1、1 3.1.1 函数的概念函数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用(重点、难点) 2了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域(重点) 3能够正确使用区间表示数集(易混点) 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养 2借助函数定义域的求解，培养数学运算素养 3借助 f(x)与 f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 1函数的概念 定义 一般地，设 A，B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数
2、y 和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 三要素 对应关系 yf(x)，xA 定义域 自变量 x 的取值范围 值域 与 x 的值相对应的 y 的函数值的集合f(x)|xA 思考 1：(1)有人认为“yf(x)”表示的是“y 等于 f 与 x 的乘积”，这种看法对吗？ (2)f(x)与 f(a)有何区别与联系？ 提示：(1)这种看法不对 符号 yf(x)是“y 是 x 的函数”的数学表示，应理解为 x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当 x 允许取某一具体值时，相应的 y
3、 值为与该自变量值对应的函数值yf(x)仅仅是函数符号，不表示“y 等于 f 与 x 的乘积”在研究函数时，除用符号 f(x)外，还常用 g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数 (2)f(x)与 f(a)的区别与联系：f(a)表示当 xa 时，函数 f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 x 的函数， 一般情况下， 它是一个变量， f(a)是 f(x)的一个特殊值， 如一次函数 f(x)3x4，2 当 x8 时，f(8)38428 是一个常数 2区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设 a，bR，且 ab，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 x|axb 闭区间 a，b x|axb
4、 开区间 (a，b) x|axb 半开半闭区间 a，b) x|a0 得 x1. 所以函数的定义域为(1，) 2若 f(x)11x2，则 f(3)_. 18 f(3)11918. 3用区间表示下列集合： (1)x|10 x100用区间表示为_； 3 (2)x|x1用区间表示为_ (1)10,100 (2)(1，) 结合区间的定义可知(1)为10,100，(2)为(1，) 函数的概念 【例 1】 (1)下列各组函数是同一函数的是( ) f(x)2x3与 g(x)x 2x； f(x)x 与 g(x) x2； f(x)x0与 g(x)1x0； f(x)x22x1 与 g(t)t22t1. A B C
5、D (2)判断下列对应是不是从集合 A 到集合 B 的函数 AN，BN*，对应法则 f：对集合 A 中的元素取绝对值与 B 中元素对应； A1,1,2，2，B1,4，对应法则 f：xyx2，xA，yB； A1,1,2，2，B1,2,4，对应法则 f：xyx2，xA，yB； A三角形，Bx|x0，对应法则 f：对 A 中元素求面积与 B 中元素对应 (1)C f(x)2x3|x| 2x与 g(x)x 2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数 g(x) x2|x|与 f(x)x 的对应法则和值域不同，故不是同一函数 f(x)x0与 g(x)1x0都可化为 y1 且定义域是x|x0，故是同一函数 f
6、(x)x22x1 与 g(t)t22t1 的定义域都是 R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数 由上可知是同一函数的是. 故选 C. (2)解 对于 A 中的元素 0，在 f 的作用下得 0，但 0 不属于 B，即 A 中的元素 0 在 B中没有元素与之对应，所以不是函数 4 对于 A 中的元素 1，在 f 的作用下与 B 中的 1 对应，A 中的元素 2，在 f 的作用下与 B中的 4 对应，所以满足 A 中的任一元素与 B 中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数 对于 A 中的任一元素，在对应关系 f 的作用下，B 中都有唯一的元素与之对应，如 1对应 1， 2 对
7、应 4，所以是函数 集合 A 不是数集，故不是函数 1判断对应关系是否为函数的 2 个条件 (1)A，B 必须是非空实数集 (2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系 2判断函数相等的方法 (1)先看定义域，若定义域不同，则不相等； (2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同 1下列四个图象中，不是函数图象的是( ) A B C D B 根据函数的定义知：y 是 x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上， 图象与平行于 y 轴的直线最多只能有一个交点， 对照选项， 可知
