1、5.3.1 函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解导数与函数的单调性的关系(易混点) 2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点) 3会用导数求函数的单调区间(重点、难点) 1.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养 2借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养. 1函数 f (x)的单调性与导函数 f (x)正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数 yf (x)： f (x)的正负 f (x)的单调性 f (x)0 单调递_ f (x)0 单调递_ 增 减 【新知初探】 思考：如果在某个区间内恒有 f (x)0，那么函数
2、 f (x)有什么特性？ 提示 f (x)是常数函数 2判断函数 yf (x)的单调性 第 1 步：确定函数的_； 第 2 步：求出导数 f (x)的_； 第 3 步：用 f (x)的_将 f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f (x)在各区间上的_，由此得出函数 yf (x)在定义域内的单调性 定义域 零点 零点 正负 3函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数 yf (x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 _ 比较“_”(向上或向下) 越小 _ 比较“_”(向上或向下) 快 陡峭 慢 平缓 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (
3、1)函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f (x)0，则函数 f (x)在这个区间上单调递减( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( ) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点 f (x)0，不影响函数在此区间的单调性( ) 【初试身手】 提示 (1) 函数 f (x)在区间(a，b)上都有 f (x)0，所以函数 f (x)在这个区间上单调递减，故正确 (2) 切线的“陡峭”程度与|f (x)|的大小有关，故错误 (3) 函数在某个区间上变化的快慢， 和函数导数的绝对值大小一致 (4)
4、若 f (x)0(0)，则函数 f (x)在区间内单调递增(减)，故 f (x)0 不影响函数单调性 答案 (1) (2) (3) (4) 2函数 f (x)2xsin x 在(，)上是( ) A增函数 B减函数 C先增后减 D不确定 A f (x)2xsin x， f (x)2cos x0 在(，)上恒成立， f (x)在(，)上是增函数 3 导函数 yf (x)的图象如图所示， 则函数 yf (x)的图象可能是( ) A B C D D 当 x0 时，f (x)0，当 x0 时，f (x)0，所以函数 f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，对照图象，应选 D. 4 已知函数
5、 f (x)的导函数 yf (x)的图象如图所示， 则函数 f (x)的单调递增区间是_ (1，2)和(4，) 由 yf (x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得 yf (x)的大致图象如图所示 所以函数 f (x)的单调递增区间是(1，2)和(4，) 5函数 f (x)exx 的单调递增区间为_ (0，) f (x)exx，f (x)ex1. 由 f (x)0 得，ex10，即 x0. f (x)的单调递增区间为(0，) 类型一 导函数与原函数的关联图象 【例 1】 (1)设函数 f (x)在定义域内可导，f (x)的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能为( ) 【合作探究】
6、(2)已知函数 yf (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yf (x)的图象如图所示，则该函数的图象是( ) (1)D (2)B (1)由 f (x)的图象可知，yf (x)在(，0)上是增函数，因此在 x0 时，有 f (x)0(即全部在 x 轴上方)，故排除A，C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f (x)0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f (x)0；在区间(x2，)上原函数是增函数，f (x)0，故排除 B.故选 D. (2)法一：由函数 yf (x)的导函数 yf (x)的图象自左到右先增后减，可知函数 yf (x)图象的切线的斜率自左到右
7、先增大后减小 法二：由于 f (x)0 恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升四个图象都满足 由于当 x0 时，f (x)0 且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当 x0 时，f (x)0 且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断 B 正确故选 B. 【规律方法】 研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点 研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，
8、并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 跟进训练 1已知 yxf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数 f (x)的导函数)下面四个图象中，yf (x)的图象大致是( ) C 当 0 x1 时，xf (x)0， f (x)0，故 f (x)在(0，1)上为减函数； 当 x1 时，xf (x)0，f (x)0， 故 yf (x)在(1，)上为增函数故选 C. 类型二 利用导数求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f (x)3x22ln x；(2)f (x)x2ex. 解 (1)f (x)3x22ln x 的定义域为(0，)， f (x)6x2x23x21x2 3
9、x1 3x1x， 由 x0，f (x)0，解得 x33；由 x0，f (x)0，解得 0 x33. 函数 f (x)3x22ln x 的单调递增区间为33， ， 单调递减区间为0，33. (2)函数的定义域为 D(，) f (x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)， 令 f (x)0，由于 ex0，x10，x22， 用 x1，x2分割定义域 D，得下表： x (，0) 0 (0，2) 2 (2，) f (x) 0 0 f (x) f (0)0 f (2)4e2 f (x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0，2) 【规律方法】 用解不等式法求单调区间的步
10、骤 1确定函数 fx的定义域； 2求导函数 fx； 3解不等式 fx0或 fx0，并写出解集； 4根据3的结果确定函数 fx的单调区间. 跟进训练 2求函数 f (x)x2ln x 的单调区间 解 函数 f (x)的定义域为(0，) f (x)2x1x 2x1 2x1x. 因为 x0，所以 2x10，令 f (x)0，解得 x22， 所以函数 f (x)的单调递增区间为22， ； 令 f (x)0，解得 x22，又 x(0，)， 所以函数 f (x)的单调递减区间为0，22. 类型三 含有参数的函数单调性的讨论 【例 3】 设 g(x)ln xax2(a2)x，a0，试讨论函数 g(x)的单调
