1、2两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算知识点两角差的余弦公式C：cos()cos cos sin sin .(1)适用条件：公式中的角，都是任意角(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反1存在角，使得cos()cos cos .()提示如，cos()coscos，cos cos cos cos ，满足cos()cos cos .2任意角，cos()cos cos sin sin .()提示由两角差的
2、余弦公式可知不正确3任意角，cos()cos cos sin sin .()题型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(15)；(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900.反思感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路：(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式
3、，然后逆用公式求值跟踪训练1化简cos 15cos 45cos 75sin 45的值为()A. B.C D答案B解析cos 15cos 45cos 75sin 45cos 15cos 45sin 15sin 45cos(1545)cos(30).题型二给值求值例2(1)已知sin sin 1，cos cos ，则cos()等于()A B C. D.考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求值答案D解析因为sin sin 1，cos cos ，所以(cos cos )2，(sinsin )2.两式相加，得22cos()2.所以cos().(2)已知0，且sin ，cos()，求cos 的
4、值解因为，sin ，所以cos .由0得，0，因为cos()，所以sin()，所以cos cos()cos cos()sin sin().反思感悟给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换(2)常见角的变换：()；2()()；2()()跟踪训练2已知，cos()，sin()，求cos 2的值考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值解，0，.又sin()，从而有cos().cos()，sin().sin().cos 2cos()()cos()cos()s
5、in()sin().题型三给值求角例3已知cos ，cos()，且0，求的值解由cos ，0，得sin .由0，得0.又cos()，sin().由()，得cos cos()cos cos()sin sin()，即cos ，又0，.反思感悟求解给值求角问题的一般步骤：(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角跟踪训练3已知cos()，cos()，且，求角的值解由，且cos()，得sin().由，且cos()，得sin().cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2，2，则.两角差的余弦公式的应用典例如图，在平面直角坐标系中，锐角和
6、钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，求cos 和sin ；(2)在(1)的条件下，求cos()的值考点两角差的余弦公式题点两角差的余弦公式的综合应用解(1)OA1，OB1，且点A，B的纵坐标分别为，sin ，sin ，cos .(2)为钝角，由(1)知cos ，cos()cos cos sin sin .素养评析从已给信息得出a角，的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了从图形关系中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现.1(2018滨州期末)cos 165等于()A. B. C D考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式求值答案C解析
7、cos 165cos(18015)cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin 45sin 30).故选C.2若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab等于()A. B. C. D答案A解析abcos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45，故选A.3设，若sin ，则cos等于()A. B. C D答案A解析，sin ，cos .coscos sin .4设，都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于()A. B.C.或 D.或答案A解析依题意得sin ，cos().又，均为锐角，所以0cos()因为，
8、所以cos().于是cos cos()cos()cos sin()sin .5已知，均为锐角，且sin ，sin ，则 .考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求角答案解析，均为锐角，cos ，cos .cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.1“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值(2)确定角所在的范围(找区间)(3)确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.
