1、人教人教2019版必修第一册版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 3.1.13.1.1函数的概念函数的概念 课程目标课程目标 1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则； 2.掌握判定函数和函数相等的方法； 3.学会求函数的定义域与函数值。 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义； 2.逻辑推理：相等函数的判断； 3.数学运算：求函数定义域及求函数值； 4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域； 5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。 自主预习，回答问题自主预习，回答问
2、题 阅读课本阅读课本60-65页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 在在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？ 2. 如何如何用区间表示数集？用区间表示数集？ 3. 相等相等函数是指什么样的函数？函数是指什么样的函数？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1函数的概念函数的概念 (1)函数的定义：函数的定义： 设设 A，B 是是 ，如果按照某种确定的对应关系，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合使对于集合 A 中的中的 ，在集合，在集合 B 中都有中都有 _和它对应，那么就
3、称和它对应，那么就称 f：AB 为从集合为从集合 A 到集合到集合 B的一个函数，记作的一个函数，记作 . 非空的数集非空的数集 任意一个数任意一个数 x 唯一确定唯一确定 的数的数 f(x) yf(x)，xA (2)函数的定义域与值域：函数的定义域与值域： 函数函数 yf(x)中，中，x 叫做叫做 ， 叫做函数的定义叫做函数的定义域，与域，与 x 的值相对应的的值相对应的 y 值叫做值叫做 ，函数值的集合，函数值的集合 叫做函数的值域显然，值域是集合叫做函数的值域显然，值域是集合 B 的的 点睛点睛 对函数概念的对函数概念的 3 点说明点说明 (1)当当 A，B 为非空数集时，符号为非空数集
4、时，符号“f：AB”表示表示 A 到到 B 的的一个函数一个函数 (2)集合集合 A 中的数具有任意性，集合中的数具有任意性，集合 B 中的数具有唯一性中的数具有唯一性 (3)符号符号“ f ”它表示对应关系， 在不同的函数中它表示对应关系， 在不同的函数中 f 的具体含义不的具体含义不一样一样 自变量自变量 x 的取值范围的取值范围 函数值函数值 f(x)|xA 子集子集 2区间概念区间概念(a，b 为实数，且为实数，且 ab) 定义定义 名称名称 符号符号 数轴表示数轴表示 x|axb 闭区间闭区间 x|axb 开区间开区间 x|axb 半开半闭区间半开半闭区间 x|axb 半开半闭区间半
5、开半闭区间 a，b (a，b) a，b) (a，b 3其它区间的表示其它区间的表示 R x|xa x|xa x|xa x|xa 定定 义义 符符 号号 (，) a，) (a，) (，a (，a) 点睛点睛 关于无穷大的关于无穷大的 2 2 点说明点说明 (1)“”是一个符号，而不是一个数是一个符号，而不是一个数 (2)以以“”或或“”为端点时，区间这一端必须是小括号为端点时，区间这一端必须是小括号 小试身手小试身手 1判断判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”“”) (1)区间表示数集，数集一定能用区间表示区间表示数集，数集一定能用区间表示 ( ) (2)数集数集x|x2可用区
6、间表示为可用区间表示为2， ( ) (3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了确定了 ( ) (4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应之对应 ( ) (5)函数的定义域和值域一定是无限集合函数的定义域和值域一定是无限集合 ( ) 2函数函数 y1x1的定义域是的定义域是 ( ) A1，) B1,0) C(1，) D(1,0) 答案：答案：C 3已知已知 f(x)x21，则，则 f ( f (1) ( ) A2 B3 C4 D5 答案：答案：D 4用区间表示下列集合：用区间表示下
7、列集合： (1)x|10 x100用区间表示为用区间表示为_ (2)x|x1用区间表示为用区间表示为_ 答案：答案：(1)10,100 (2)(1，) 题型分析题型分析 举一反三举一反三 题型一题型一 函数的定义函数的定义 例1 答案答案：D 下列选项中下列选项中(横轴表示横轴表示x轴轴,纵轴表示纵轴表示y轴轴),表示表示y是是x的函数的是的函数的是( ) 解题方法解题方法（判断是否为函数） 1.（图形判断）y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象. 2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函
8、数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一跟踪训练一 1.集合A=x|0 x4,B=y|0y2,下列不表示从A到B的函数的是( ) 答案答案：C A.xy=2 B.xy=3 C.xy=23 D.xy= 题型二题型二 相等函数相等函数 (1)f(x)=( x)2,g(x)= x2; (2)y=x0与y=1(x0); (3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ). 例2：试判断以下各组函数是否表示同一函数: 解:(1)因为函数f(x)=( )2的定义域为x|x0, 而g(x)= 2的定义域为x|xR,它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数. (2)因为y=x0要求x0,且当x0时,y=x
