1、6.46.4 平面向量的应用平面向量的应用 6 6. .4.14.1 平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 6 6. .4.24.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 1 已知力 F 的大小|F|10， 在 F 的作用下产生的位移 s 的大小|s|14， F 与 s 的夹角为 60 ，则 F 做的功为( ) A7 B10 C14 D70 答案 D 解析 F 做的功为 F s|F|s|cos 60 10141270. 2已知点 A(2，3)，B(19,4)，C(1，6)，则ABC 是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 答案 C 解析 AB(19,4
2、)(2，3)(21,7)， AC(1，6)(2，3)(1，3)， AB AC21210，ABAC. 则A90 ，又|AB|AC|， ABC 为直角三角形 3(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( ) A船垂直到达对岸所用时间最少 B当船速 v 的方向与河岸垂直时用时最少 C沿任意直线运动到达对岸的时间都一样 D船垂直到达对岸时航行的距离最短 答案 BD 解析 根据向量将船速 v 分解，当 v 垂直河岸时，用时最少船垂直到达对岸时航行的距离最短 4 点O是ABC所在平面内的一点， 满足OA OBOB OCOC OA， 则点O是ABC的( ) A三个内角的角平分线的交点
3、B三条边的垂直平分线的交点 C三条中线的交点 D三条高所在直线的交点 答案 D 解析 OA OBOB OC，(OAOC) OB0， OB CA0，OBAC. 同理 OABC，OCAB，O 为三条高所在直线的交点 5在四边形 ABCD 中，若AC(1,3)，BD(6,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B2 5 C5 D10 答案 D 解析 AC BD0，ACBD. 四边形 ABCD 的面积 S12|AC|BD|12 102 1010. 6 在 RtABC 中， 斜边 BC 的长为 2， O 是平面 ABC 内一点， 点 P 满足OPOA12(ABAC)，则|AP|_. 答案 1 解析 O
4、POA12(ABAC)， OPOA12(ABAC)，AP12(ABAC)， AP 为 RtABC 斜边 BC 的中线|AP|1. 7一条河宽为 8 000 m，一船从 A 处出发垂直航行到达河正对岸的 B 处，船速为 20 km/h，水速为 12 km/h，则船到达 B 处所需时间为_ h. 答案 0.5 解析 如图，v实际v船v水v1v2， |v1|20，|v2|12， |v实际| |v1|2|v2|2 20212216(km/h) 所需时间 t8160.5(h) 该船到达 B 处所需的时间为 0.5 h. 8已知在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，E，F 分别为 BC，CD 的中点，则(
5、AEAF) BD_. 答案 92 解析 如图，以 A 为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系， 则 A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， C(2,1) E，F 分别为 BC，CD 的中点，E2，12，F(1,1)， AEAF3，32，BD(2,1)， (AEAF) BD3(2)32192. 9如图所示，若 D 是ABC 内的一点，且 AB2AC2DB2DC2，求证：ADBC. 证明 设ABa，ACb，ADe，DBc，DCd， 则 aec，bed， 所以 a2b2(ec)2(ed)2c22e c2e dd2， 由条件知，a2c2d2b2，
6、所以 e ce d，即 e (cd)0，即AD CB0， 所以 ADBC. 10 已知两恒力 F1(3,4)， F2(6， 5)作用于同一质点， 使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0) (1)求 F1，F2分别对质点所做的功； (2)求 F1，F2的合力 F 对质点所做的功 解 (1)AB(7,0)(20,15)(13，15)， W1F1 AB(3,4) (13，15) 3(13)4(15)99(J)， W2F2 AB(6，5) (13，15) 6(13)(5)(15)3(J) 力 F1，F2对质点所做的功分别为99 J 和3 J. (2)WF AB(F1F2) AB (3,4)(6
7、，5) (13，15) (9，1) (13，15) 9(13)(1)(15) 11715102(J) 合力 F 对质点所做的功为102 J. 11.如图所示，在矩形 ABCD 中，AB4，点 E 为 AB 的中点，且DEAC，则|DE|等于( ) A.52 B2 3 C3 D2 2 答案 B 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系 设|AD|a(a0)，则 A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以DE(2，a)，AC(4，a) 因为DEAC，所以DE AC0， 所以 24(a) a0，即 a28. 所以 a2
8、 2，所以DE(2，2 2)， 所以|DE|222 222 3. 12若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 3AMABAC0，则ABM 与ABC 的面积之比为( ) A12 B13 C14 D25 答案 B 解析 如图，D 为 BC 边的中点， 则AD12(ABAC) 因为 3AMABAC0， 所以 3AM2AD，所以AM23AD， 所以 SABM23SABD13SABC. 13.用两条成 120 角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N. 答案 10 解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2与G 都成
9、60 角， 且|F1|F2|，F1F2G0. |F1|F2|G|10 N， 每根绳子的拉力都为 10 N. 14.如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，BF2FO，则FD FE_. 答案 89 解析 FDFOOD，FEFOOE，且ODOE， 所以FD FE(FOOD) (FOOE) FO2OD219189. 15在ABC 中，设AC2AB22AM BC，那么动点 M 形成的图形必通过ABC 的( ) A垂心 B内心 C外心 D重心 答案 C 解析 假设 BC 的中点是 O，则AC2AB2(ACAB) (ACAB)2AO BC2AM BC，即(AOAM) BCMO BC0，所以M
10、OBC，所以动点 M 在线段 BC 的中垂线上，所以动点 M 形成的图形必通过ABC 的外心，选 C. 16一艘船从南岸出发，向北岸横渡根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风吹向北偏西 30 ，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 3 km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向 解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v1v2a.可求得 a 的方向是北偏东 30 ，a 的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v，方向由南向北，大小为 2 3 km/h.船本身的速度为v3，则 av3v，即 v3va，由数形结合知，v3的方向是北偏西 60 ，大小是 3 km/h.
