1、2022年中考数学复习专题14：导数与切线方程【一】已知切点求切线 已知切点(x0 , y0)求切线方程1. 表述：在某点处的切线方程，该点为切点。2. 求切线方程的基本思路（1） 求导：利用求导公式进行求导f (x)（2） 求k: 将切点的横坐标x0代入f (x0)=k（3） 求线：利用点斜式y-y0=f (x0)(x-x0)注意：如果切点的横坐标已知，求纵坐标，可以将切点的横坐标代入原函数（曲线）求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。1.例题【例1】曲线在点处的切线方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】，选D.【例2】函数的图象在处的切线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】当x=
2、1时，f(1)=-2+0=-2，所以切点为（1,-2）,由题得，所以切线方程为y+2=-1(x-1),即：故选：A【例3】已知函数的导函数为，且满足，若曲线在处的切线为，则下列直线中与直线垂直的是（ ）ABCD【答案】B【解析】，令，则，即.，所以的方程为，所以直线与直线垂直.选B.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)=x2ln2x，则f(x)在点(12,0)处的切线方程为（ ）Ay=0 B2x-4y-1=0C2x+4y-1=0D2x-8y-1=0【答案】B【解析】由题得f（x)=2xln2x+x21x=2xln2x+x，所以切线的斜率k=f（12)=12，所以切线方程为y-0=12(
3、x-12),2x-4y-1=0.故选：B【练习2】曲线在点处的切线方程为_【答案】2exye0【解析】函数的导数为f （x）ex+xex，则f （1）e+e2e，即切线斜率kf （1）2e，又f（1）e，即切点坐标为（1，e）所以切线方程为ye2e（x1），即切线方程为2exye0故答案为：2exye0【练习3】曲线在点（0,1）处的切线方程为_.【答案】【解析】求导函数可得，y（1+x）ex当x0时，y1曲线在点（0，1）处的切线方程为y1x，即故答案为：【二】过某点求切线 未知切点求切线方程1.表述：过某点且与函数（曲线）相切的切线方程2.求切线方程的基本思路（1）判断：判断点是否在曲线上
4、-将点代入曲线曲线等式成立即点在曲线上，那该点可能是切点可能不是切点，分类讨论；一类该点是切点，参考以上一的求法求切线方程，一类不是切点，请参考下面的方法求切点。曲线等式不成立，即该点不是切点（2）该点(x1 , y1)不是切点但在切线上时，求切线方程的思路设点：设切点(x0，y0)求x0：利用斜率的关系求切点横坐标kf(x0)=y1-y0y1-x0和y0=f(x0)（即将切点代入原函数）联立解x0求k: 利用kf(x0)求线：利用点斜式y-y0=f (x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f (x0)(x-x1)1.例题【例1】已知函数，则过（1,1）的切线方程为_【答案】【解析】 由函数
5、，则，当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为，即， 当点不是切点时，设切点，则，即， 解得或（舍去），所以所以切线的方程为，即.【例2】已知曲线f(x)=1x，则过点(-1,3)，且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 。【答案】y=-x+2或y=-9x-6【解析】设切点为(x0,y0),切线斜率k=f(x0)=-1x02 ，则切线方程是y-y0=-1x02(x-x0)，又过点(-1,3)，所以3-y0=-1x02(-1-x0)， 又y0=1x0，由解得，x0=1y0=1 或x0=-13y0=-3 ，代入切线方程化简可得：切线方程为x+y-2=0 或9x+y+6=0.2.巩固提升综合
6、练习【练习1】过点p(-4,0)作曲线y=xex的切线，则切线方程为_.【答案】x+e2y+4=0【解析】点p(-4,0)不为切点，可设出切点Mm,n，则n=mem，又y=ex+xex，则切线斜率为k=1+mem=k=nm+4，由得，m=-2,n=-2e-2,k=-e-2，故切线方程为y-0=-e-2x+4，即x+e2y+4=0，故答案为x+e2y+4=0.【练习2】过坐标原点(0,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为_.【答案】y=ex【解析】因为y=ex， 所以y=ex,设切点坐标为m,em，则切线斜率为em，切线方程为y-em=emx-m，把原点坐标代入切线方程可得m=1，所以过坐标原
7、点(0,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为y=ex,故答案为y=ex.【三】利用切线求参数 1.例题【例1】已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（）AB或CD【答案】C 【解析】，当时，切线的斜率，切线方程为，因为它与抛物线相切，有唯一解即故 ，解得，故选C.【例2】已知函数f(x)=x+a2x.若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线，则a的取值范围是（ ）A(-,1)(2,+) B(-,-1)(2,+)C(-,0)(2,+) D(-,-2)(0,+)【答案】D【解析】fx=1-a2x2，设切点坐标为（x0,x0+a2x0），则切线方程为y-x0-a2x0=(1-a2x02)
8、(x-x0)，又切线过点（1,0），可得-x0-a2x0=(1-a2x02)(1-x0)，整理得2x02+2ax0-a=0，曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足=4a2-8-a0，解得a0或a0，若x20,p0,p0,即1p=ex22-1x2在0，+有两解，令f(x)=ex2-1x,fx=ex2-1x2-1x2,0x2,fx2,fx0,fx在（0，2）单减，在（2，+）单增，fx的最小值为f2=12，又x+,fx+,x0,fx+,故1p12,解0p0恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1,x2,x3，则x2-x1tanx1-x3=_.【答案】-12【解析】由题意，直线4k
9、x-4y-k=0(k0)可得y=k(x-4)恒过定点（4，0），即x2=4k0恰有三个公共点，其直线必与（x）的相切，因为f（x）关于（4，0）对称，所以x1+x3=2x3=2-x1，导函数几何意义：f（2x1）=-sin2x1=k所以切线方程：y-cos2x1=-2sin2x1（x-x1） 过（4，0）所以2（4-x1）tan2x1=1 ，x2-x1tan(x1-x3)=x1-4tan(2-2x1) =(x1-4)tan2x1=-12 故答案为：-1237若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ex的切线，则b=_【答案】0或1【解析】直线与y=lnx+2的切点为x1,y1
10、，与y=ex的切点x2,y2故1x1=ex2且ex2-lnx1-2x2-x1=1x1，消去x2得到1+lnx11-1x1=0，故x1=1e或x1=1，故x1=1ey1=1或x1=1y1=2，故切线为y=ex或y=x+1，所以b=0或者b=1填0或138已知函数f(x)=3sinx+16x3在x=0处的切线与直线nx-y-6=0平行，则(x+1x-2)n的展开式中常数项为_【答案】-20【解析】由题意知，fx=3cosx+12x2.由题意知f0=n，即n=3.x+1x-23=x-1x6，Tr+1=C6rx6-x-1rx-r2=-1rC6rx3-r保持展开式为常数项，即3-r=0,r=3. 即常数项为-13C63=-20.故答案为：-2039若直线y=kx+b是曲线y=ex的切线，也是曲线y=ln(x+2)的切线，则k=_【答案】1e或1【解析】设y=kx+b与y=ex和y=ln(x+2)的切点分别为：x1，ex1，x2，lnx2+2由导数几何意义得：k=ex1=1x2+2，x2+2=1ex1切线方程为：y-ex1=ex1x-x1即y=ex1x-ex1x1+ex1或y-lnx2+2=1x2+2x-x2，即y=ex1x-ex1x2+ lnx2+2y=ex1x-ex1x2-x1ex11-x1=2ex1-1-x1解得x1=-1，或x1=0即k=1e或1故答案为1e或1
