1、3.3.1 利用导数判断函数的单调性,第三章 3.3 导数的应用,学习目标 1.理解导数与函数单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的单调性与导函数正负的关系,思考1 观察下列各图，完成表格内容.,正,递增,正,递减,正,负,负,递减,负,负,负,递减,思考2 依据上述分析，可得出什么结论？,答案 一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上： (1)如果f(x)0，则f(x)在该区间上单调递增. (2)如果f(x)0，则f(x)在该区间上单调递减.,梳理 函数的
2、单调性与其导数正负的关系 设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，,增,减,思考 我们知道导数的符号反映函数yf(x)的增减情况，怎样反映函数yf(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？,知识点二 函数的变化快慢与导数的关系,答案 如图所示，函数yf(x)在区间(0，b)或(a,0)内导数的绝对值较大，图象“陡峭”，在区间(b，)或(，a)内导数的绝对值较小，图象“平缓”.,梳理 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”.,思考辨析 判断正误 (1)若函数f(x)在
3、区间(a，b)上单调递增，则必有f(x)0.( ) (2)若函数f(x)在区间(a，b)上的导数为常数，则f(x)在(a，b)上不具有单调性.( ) (3)若f(x)0在区间(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上也可以是单调增函数.( ),题型探究,类型一 利用导数判断函数的单调性,证明,则cos x0，xcos xsin x(或)0，则f(x)单调递增(或递减)；但要特别注意，f(x)单调递增(或递减)，则f(x)(或)0.,证明,又0xe，ln x0，函数在定义域内的解集上为增函数. (4)解不等式f(x)0，(x2)20. 由f(x)0，得x3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(
4、3，)； 由f(x)0，得x0，函数f(x)在区间(0，)上单调递增；,综上，当a0时，函数f(x)在(0，)上单调递增；,反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误. (2)分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素，就变成了确定性问题，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了.,跟踪训练3 已知函数f(x) x2(am)xaln x，且f(1)0，其中a，mR. (1)求m的值；,解答,解 由题设知，函数f(x)的定义域为(0，)，,由f(1)0，得1(am)a
5、0，解得m1.,(2)求函数f(x)的单调递增区间.,解答,当a1时，由f(x)0，得xa或00，得x1或00，得x1，此时f(x)的单调递增区间为(1，). 综上，当a1时，f(x)的单调递增区间为(a，)，(0,1)；,当a1时，f(x)的单调递增区间为(0，)； 当0a0(或f(x)0，2x3a0， a2x3在x2，)上恒成立， a(2x3)min. 设y2x3，,y2x3在2，)上单调递增， (2x3)min16，a16.,a的取值范围是(，16.,达标检测,1.函数f(x)xln x在(0,6)上是 A.增函数 B.减函数,答案,解析,1,2,3,4,5,函数在(0,6)上单调递增.
6、,答案,2.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数f(x)的图象可能是,1,2,3,4,5,解析,解析 原函数的单调性是当x0时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增. 故当x0；当x0时，f(x)的符号变化依次为，. 故选C.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,3.函数f(x)ln xax(a0)的单调递增区间为,答案,解析,解析 f(x)的定义域为x|x0，且a0，,4.若函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增，则m的取值范围是,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 函数f(x)x32x2mx1在(，)内单调递增， f(x)3x24xm0在R上恒成立，,1,2,3,4,5,5.求函数f(x)(xk)ex的单调区间.,解 f(x)ex(xk)ex(xk1)ex， 当xk1时，f(x)0， f(x)的单调递减区间为(，k1)， 单调递增区间为(k1，).,解答,1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导数f(x). (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0. (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.,规律与方法,
