1、1 5.2 三角函数的概念三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念三角函数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、 余弦、 正切)的定义(重点、难点) 2掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号(易错点) 3掌握公式并会应用. 1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养 2 借助公式的运算， 提升数学运算素养. 1单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆 2任意角的三角函数的定义 (1)条件 在平面直角坐标系中， 设 是一个任意角， R 它的终边与单位圆交于点 P(x， y)， 那么： (2)结论 y 叫
2、做 的正弦函数，记作 sin ，即 sin y； x 叫做 的余弦函数，记作 cos_，即 cos x； yx叫做 的正切，记作 tan_，即 tan yx(x0) (3)总结 yxtan (x0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标或横坐标的比值为函数值的函数，正切函数我们将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数 3正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 2 三角函数 定义域 sin R cos R tan xR xk2，kZ 4.正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示： (2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 5公式一 1sin(315 )的值是( ) A22 B1
3、2 C.22 D.12 C sin(315 )sin(360 45 )sin 45 22. 2已知 sin 0，cos 0，则角 是( ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 B 由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角 是第二象限角 3sin253_. 32 sin253sin83sin332. 4角 终边与单位圆相交于点 M32，12，则 cos sin 的值为_ 3 312 cos x32，sin y12， 故 cos sin 312. 三角函数的定义及应用 探究问题 1 一般地， 设角 终边上任意一点的坐标为(x， y)， 它与原点的距离为 r， 则 sin ， c
4、os ，tan 为何值？ 提示：sin yr，cos xr，tan yx(x0) 2sin ，cos ，tan 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变？ 提示：sin ，cos ，tan 的值只与 的终边位置有关，不随 P 点在终边上的位置的改变而改变 【例 1】 (1)已知角 的终边上有一点 P(x,3)(x0)，且 cos 1010 x，则 sin tan 的值为_ (2)已知角 的终边落在直线 3xy0 上，求 sin ，cos ，tan 的值 思路点拨 (1) 依据余弦函数定义列方程求x 依据正弦、正切函数定义求sin tan (2)判断角的终边位置分类讨论求sin ，cos ，
5、tan (1)3 103010或3 103010 因为 r x29，cos xr， 所以1010 xxx29. 又 x0，所以 x 1，所以 r 10. 又 y30，所以 是第一或第二象限角 4 当 为第一象限角时，sin 3 1010，tan 3，则 sin tan 3 103010. 当 为第二象限角时，sin 3 1010，tan 3， 则 sin tan 3 103010. (2)解 直线 3xy0，即 y 3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1， 3)，则 r12 322，所以 sin 32，cos 12，tan 3； 在第四象限取直线上的点(1， 3)， 则 r12 3
6、22， 所以 sin 32，cos 12，tan 3. 1将本例(2)的条件“ 3xy0”改为“y2x”其他条件不变，结果又如何？ 解 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点 P(1,2)，由 r|OP|1222 5，得 sin 252 55，cos 1555，tan 212. 当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点 Q(1，2)， 由 r|OQ| 1222 5，得： sin 252 55，cos 1555， tan 212. 2将本例(2)的条件“落在直线 3xy0 上”改为“过点 P(3a,4a)(a0)”，求 2sin cos . 解 因为 r 3a24a25|a|， 若 a0，则
7、r5a，角 在第二象限， sin yr4a5a45，cos xr3a5a35， 所以 2sin cos 85351. 5 若 a0)则 sin yr，cos xr.已知 的终边求 的三角函数时，用这几个公式更方便 (2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论 三角函数值符号的运用 【例 2】 (1)已知点 P(tan ，cos )在第四象限，则角 终边在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 (2)判断下列各式的符号： sin 145 cos(210 )；sin 3 cos 4 tan 5. 思路点拨 (1)先判断 tan
8、 ，cos 的符号，再判断角 终边在第几象限 (2)先判断已知角分别是第几象限角， 再确定各三角函数值的符号， 最后判断乘积的符号 (1)C 因为点 P 在第四象限，所以有 tan 0，cos 0，由此可判断角 终边在第三象限 (2)解 145 是第二象限角， sin 145 0， 210 360 150 ， 210 是第二象限角， 6 cos(210 )0， sin 145 cos(210 )0. 23，432，3252， sin 30，cos 40，tan 50， sin 3 cos 4 tan 50. 判断三角函数值在各象限符号的攻略： 1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 2关键
9、：准确记忆三角函数在各象限的符号； 3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. 1 已知角的终边过点(3a9， a2)且cos 0， sin 0， 则实数a的取值范围是_ 2a3 因为 cos 0，sin 0， 所以角 的终边在第二象限或 y 轴非负半轴上，因为 终边过(3a9，a2)， 所以 3a90，a20，所以2a3. 2设角 是第三象限角，且sin2sin2，则角2是第_象限角 四 角 是第三象限角，则角2是第二、四象限角， sin2sin2，角2是第四象限角 诱导公式一的应用 【例 3】 求值： (1)tan
10、 405 sin 450 cos 750 ； (2)sin73cos236tan154cos133. 解 (1)原式tan(360 45 )sin(360 90 )cos(2360 30 ) 7 tan 45 sin 90 cos 30 113232. (2)原式sin23cos46tan44 cos43 sin3cos6tan4cos3 323211254. 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 1定形：将已知的任意角写成 2k 的形式，其中 0，2，kZ. 2转化：根据诱导公式，转化为求角 的某个三角函数值. 3求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值. 3化简下列各式： (1)a2si
11、n(1 350 )b2tan 405 2abcos(1 080 )； (2)sin116cos125tan 4. 解 (1)原式a2sin(4360 90 )b2tan(360 45 )2abcos(3360 ) a2sin 90 b2tan 45 2abcos 0 a2b22ab(ab)2. (2)sin116 cos125 tan 4 sin26cos25 tan 0sin6012. 1三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点 2诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立
12、，记忆时可结合三角函数定义进行记忆 3三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在8 坐标轴上正弦、余弦的符号问题 1思考辨析 (1)sin 表示 sin 与 的乘积( ) (2)设角 终边上的点 P(x，y)，r|OP|0，则 sin yr，且 y 越大，sin 的值越大( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等( ) (4)终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( ) 提示 (1)错误sin 表示角 的正弦值，是一个“整体” (2)错误由任意角的正弦函数的定义知，sin yr.但 y 变化时，sin 是定值 (3)正确 (4)错误终边落在 y 轴上的角
13、的正切函数值不存在 答案 (1) (2) (3) (4) 2已知角 终边过点 P(1，1)，则 tan 的值为( ) A1 B1 C.22 D22 B 由三角函数定义知 tan 111. 3在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 x 轴对称，若 sin 15，则 sin _. 15 设角 的终边与单位圆相交于点 P(x，y)， 则角 的终边与单位圆相交于点 Q(x，y)， 由题意知 ysin 15，所以 sin y15. 4求值：(1)sin 180 cos 90 tan 0 . (2)cos253tan154. 解 (1)sin 180 cos 90 tan 0 0000. 9 (2)cos253tan154 cos83tan44 cos3tan412132.