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2022年中考数学复习专题14:导数与切线方程问题(含答案解析)

1、2022年中考数学复习专题14:导数与切线方程【一】已知切点求切线 已知切点(x0 , y0)求切线方程1. 表述:在某点处的切线方程,该点为切点。2. 求切线方程的基本思路(1) 求导:利用求导公式进行求导f (x)(2) 求k: 将切点的横坐标x0代入f (x0)=k(3) 求线:利用点斜式y-y0=f (x0)(x-x0)注意:如果切点的横坐标已知,求纵坐标,可以将切点的横坐标代入原函数(曲线)求纵坐标。记得切点即在切线方程上也在原函数上。1.例题【例1】曲线在点处的切线方程是( )ABCD【答案】D【解析】,选D.【例2】函数的图象在处的切线方程为( )ABCD【答案】A【解析】当x=

2、1时,f(1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),由题得,所以切线方程为y+2=-1(x-1),即:故选:A【例3】已知函数的导函数为,且满足,若曲线在处的切线为,则下列直线中与直线垂直的是( )ABCD【答案】B【解析】,令,则,即.,所以的方程为,所以直线与直线垂直.选B.2.巩固提升综合练习【练习1】若函数f(x)=x2ln2x,则f(x)在点(12,0)处的切线方程为( )Ay=0 B2x-4y-1=0C2x+4y-1=0D2x-8y-1=0【答案】B【解析】由题得f(x)=2xln2x+x21x=2xln2x+x,所以切线的斜率k=f(12)=12,所以切线方程为y-0=12(

3、x-12),2x-4y-1=0.故选:B【练习2】曲线在点处的切线方程为_【答案】2exye0【解析】函数的导数为f (x)ex+xex,则f (1)e+e2e,即切线斜率kf (1)2e,又f(1)e,即切点坐标为(1,e)所以切线方程为ye2e(x1),即切线方程为2exye0故答案为:2exye0【练习3】曲线在点(0,1)处的切线方程为_.【答案】【解析】求导函数可得,y(1+x)ex当x0时,y1曲线在点(0,1)处的切线方程为y1x,即故答案为:【二】过某点求切线 未知切点求切线方程1.表述:过某点且与函数(曲线)相切的切线方程2.求切线方程的基本思路(1)判断:判断点是否在曲线上

4、-将点代入曲线曲线等式成立即点在曲线上,那该点可能是切点可能不是切点,分类讨论;一类该点是切点,参考以上一的求法求切线方程,一类不是切点,请参考下面的方法求切点。曲线等式不成立,即该点不是切点(2)该点(x1 , y1)不是切点但在切线上时,求切线方程的思路设点:设切点(x0,y0)求x0:利用斜率的关系求切点横坐标kf(x0)=y1-y0y1-x0和y0=f(x0)(即将切点代入原函数)联立解x0求k: 利用kf(x0)求线:利用点斜式y-y0=f (x0)(x-x0)或利用点斜式y-y1=f (x0)(x-x1)1.例题【例1】已知函数,则过(1,1)的切线方程为_【答案】【解析】 由函数

5、,则,当点为切点时,则,即切线的斜率, 所以切线的方程为,即, 当点不是切点时,设切点,则,即, 解得或(舍去),所以所以切线的方程为,即.【例2】已知曲线f(x)=1x,则过点(-1,3),且与曲线y=f(x)相切的直线方程为 。【答案】y=-x+2或y=-9x-6【解析】设切点为(x0,y0),切线斜率k=f(x0)=-1x02 ,则切线方程是y-y0=-1x02(x-x0),又过点(-1,3),所以3-y0=-1x02(-1-x0), 又y0=1x0,由解得,x0=1y0=1 或x0=-13y0=-3 ,代入切线方程化简可得:切线方程为x+y-2=0 或9x+y+6=0.2.巩固提升综合