9、0=1,故y=x0与y=1(x0)的定义域和对应关系都相同,所以它们表示同一函数. (3)y=2x+1(xZ)与y=2x-1(xZ)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题方法解题方法（判断函数相等的方法） 定义域优先原则 1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等. 2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等. 跟踪训练跟踪训练二二 1.试判断以下各组函数是否表示同一函数: f(x)=x2xx,g(x)=x-1; f(x)=xx,g(x)=xx; f(x)= (x + 3)2,g(x)=x+3; f(x)=x+1,g(x)=x+x0; 汽车匀速运动时,
10、路程与时间的函数关系f(t)=80t(0t5)与一次函数g(x)=80 x(0 x5). 其中表示相等函数的是 (填上所有正确的序号). 解析:f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数; f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数; f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数; f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数. 答案: 题型三题型三 区间区间 例3 .已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,则AB用区间可表示为 . 解析:A=x|5-x0,A=x|x5. B=x|x|-30,B=x|x
11、3. AB=x|x-3或-3x3或3x5, 即AB=(-,-3)(-3,3)(3,5. 答案:(-,-3)(-3,3)(3,5 解题方法解题方法（如何用区间表示集合） 1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别. 2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示. 跟踪训练三 1.1.集合x|0 x1或2x11用区间表示为 . 2. 若集合A=2a-1,a+2,则实数a的取值范围用区间表示为 . 解析:(2)由区间的定义知,区间(a,b)(或a,b)成立的条件是ab. A=2a-1,a+2,2a-1a+2. a3, 实数
12、a的取值范围是(-,3). 答案:(1)(0,1)2,11 (2)(-,3) 题型四题型四 求函数的定义域求函数的定义域 例4 .求下列函数的定义域: (1)y=(+2)0|; (2)f(x)=2114. 解:(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 + 2 0,| 0,即 2,| ,解得x 0, 0, 解得-32x2,且 x0,所以函数 y= 2 + 3 1 2-+1的定义域为 -32 2,且 0 . (2)已知 f(x)的定义域是-1,4,即-1x4. 故对于 f(2x+1)应有-12x+14, -22x3,-1x32. 函数 f(2x+1)的定义域是 -1,32 . 题型五题型五 求
13、函数值（域）求函数值（域） 例5 . (1)已知已知f(x)+(xR，且，且x1)，g(x)x22(xR)，则，则f(2)_， f(g(2)_. (2)求下列函数的值域：求下列函数的值域： yx1； yx22x3，x0,3)； y+； y2x . (1)解析解析 f (x)11x， f(2)11213. 又又g (x)x22， g (2)2226， f ( g(2)f (6)11617. 答案答案 13 17 (2)解解 (观察法观察法)因为因为 xR，所以，所以 x1R，即函数值，即函数值域是域是 R. (配方法配方法)yx22x3(x1)22，由，由 x0,3)，再结合，再结合函数的图象函
14、数的图象(如图如图)，可得函数的值域为，可得函数的值域为2,6) (分离常数法分离常数法)y3x1x13x34x134x1. 4x10，y3， y3x1x1的值域为的值域为y|yR 且且 y3 (换元法换元法)设设 t x1，则，则 t0 且且 xt21，所以，所以 y2(t21)t2 t142158，由，由 t0，再结合函数的图象，再结合函数的图象(如如图图)，可得函数的值域为，可得函数的值域为 158， . 解题方法解题方法（求函数值（域)的方法） 1 1.已知f(x)的表达式时,只需用数a替换表达式中的所有x即得f(a)的值. 2 2.求f(g(a)的值应遵循由内到外的原则. 3. 求函
15、数值域常用的4种方法 （1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到； （2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域； （3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为 “反比例函数类”的形式，便于求值域； （4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f（x）=ax+b+ + （其中a，b，c，d为常数，且a0）型的函数常用换元法. 跟踪训练五 1.求下列函数的值域：求下列函数的值域： (1)y + 1；(2)y+. 解：解：(1)因为因为 2x10，所以，所以 2x111， 即所求函数的值域为即所求函数的值域为1，) (2)因为因为 y1x21x2121x2， 又函数的定义域为又函数的定义域为 R，所以，所以 x211， 所以所以 021x22，则，则 y(1,1 所以所求函数的值域为所以所求函数的值域为(1,1.