8、只有 B 不符合此条件 故选 B. 2下列各组函数中是相等函数的是( ) Ayx1 与 yx21x1 Byx21 与 st21 Cy2x 与 y2x(x0) Dy(x1)2与 yx2 B A，C 选项中两函数的定义域不同，D 选项中两函数的对应关系不同，故 A，C，D5 错误，选 B. 求函数值 【例 2】 设 f(x)2x22，g(x)1x2， (1)求 f(2)，f(a3)，g(a)g(0)(a2)，g(f(2) (2)求 g(f(x) 思路点拨 (1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把 f(x)直接代入 g(x)中便可得到 g(f(x) 解 (1)因为 f(x)2x
9、22， 所以 f(2)222210， f(a3)2(a3)222a212a20.因为 g(x)1x2， 所以 g(a)g(0)1a21021a212(a2) g(f(2)g(10)1102112. (2)g(f(x)1fx212x22212x24. 函数求值的方法 1已知 fx的表达式时，只需用 a 替换表达式中的 x 即得 fa的值. 2求 fga的值应遵循由里往外的原则. 3已知 f(x)x32x3，求 f(1)，f(t)，f(2a1)和 f(f(1)的值 解 f(1)132136； f(t)t32t3； f(2a1)(2a1)32(2a1)38a312a210a； f(f(1)f(1)3
10、2(1)3)f(0)3. 求函数的定义域 6 探究问题 1已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？ 提示：不可以如 f(x)x1x21.倘若先化简，则 f(x)1x1，从而定义域与原函数不等价 2若函数 yf(x1)的定义域是1,2，这里的“1,2”是指谁的取值范围？函数 yf(x)的定义域是什么？ 提示：1,2是自变量 x 的取值范围 函数 yf(x)的定义域是 x1 的范围2,3 【例 3】 求下列函数的定义域： (1)f(x)23x2； (2)f(x)(x1)02x1； (3)f(x) 3x x1； (4)f(x)x12x1 1x. 思路点拨 要求函数的定义域， 只
11、需分母不为 0， 偶次方根中被开方数大于等于 0 即可 解 (1)当且仅当 x20，即 x2 时， 函数 f(x)23x2有意义， 所以这个函数的定义域为x|x2 (2)函数有意义，当且仅当 x10，2x10，x10， 解得 x1 且 x1， 所以这个函数的定义域为x|x1 且 x1 (3)函数有意义，当且仅当 3x0，x10，解得 1x3， 所以这个函数的定义域为x|1x3 (4)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足 x10，1x0，解得 x1 且 x1， 7 即函数定义域为x|x1 且 x1 (变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数 yf(x1)的定义域 解 由 1x13 得
12、0 x2. 所以函数 yf(x1)的定义域为0,2 求函数定义域的常用方法 1若 fx是分式，则应考虑使分母不为零. 2若 fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零. 3若 fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. 4若 fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. 5若 fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义. 1对于用关系式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合这也是求某函数定义域的依据 2函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应
13、法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同 3函数符号 yf(x)是学习的难点，它是抽象符号之一首先明确符号“yf(x)”为 y 是 x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y 等于 f 与 x 的乘积”. 1思考辨析 (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示( ) (2)数集x|x2可用区间表示为2，( ) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2下列函数中，与函数 yx 相等的是( ) 8 Ay( x)2 By
14、 x2 Cy|x| Dy3x3 D 函数 yx 的定义域为 R；y( x)2的定义域为0，)；y x2|x|，对应关系不同；y|x|对应关系不同；y3x3x，且定义域为 R.故选 D. 3将函数 y31 1x的定义域用区间表示为_ (，0)(0,1 由 1x0，1 1x0， 解得 x1 且 x0， 用区间表示为(，0)(0,1 4已知函数 f(x)x1x， (1)求 f(x)的定义域； (2)求 f(1)，f(2)的值； (3)当 a1 时，求 f(a1)的值 解 (1)要使函数 f(x)有意义，必须使 x0， f(x)的定义域是(，0)(0，) (2)f(1)1112，f(2)21252. (3)当 a1 时，a10， f(a1)a11a1.
