1、1 5.2 三角函数的概念三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、 余弦、 正切)的定义(重点、难点) 2掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点) 3掌握公式并会应用. 1.通过三角函数的概念,培养数学抽象素养 2 借助公式的运算, 提升数学运算素养. 1单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆 2任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中, 设 是一个任意角, R 它的终边与单位圆交于点 P(x, y), 那么: (2)结论 y 叫
2、做 的正弦函数,记作 sin ,即 sin y; x 叫做 的余弦函数,记作 cos_,即 cos x; yx叫做 的正切,记作 tan_,即 tan yx(x0) (3)总结 yxtan (x0)是以角为自变量,以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数,正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数 3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 2 三角函数 定义域 sin R cos R tan xR xk2,kZ 4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示: (2)口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦” 5公式一 1sin(315 )的值是( ) A22 B1
3、2 C.22 D.12 C sin(315 )sin(360 45 )sin 45 22. 2已知 sin 0,cos 0,则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知,角 是第二象限角 3sin253_. 32 sin253sin83sin332. 4角 终边与单位圆相交于点 M32,12,则 cos sin 的值为_ 3 312 cos x32,sin y12, 故 cos sin 312. 三角函数的定义及应用 探究问题 1 一般地, 设角 终边上任意一点的坐标为(x, y), 它与原点的距离为 r, 则 sin , c
4、os ,tan 为何值? 提示:sin yr,cos xr,tan yx(x0) 2sin ,cos ,tan 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变? 提示:sin ,cos ,tan 的值只与 的终边位置有关,不随 P 点在终边上的位置的改变而改变 【例 1】 (1)已知角 的终边上有一点 P(x,3)(x0),且 cos 1010 x,则 sin tan 的值为_ (2)已知角 的终边落在直线 3xy0 上,求 sin ,cos ,tan 的值 思路点拨 (1) 依据余弦函数定义列方程求x 依据正弦、正切函数定义求sin tan (2)判断角的终边位置分类讨论求sin ,cos ,
5、tan (1)3 103010或3 103010 因为 r x29,cos xr, 所以1010 xxx29. 又 x0,所以 x 1,所以 r 10. 又 y30,所以 是第一或第二象限角 4 当 为第一象限角时,sin 3 1010,tan 3,则 sin tan 3 103010. 当 为第二象限角时,sin 3 1010,tan 3, 则 sin tan 3 103010. (2)解 直线 3xy0,即 y 3x,经过第二、四象限,在第二象限取直线上的点(1, 3),则 r12 322,所以 sin 32,cos 12,tan 3; 在第四象限取直线上的点(1, 3), 则 r12 3
6、22, 所以 sin 32,cos 12,tan 3. 1将本例(2)的条件“ 3xy0”改为“y2x”其他条件不变,结果又如何? 解 当角的终边在第一象限时,在角的终边上取点 P(1,2),由 r|OP|1222 5,得 sin 252 55,cos 1555,tan 212. 当角的终边在第三象限时,在角的终边上取点 Q(1,2), 由 r|OQ| 1222 5,得: sin 252 55,cos 1555, tan 212. 2将本例(2)的条件“落在直线 3xy0 上”改为“过点 P(3a,4a)(a0)”,求 2sin cos . 解 因为 r 3a24a25|a|, 若 a0,则
7、r5a,角 在第二象限, sin yr4a5a45,cos xr3a5a35, 所以 2sin cos 85351. 5 若 a0)则 sin yr,cos xr.已知 的终边求 的三角函数时,用这几个公式更方便 (2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论 三角函数值符号的运用 【例 2】 (1)已知点 P(tan ,cos )在第四象限,则角 终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)判断下列各式的符号: sin 145 cos(210 );sin 3 cos 4 tan 5. 思路点拨 (1)先判断 tan
8、 ,cos 的符号,再判断角 终边在第几象限 (2)先判断已知角分别是第几象限角, 再确定各三角函数值的符号, 最后判断乘积的符号 (1)C 因为点 P 在第四象限,所以有 tan 0,cos 0,由此可判断角 终边在第三象限 (2)解 145 是第二象限角, sin 145 0, 210 360 150 , 210 是第二象限角, 6 cos(210 )0, sin 145 cos(210 )0. 23,432,3252, sin 30,cos 40,tan 50, sin 3 cos 4 tan 50. 判断三角函数值在各象限符号的攻略: 1基础:准确确定三角函数值中各角所在象限; 2关键
9、:准确记忆三角函数在各象限的符号; 3注意:用弧度制给出的角常常不写单位,不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒:注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. 1 已知角的终边过点(3a9, a2)且cos 0, sin 0, 则实数a的取值范围是_ 2a3 因为 cos 0,sin 0, 所以角 的终边在第二象限或 y 轴非负半轴上,因为 终边过(3a9,a2), 所以 3a90,a20,所以2a3. 2设角 是第三象限角,且sin2sin2,则角2是第_象限角 四 角 是第三象限角,则角2是第二、四象限角, sin2sin2,角2是第四象限角 诱导公式一的应用 【例 3】 求值: (1)tan
10、 405 sin 450 cos 750 ; (2)sin73cos236tan154cos133. 解 (1)原式tan(360 45 )sin(360 90 )cos(2360 30 ) 7 tan 45 sin 90 cos 30 113232. (2)原式sin23cos46tan44 cos43 sin3cos6tan4cos3 323211254. 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 1定形:将已知的任意角写成 2k 的形式,其中 0,2,kZ. 2转化:根据诱导公式,转化为求角 的某个三角函数值. 3求值:若角为特殊角,可直接求出该角的三角函数值. 3化简下列各式: (1)a2si
11、n(1 350 )b2tan 405 2abcos(1 080 ); (2)sin116cos125tan 4. 解 (1)原式a2sin(4360 90 )b2tan(360 45 )2abcos(3360 ) a2sin 90 b2tan 45 2abcos 0 a2b22ab(ab)2. (2)sin116 cos125 tan 4 sin26cos25 tan 0sin6012. 1三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础,要充分理解其内涵,把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关,与所选取的点无关这一关键点 2诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等,反之不一定成立
12、,记忆时可结合三角函数定义进行记忆 3三角函数值在各象限的符号主要涉及开方,去绝对值计算问题,同时也要注意终边在8 坐标轴上正弦、余弦的符号问题 1思考辨析 (1)sin 表示 sin 与 的乘积( ) (2)设角 终边上的点 P(x,y),r|OP|0,则 sin yr,且 y 越大,sin 的值越大( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等( ) (4)终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( ) 提示 (1)错误sin 表示角 的正弦值,是一个“整体” (2)错误由任意角的正弦函数的定义知,sin yr.但 y 变化时,sin 是定值 (3)正确 (4)错误终边落在 y 轴上的角
13、的正切函数值不存在 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知角 终边过点 P(1,1),则 tan 的值为( ) A1 B1 C.22 D22 B 由三角函数定义知 tan 111. 3在平面直角坐标系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 x 轴对称,若 sin 15,则 sin _. 15 设角 的终边与单位圆相交于点 P(x,y), 则角 的终边与单位圆相交于点 Q(x,y), 由题意知 ysin 15,所以 sin y15. 4求值:(1)sin 180 cos 90 tan 0 . (2)cos253tan154. 解 (1)sin 180 cos 90 tan 0 0000. 9 (2)cos253tan154 cos83tan44 cos3tan412132.