11、性 解 由题意可知 g(x)1x2axa2ax12x1x(x0) a0，g(x)ax1a2x1x(x0)， (1)当 a2 时，1a12，g(x)ax1a2x1x0 等价于x1a(2x1)0，易得函数 g(x)在0，1a和12， 上单调递增，同理可得在1a，12上单调递减； (2)当 a2 时，g(x)2x12x0 恒成立， 函数 g(x)在(0，)上单调递增； (3)当2a0 时，1a12，g(x)ax1a2x1x0等价于x1a(2x1)0，易得函数 g(x)在0，12和1a，上单调递增，同理可得在12，1a上单调递减 【规律方法】 利用导数研究含参函数 fx的单调区间的一般步骤 1确定函数
12、 fx的定义域； 2求导数 fx； 3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 4在不同的参数范围内，解不等式 fx0 和 fx0，确定函数 fx的单调区间. 跟进训练 3试求函数 f (x)kxln x 的单调区间 解 函数 f (x)kxln x 的定义域为(0，)，f (x)k1xkx1x. 当 k0 时，kx10，f (x)0，则 f (x)在(0，)上单调递减 当 k0 时，由 f (x)0，得kx1x0，解得 0 x1k； 由 f (x)0，得kx1x0，解得 x1k. 当 k0 时，f (x)的单调递减
13、区间为0，1k，单调递增区间为1k， . 综上所述，当 k0 时，f (x)的单调递减区间为(0，)； 当 k0 时，f (x)的单调递减区间为0，1k，单调递增区间为1k， . 类型四 已知函数的单调性求参数的范围 探究问题 1在区间(a，b)内，若 f (x)0，则 f (x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？ 提示 不一定成立比如 yx3在 R 上为增函数，但其在x0 处的导数等于零也就是说 f (x)0 是 yf (x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件 2若函数 f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则 f (x)满足什么条件？ 提示 f (x)0(或
14、 f (x)0) 【例 4】 已知函数 f (x)x3ax1 为单调递增函数，求实数 a 的取值范围 解 由已知得 f (x)3x2a， 因为 f (x)在(，)上是单调增函数， 所以 f (x)3x2a0 在(，)上恒成立， 即 a3x2对 xR 恒成立，因为 3x20，所以只需 a0. 又因为 a0 时，f (x)3x20， f (x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0. 母题探究 1(变条件)若函数 f (x)x3ax1 的单调减区间为(1，1)，求 a 的取值范围 解 由 f (x)3x2a，当 a0 时，f (x)0， f (x)在(，)上为增函数 当 a0 时，令 3x2a0，
15、得 x3a3， 当3a3x3a3时， f (x)0， f (x)在3a3，3a3上为减函数， f (x)的单调递减区间为3a3，3a3，3a31，即 a3. 2(变条件)若函数 f (x)x3ax1 在(1，1)上单调递减，求 a 的取值范围 解 由题意可知 f (x)3x2a0 在(1，1)上恒成立， f10，f10，即 3a0，3a0，a3. 即 a 的取值范围是3，) 3(变条件)若函数 f (x)x3ax1 在(1，1)上不单调，求 a 的取值范围 解 f (x)x3ax1，f (x)3x2a， 由 f (x)0，得 x3a3(a0)， f (x)在区间(1，1)上不单调，03a31，
16、 即 0a3，故 a 的取值范围为(0，3) 【规律方法】 1已知 f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理 f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理 f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则 f (x)0(f (x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立 2解答本题注意：可导函数 f (x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f (x)0(或 f (x)0)在(a，b)上恒成立，且 f (x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于 0. 【课堂小结
17、】 1判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性 2利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况： (1)区间端点大小不确定型 由于函数导数不等式中的区间端点大小不定， 因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间 (2)区间端点与定义域关系不确定型 此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论 (3)最高次项系数不确定型 此类问题一般要就最高次项的系数 a，分 a0，a0，a0 进行讨论 3恒成立和存在性问题的转化 (1)对于
18、恒成立的不等式：若 f (x)a 对任意 xD 恒成立，则 f (x)mina (假设存在最值，下同)；若 f (x)a 对任意 xD 恒成立，则 f (x)maxa. (2)对于存在性不等式：若 f (x)a， xD 使其成立，则 f (x)maxa； 若 f (x)a， xD 使其成立，则 f (x)mina. 由以上可知，对于恒成立的不等式和存在性不等式，在取最值时“恰好是相反的” 1设函数 f (x)的图象如图所示，则导函数 f (x)的图象可能为( ) 【学以致用】 C f (x)在(，1)，(4，)上是减函数，在(1，4)上为增函数， 当 x1 或 x4 时，f (x)0；当 1x
19、4 时，f (x)0.故选 C. 2函数 f (x)(x3)ex的单调递增区间是( ) A(，2) B(0，3) C(1，4) D(2，) D f (x)ex(x3)ex(x2)ex， 由 f (x)0 得(x2)ex0，x2. f (x)的单调递增区间为(2，) 3若函数 f (x)x3ax21 在区间(0，2)内单调递减，则实数 a 的取值范围是( ) A0a3 Ba2 Ca3 Da3 C 函数 f (x)x3ax21 在(0， 2)内单调递减， f (x)3x22ax0 在(0，2)内恒成立，即 a32x 在(0，2)内恒成立32x3，a3.故答案为 C. 4函数 f (x)12x2ln
20、 x 的单调递减区间为_ (0，1) 函数的定义域为(0，)，且：f (x)x1xx21x， 求解不等式：x21x0，结合函数的定义域可得：0 x1， 则函数 f (x)12x2ln x 的单调递减区间为(0，1) 5已知函数 f (x)ae2x(a2)exx，讨论 f (x)的单调性 解 f (x)的定义域为(，)， f (x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1) 若 a0，则 f (x)0， 所以 f (x)在(，)上单调递减 若 a0，则由 f (x)0，得 xln a. 当 x(，ln a)时，f (x)0； 当 x(ln a，)时，f (x)0. 所以 f (x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增 综上，当 a0 时，f (x)在(，)上单调递减； 当 a0 时，f (x)在(，ln a)上单调递减， 在(ln a，)上单调递增