6、练习【练习1】过点p(-4,0)作曲线y=xex的切线,则切线方程为_.【答案】x+e2y+4=0【解析】点p(-4,0)不为切点,可设出切点Mm,n,则n=mem,又y=ex+xex,则切线斜率为k=1+mem=k=nm+4,由得,m=-2,n=-2e-2,k=-e-2,故切线方程为y-0=-e-2x+4,即x+e2y+4=0,故答案为x+e2y+4=0.【练习2】过坐标原点(0,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为_.【答案】y=ex【解析】因为y=ex, 所以y=ex,设切点坐标为m,em,则切线斜率为em,切线方程为y-em=emx-m,把原点坐标代入切线方程可得m=1,所以过坐标原

7、点(0,0)作曲线y=ex的切线,则切线方程为y=ex,故答案为y=ex.【三】利用切线求参数 1.例题【例1】已知曲线在点处的切线与抛物线相切,则的值为()AB或CD【答案】C 【解析】,当时,切线的斜率,切线方程为,因为它与抛物线相切,有唯一解即故 ,解得,故选C.【例2】已知函数f(x)=x+a2x.若曲线y=f(x)存在两条过(1,0)点的切线,则a的取值范围是( )A(-,1)(2,+) B(-,-1)(2,+)C(-,0)(2,+) D(-,-2)(0,+)【答案】D【解析】fx=1-a2x2,设切点坐标为(x0,x0+a2x0),则切线方程为y-x0-a2x0=(1-a2x02)

8、(x-x0),又切线过点(1,0),可得-x0-a2x0=(1-a2x02)(1-x0),整理得2x02+2ax0-a=0,曲线存在两条切线,故方程有两个不等实根,即满足=4a2-8-a0,解得a0或a0,若x20,p0,p0,即1p=ex22-1x2在0,+有两解,令f(x)=ex2-1x,fx=ex2-1x2-1x2,0x2,fx2,fx0,fx在(0,2)单减,在(2,+)单增,fx的最小值为f2=12,又x+,fx+,x0,fx+,故1p12,解0p0恰有三个公共点,这三个点的横坐标从小到大分别为x1,x2,x3,则x2-x1tanx1-x3=_.【答案】-12【解析】由题意,直线4k

9、x-4y-k=0(k0)可得y=k(x-4)恒过定点(4,0),即x2=4k0恰有三个公共点,其直线必与(x)的相切,因为f(x)关于(4,0)对称,所以x1+x3=2x3=2-x1,导函数几何意义:f(2x1)=-sin2x1=k所以切线方程:y-cos2x1=-2sin2x1(x-x1) 过(4,0)所以2(4-x1)tan2x1=1 ,x2-x1tan(x1-x3)=x1-4tan(2-2x1) =(x1-4)tan2x1=-12 故答案为:-1237若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ex的切线,则b=_【答案】0或1【解析】直线与y=lnx+2的切点为x1,y1

10、,与y=ex的切点x2,y2故1x1=ex2且ex2-lnx1-2x2-x1=1x1,消去x2得到1+lnx11-1x1=0,故x1=1e或x1=1,故x1=1ey1=1或x1=1y1=2,故切线为y=ex或y=x+1,所以b=0或者b=1填0或138已知函数f(x)=3sinx+16x3在x=0处的切线与直线nx-y-6=0平行,则(x+1x-2)n的展开式中常数项为_【答案】-20【解析】由题意知,fx=3cosx+12x2.由题意知f0=n,即n=3.x+1x-23=x-1x6,Tr+1=C6rx6-x-1rx-r2=-1rC6rx3-r保持展开式为常数项,即3-r=0,r=3. 即常数项为-13C63=-20.故答案为:-2039若直线y=kx+b是曲线y=ex的切线,也是曲线y=ln(x+2)的切线,则k=_【答案】1e或1【解析】设y=kx+b与y=ex和y=ln(x+2)的切点分别为:x1,ex1,x2,lnx2+2由导数几何意义得:k=ex1=1x2+2,x2+2=1ex1切线方程为:y-ex1=ex1x-x1即y=ex1x-ex1x1+ex1或y-lnx2+2=1x2+2x-x2,即y=ex1x-ex1x2+ lnx2+2y=ex1x-ex1x2-x1ex11-x1=2ex1-1-x1解得x1=-1,或x1=0即k=1e或1故答案为1e或1