1、2对函数的进一步认识2.1函数概念学习目标1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.知识点一函数的概念给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：AB，或yf(x)，xA.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合f(x)|xA叫作函数的值域.习惯上我们称y是x的函数.特别提醒：对于函数的定义，需注意以下几点：集合A，B都是非空数集；集合A中元素的无剩余性；集合B中元素的可剩余性，即集合B不一定是
2、函数的值域，函数的值域一定是B的子集.知识点二函数三要素一般地，函数有三个要素：定义域、对应关系与值域.其中，定义域和对应关系起决定作用，只要确定了一个函数的定义域和对应关系，这个函数也就确定，值域也随之确定.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.两点说明：(1)在没有标明函数定义域的情况下，定义域是使函数解析式有意义的x的取值范围.在实际问题中，除了要使函数式有意义，还要符合实际意义.(2)f(a)表示自变量xa时对应的函数值.知识点三区间1.区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表：定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a，bx|axb开区间(a，b)x|ax
3、b左闭右开区间a，b)x|aa(a，)x|xa(，ax|x0，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应.答案解析显然正确，由于中的集合P的元素0在集合Q中没有对应元素，并且中的集合P不是数集，从而不正确.反思感悟判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：(1)A，B必须是非空数集；(2)A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；(3)A中任何一个元素在B中的对应元素必须唯一.跟踪训练1下列对应是从集合A到集合B的函数的是()A.AR，BxR|x0，f：xB.AN，BN*，f：x|x1|C.AxR|x0，BR，f：xx2D.AR，BxR|x0，f：x考点函数的概念题点判断两个
4、变量是否为函数关系答案C解析A中，x0时，集合B中没有元素与之对应；B中，当x1时，绝对值|x1|0，集合B中没有元素与之对应；C正确；D中，当x为负数时，B中没有元素与之对应.命题角度2给出图形判断是否为函数图像例2如图可作为函数yf(x)的图像的是()答案D解析对于A，B，C中任取一个x的值，只要y有多个值与之对应，就不是函数图像，D符合函数定义.反思感悟判断一个图像是否为函数图像的方法，作任何一条垂直于x轴的直线，不与已知图像有两个或两个以上的交点的，就是函数图像.跟踪训练2下列图形中不是函数图像的是()考点函数的概念题点函数概念的理解答案A解析A中至少存在一处如x0，一个横坐标对应两个
5、纵坐标，故A不是函数图像，其余B，C，D均符合函数定义.题型二求函数的定义域例3求下列函数的定义域.(1)y3x；(2)y2；(3)y；(4)y.考点函数的定义域题点求具体函数的定义域解(1)函数y3x的定义域为R.(2)由得0x，所以函数y2的定义域为.(3)由于0的零次幂无意义，故x10，即x1.又x20，即x2，所以x2且x1.所以函数y的定义域为.(4)要使函数有意义，需解得x2，且x0，所以函数y的定义域为.反思感悟求函数定义域的常用依据(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂
6、运算有意义的实数集合；(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.跟踪训练3(1)函数f(x)的定义域为_.考点函数的定义域题点求具体函数的定义域答案x|x0且x1解析要使有意义，需满足解得x0且x1，故函数f(x)的定义域为x|x0且x1.(2)函数y的定义域是_.答案x|x1且x1解析由得所以定义域为x|x1且x1.题型三函数相等例4下列函数中哪个与函数yx相等？(1)y()2；(2)y；(3)y；(4)y.考点相等函数题点判断是否为相等函数解(1)y()2x(x0)，定义域不同，所以不相等
7、.(2)yx(xR)，对应关系相同，定义域也相同，所以相等.(3)y|x|，当x0时，它的对应关系与函数yx不相同，所以不相等.(4)y的定义域为x|x0，与函数yx的定义域不相同，所以不相等.反思感悟在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才相等.值域相等，只是前两个要素相等的必然结果.跟踪训练4下列各组中的两个函数是否为相等的函数？(1)y1，y2x5；(2)y1，y2.考点相等函数题点判断是否为相等函数解(1)两函数定义域不同，所以不相等.(2)y1的定义域为x|x1，而y2的定义域为x|x1或x1，定义域不同，所以两函数不相等.函数求值问题典例已知f(x)(xR且x1)，g
8、(x)x22 (xR).(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(2)的值；(3)求f(a1)，g(a1).解(1)因为f(x)，所以f(2).又因为g(x)x22，所以g(2)2226.(2)f(g(2)f(6).(3)f(a1).g(a1)(a1)22a22a3.素养评析(1)f(x)中的x可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，要求对应的函数值，只需把相应的x都换成对应的数或式子即可.(2)理解运算对象是求函数的值，掌握运算法则，即代入解析式求值，求得运算结果，体现了数学核心素养的数学运算.1.若f(x)，则f(3)等于()A.2 B.4 C.2 D.10
9、答案A解析f(3)2.2.函数f(x)的定义域为()A.(1，) B.0，)C.(，1)(1，) D.0,1)(1，)答案D解析由得定义域为0,1)(1，).3.对于函数f：AB，若aA，则下列说法错误的是()A.f(a)B B.f(a)有且只有一个C.若f(a)f(b)，则ab D.若ab，则f(a)f(b)考点函数的概念题点函数概念的理解答案C4.设f：xx2是集合A到集合B的函数，若集合B1，则集合A不可能是()A.1 B.1 C.1,1 D.1,0答案D解析因为当x0时，在集合B中没有值与之对应.5.下列各组函数是同一函数的是_.(填序号)f(x)与g(x)x；f(x)x与g(x)；f
10、(x)x0与g(x)；f(x)x22x1与g(t)t22t1.考点相等函数题点判断是否为相等函数答案解析f(x)x，g(x)x，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；f(x)x，g(x)|x|，对应关系不同，故f(x)与g(x)不是同一函数；f(x)x01(x0)，g(x)1(x0)，对应关系与定义域均相同，故是同一函数；f(x)x22x1与g(t)t22t1，对应关系和定义域均相同，故是同一函数.1.学习了函数及区间的概念，知道了函数的三要素，明确了区间和数集间的关系.2.在判定函数相等问题时，务必树立定义域优先的原则，若定义域相同，再化简函数解析式，分析函数的对应关系是否相同.3.由函数式求函数值时，只要认清对应法则，然后代入求值便可，即f(a)就是xa时f(x)的函数值.
