,即,解得,故选C.10.已知对任意的，总存在唯一的，使得成立（为自然对数的底数），则实数的取值范围是( )A B C D 【答案】D【解析】
