1、 2.1 平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形 中这些相关的概念 知识点一 向量的概念 1向量：既有大小，又有方向的量叫做向量 2数量：只有大小，没有方向的量称为数量 知识点二 向量的表示方法 1.向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示带有方向的线段叫做有向线段，它包含 三个要素：起点、方向、长度，如图所示 以 A 为
2、起点、B 为终点的有向线段记作AB . 2向量的字母表示：向量可以用字母 a, b, c，表示(印刷用黑体 a，b，c，书写时用 a ， b ， c) 3向量AB 的大小，也就是向量AB的长度(或称模)，即有向线段AB的长度，记作|AB|.长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0；长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量 思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？ 答案 错误 理由是： 向量只有长度和方向两个要素； 与起点无关， 只要长度和方向相同， 则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管 长度和方向相同，也是不同的有向线段 知识点三 相等向
3、量与共线向量 1相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 2平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (1)记法：向量 a 平行于 b，记作 ab. (2)规定：零向量与任一向量平行 3共线向量：由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向 量也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何 中的直线、线段的平行和共线相混淆 思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与零向量相等 的向量必定是什么向量？(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若两个向量在同一直 线上，则这两个向量一定是什么向
4、量？ 答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)零向量；(5)平行向量 1如果|AB |CD |，那么AB CD .( ) 提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小 2若 a，b 都是单位向量，则 ab.( ) 提示 a 与 b 都是单位向量，则|a|b|1，但 a 与 b 方向可能不同 3若 ab，且 a 与 b 的起点相同，则终点也相同( ) 提示 若 ab，则 a 与 b 的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同 4零向量的大小为 0，没有方向( ) 提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的 题型一 向量的概念 例 1 下列说法正确的是( ) A向量AB 与向
5、量BA的长度相等 B两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C零向量都是相等的 D若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 A 解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同； 零向量的模都是 0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故 B，C，D 都错 误，A 正确故选 A. 反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题 跟踪训练 1 下列说法中正确的是( ) A数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C向量的
6、大小与方向有关 D向量的模可以比较大小 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 D 解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故 A，B 不正确；向量的大小即为向量 的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故 C 不正确；向量的模是一个数量，可以比较 大小，故 D 正确 题型二 相等向量与共线向量 例 2 如图所示，ABC 的三边均不相等，E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点 (1)写出与EF 共线的向量； (2)写出模与EF 的模相等的向量； (3)写出与EF 相等的向量 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 解 (1)因为 E，F 分别是 AC，AB
7、 的中点， 所以 EFBC，EF1 2BC. 又因为 D 是 BC 的中点， 所以与EF 共线的向量有FE，BD ，DB ，DC ，CD ，BC ，CB. (2)模与EF 模相等的向量有FE，BD ，DB ，DC ，CD . (3)与EF 相等的向量有DB ，CD . 反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量： 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量， 再确定哪些是同向共线 (2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的 向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 跟踪训练 2 如图所示，O 是正六边形
8、ABCDEF 的中心 (1)与OA 的模相等的向量有多少个？ (2)是否存在与OA 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA 共线的向量有几个？ 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 解 (1)与OA 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以有两个向量， 所以这样的向量共有 23 个 (2)存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与OA 的长度相等、方向相反的向量有 AO ，OD ，FE ，BC，共 4 个 (3)由(2)知， BCOAEF， 线段 OD， AD 与 OA 在同一条直线上， 所以与OA 共线的向量有BC ， C
9、B ，EF，FE，AO ，OD ，DO ，AD ，DA ，共 9 个 题型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向，向西偏北 50 的 方向走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点 (1)作出向量AB ，BC，CD ； (2)求|AD |. 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何表示 解 (1)向量AB ，BC，CD 如图所示 (2)由题意，可知AB 与CD 方向相反，故AB 与CD 共线， |AB |CD |， 在四边形 ABCD 中，ABCD 且 ABCD， 四边形 ABCD
10、为平行四边形， AD BC ，|AD |BC |200 km. 反思感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的 大小确定向量的终点 跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 ba； (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c，使|c| 5，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 考点 向量的表示方法 题点 向量的几何意义及其应用 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量 b 与向量 a 平行，且长度相等(作图略) (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径
11、为 5的圆(作图 略) 特殊向量的作用 典例 给出下列命题： 若 ab，则 a 与 b 的方向相同或相反； 若 ab，bc，则 ac； 若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等； 若 ab，bc，则 ac， 其中正确的是_(填序号) 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 解析 由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取 a0，则对于任意的向量 b，都有 ab，知错误；取 b0，则对于任意的向量 a，c 都有 ab，bc，知错误； 两个模相等的向量互相平行， 方向可能相反， 知错误； 由两个向量相等的概念可知正确 素养评析 (1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需
12、要准确理解概念进行 推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养 (2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在 解决相关问题过程中容易出错 (3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立 1在同一平面内，把所有长度为 1 的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹 是( ) A单位圆 B一段弧 C线段 D直线 考点 向量的表示方法 题点 向量 答案 A 2下列结论正确的个数是( ) 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； 向量的模是一个正实数； 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量； 若|a|b|，则 ab. A0 B1
13、 C2 D3 考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 B 解析 温度没有方向，所以不是向量，故错；向量的模也可以为 0，故错；向量 不可以比较大小，故错；若 a，b 中有一个为零向量，则 a 与 b 必共线，故 a 与 b 不共 线，则应均为非零向量，故对 3若|AB |AD |且BA CD ，则四边形 ABCD 的形状为( ) A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形 考点 相等向量与共线向量 题点 相等向量与共线向量的应用 答案 C 解析 因为BA CD ，所以四边形 ABCD 为平行四边形，又|AB |AD |，即邻边相等，所以四 边形 ABCD 为菱形，故选 C. 4.如图所示，设
14、O 是正方形 ABCD 的中心，则下列结论正确的有_(填序号) AO OC ； AO AC ； AB 与CD 共线； AO BO . 考点 相等向量与共线向量 题点 几何图形中的相等向量与共线向量 答案 解析 AO 与OC 方向相同，长度相等，正确； A，O，C 三点在一条直线上，AO AC ，正确； ABDC，AB 与CD 共线，正确； AO 与BO 方向不同，二者不相等，错误 5已知 A，B，C 是不共线的三点，向量 m 与向量AB 是平行向量，与BC是共线向量，则 m _. 考点 单位向量与零向量 题点 零向量的性质 答案 0 解析 AB 与BC不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同 时与两个不共线向量平行 1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此 借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故 向量能起到数形结合的桥梁作用 2共线向量与平行向量是一组等价的概念两个共线向量不一定要在一条直线上当然，同 一直线上的向量也是平行向量 3注意两个特殊向量零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多 个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆
