1、必考部分 第五章第五章 数列数列 第四讲 数列求和 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点一 公式法求和 (1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、 等比数列的前 n 项和公式 (2)等差数列的前 n 项和公式： Snna 1an 2 _. na1nn1 2 d d 2n 2 a1d 2 n 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)等比数列的前 n 项和公式： Sn na1，q1， a1anq 1q _，q1. 注意等比数列公比 q
2、 的取值情况，要分 q1，q1. a11qn 1q 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点二 分组求和法 一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则 求和时可用分组求和法，分别求和后相加减如若一个数列的奇数项成 等差数列，偶数项成等比数列，则可用分组求和法求其前n项和 知识点三 倒序相加法 如果一个数列an的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等 且等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等 差数列的前n项和公式即是用此法推导的 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点四 错位相减法 如果一个数列的各项是由一个
3、等差数列和一个等比数列的对应项之 积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的 知识点五 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点六 并项求和法 在一个数列的前n项和中，可两两合并求解，则称之为并项求 和如an是等差数列，求数列(1)nan的前n项和，可用并项求和法 求解 形如an(1)nf(n)类型，可考虑采用两项合并求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 1常见的裂项公式 (1) 1 nn1 1 n 1 n1； (
4、2) 1 nnk 1 k 1 n 1 nk ； (3) 1 n21 1 2 1 n1 1 n1 ； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (4) 1 2n12n1 1 2 1 2n1 1 2n1 ； (5) 1 n n1 n1 n； 1 n nk 1 k( nk n)； (6) 1 nn1n2 1 2 1 nn1 1 n1n2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)如果数列an为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和为 Sn a 1an1 1q . ( ) (2)sin21
5、sin22 sin23 sin287 sin288 sin289 可用倒序相 加求和 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)当 n2 时， 1 n21 1 2 1 n1 1 n1 . ( ) (4)求数列 1 2n2n3 的前 n 项和可用分组求和 ( ) 解析 (1)因为数列an为等比数列， 且公比不等于 1.则其前 n 项和 为 Sna 11q n 1q a 1a1q n 1q a 1an1 1q . (2)因为 sin21 sin289 sin22 sin288 sin23 sin287 1，所以 sin21 sin22 sin23 sin287 sin2
6、88 sin289 可用倒序相加求 和 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)因为1 2 1 n1 1 n1 1 2 n1n1 n1n1 1 n21. (4)因为数列 1 2n2n3 是由一个等比数列 1 2n 与一个等差数列的和 数列，所以求数列 1 2n2n3 的前 n 项和可以用分组求和 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组二 走进教材 2(必修 5P61T4 改编)Sn1 2 1 2 3 8 n 2n等于 ( ) A2 nn1 2n B2 n1n2 2n C2 nn1 2n D2 n1n2 2n B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
7、） 第五章 数列 解析 由 Sn1 2 2 22 3 23 n 2n 得1 2Sn 1 22 2 23 n1 2n n 2n 1 得， 1 2Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n 1， 1 2 1 1 2 n 11 2 n 2n 1， Sn2 n1n2 2n . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 3 (必修 5P47B 组 T4 改编)数列an的前 n 项和为 Sn， 若 an 1 nn1， 则 S5等于 ( ) A1 B5 6 C1 6 D 1 30 B 解析 an 1 nn1 1 n 1 n1，S5a1a2a51 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6
8、. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 4(必修 5P47T4 改编)数列an的通项公式是 an 1 n n1，前 n 项和为 9，则 n ( ) A9 B99 C10 D100 B 解析 因为 an 1 n n1 n1 n.所以 Sna1a2a3 an( 21)( 3 2)( n1 n) n11.所以 n1 19，即 n110，所以 n99.故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组三 走向高考 5(2017 课标，15,5 分)等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S4 10，则 k1 n 1 Sk_. 2n n1 返回导航 高考一轮总
9、复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和 设公差为 d，则 a12d3， 4a16d10， a11， d1， ann. 前 n 项和 Sn12nnn1 2 ， 1 Sn 2 nn12 1 n 1 n1 ， k1 n 1 Sk2 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 2 1 1 n1 2 n n1 2n n1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 6(2020 课标，16,5分)数列an满足an2(1)nan3n1，前 16项和为540，则a1_. 解析 令n2k(kN*)，则有a2k2a2k6k1(kN*)， a2a4
10、5，a6a817，a10a1229，a14a1641， 前16项的所有偶数项和S偶517294192， 前16项的所有奇数项和S奇54092448， 令n2k1(kN*)，则有a2k1a2k16k4(kN*) 7 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 a2k1a1(a3a1)(a5a3)(a7a5)(a2k1a2k1)28 146k4k26k4 2 k(3k1)(kN*)， a2k1k(3k1)a1(kN*)， a32a1，a510a1，a724a1，a944a1，a1170a1， a13102a1，a15140a1， 前 16 项的所有奇数项和 S 奇a1a3a158a12
11、1024 44701021408a1392448.a17. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点一 分组求和法师生共研 例例 1 (1)若数列an的通项公式为 an2n2n1，则数列an的 前 n 项和为 ( ) A2nn21 B2n 1n21 C2n 1n22 D2nn2 (2)已知数列an的前 n 项和为 Sn159131721( 1)n 1(4n3)，则 S 15S22S31的值是 ( ) A13 B76 C46 D76 C D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)Sna1a2a3an (21211)
12、(22221)(23231)(2n2n1) (2222n)2(123n)n 212 n 12 2nn1 2 n 2(2n1)n2nn 2n 1n22. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)因为Sn159131721(1)n1(4n3)，所以S15 (15)(913)(4953)57(4)75729，S22(15) (913)(1721)(8185)41144，S31(15)(9 13)(1721)(113117)12141512161，所以S15S22 S3129446176. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 分组转化法求和的常见类型 (1)若
13、 anbn cn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组求和 法求an的前 n 项和 (2)通项公式为 an bn，n为奇数， cn，n为偶数 的数列，其中数列bn，cn是 等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练 1 (1)已知数列an的通项公式是 an2n 1 2 n，则其前 20 项和为 ( ) A379 1 220 B399 1 220 C419 1 220 D439 1 220 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)(2021 信 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 an 中 ， a1 a2
14、1 ， an 2 an2，n是奇数， 2an，n是偶数， 则数列an的前 20 项和为 ( ) A1 121 B1 122 C1 123 D1 124 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)令数列an的前 n 项和为 Sn， 则 S20a1a2a3a20 2(12320) 1 2 1 22 1 23 1 220 420 1 1 220 419 1 220. (2)由题意知，数列a2n是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列a2n 1是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列an的前 20 项和为 11210 12 101109 2 21 123. 返回导航
15、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点二 裂项相消法多维探究 例例 2 角度 1 形如 bn 1 anan1(an为等差数列)型 Sn为数列an的前 n 项和，已知 an0，a2 n2an4Sn3. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn 1 anan1，求数列bn的前 n 项和 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)由 a2 n2an4Sn3， 可知 a2 n12an14Sn13. 可得 a2 n1a 2 n2(an1an)4an1， 即 2(an1an)a2 n1a 2 n(an1an)(an1an) 由 an0，可得 an1an2. 又
16、a2 12a14a13， 解得 a11(舍去)或 a13. 所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)由 an2n1 可知 bn 1 anan1 1 2n12n3 1 2 1 2n1 1 2n3 . 设数列bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnb1b2bn 1 2 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n1 1 2n3 n 32n3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 例例 3 角度 2 形如 an 1 nk n型 (2021 西安八校联考)已知函数 f(x)x的图象过点(4,2)，
17、令 an 1 fn1fn，nN .记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 022等于 ( ) A 2 0211 B 2 0221 C 2 0231 D 2 0231 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 由 f(4)2 可得 42，解得 1 2，则 f(x)x 1 2 . an 1 fn1fn 1 n1 n n1 n， S2 022a1a2a3a2 022( 2 1)( 3 2)( 4 3) ( 2 023 2 022) 2 0231. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 例例 4 角度 3 形如 bn an ankan1k 1 q1(an为
18、等比数列)型 (2021 辽宁凌源二中联考)已知数列an与bn的前 n 项和分 别为 Sn，Tn，且 an0,6Sna2 n3an，nN *，b n 2an 2an12an11，若 对任意的 nN*，kTn恒成立，则 k 的最小值是 ( ) A1 7 B49 C 1 49 D 8 441 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 当 n1 时，6a1a2 13a1，解得 a13 或 a10(舍去)，又 6Sna2 n3an，6Sn1a 2 n13an1，两式作差可得 6an1a 2 n1a 2 n3an 13an，整理可得(an1an)(an1an3)0，结合 an0
19、可得 an1an 30，an1an3，故数列an是首项为 3，公差为 3 的等差数列， an3(n1)33n， 则 bn 2an 2an12an11 8n 8n18n 111 7 1 8n1 1 8n 11，Tn 1 7 1 81 1 821 1 821 1 831 1 8n1 1 8n 11 1 7 1 7 1 8n 11 1 49，k 1 49.故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题角度凸显灵活多 变在解题中，要善于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项 公式，达到求解的目的 (1)直接考查裂项相消法求和解决此类问题
20、应注意以下两点：抵 消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也 剩两项； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数 之积与原通项相等 如： 若an是等差数列， 则 1 anan1 1 d 1 an 1 an1 ， 1 anan2 1 2d 1 an 1 an2 . (2)与不等式相结合考查裂项相消法求和解决此类问题应分两步： 第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练 2 (1)(角度 1)(2021 衡水中学调研卷
21、)在数列an中，an 1 n1 2 n1 n n1，又 bn 1 anan1，则数列bn的前 n 项和 Sn_. (2)(角度 2)求和 S 1 1 3 1 3 5 1 119 121 ( ) A5 B4 C10 D9 A 4n n1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)(角度 3)an是等比数列，a21 2，a5 1 16，bn an1 an1an11， 则数列bn的前 n 项和为 ( ) A 2n1 22n1 B2 n1 2n1 C 1 2n1 D2 n1 2n2 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)由已知得 an 1 n1 2
22、 n1 n n1 1 n1(12 n)n 2，所以 bn 1 n 2 n1 2 4 1 n 1 n1 ，所以数列bn的前 n 项和为 Sn 4 11 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n1 4 1 1 n1 4n n1. (2)S1 3 13 3 5 35 119 121 119121 111 2 5，故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)a5a2 q3，q3 1 8 ，q 1 2 ，a11，an 1 2 n1 ，bn 1 2 n 1 2 n11 1 2 n1 1 1 2 n1 1 1 2 n11 b1 b2 b3 bn 1 1 2 11 1 1
23、 2 01 1 1 2 21 1 1 2 11 1 1 2 31 1 1 2 21 1 1 2 n1 1 1 2 n11 1 1 2 n1 1 2 2n1 22n1.故选 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点三 错位相减法师生共研 例例 5 (2019 天津)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于 0.已知 a1b13，b2a3，b34a23. (1)求an和bn的通项公式； (2)设数列cn满足 cn 1，n为奇数， bn 2，n为偶数. 求 a1c1a2c2a2nc2n(nN*) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)设等差数列
24、an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q.依 题意， 得 3q32d， 3q2154d， 解得 d3， q3， 故an33(n1)3n， bn33n 13n. 所以，an的通项公式为 an3n，bn的通项公式为 bn3n. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)a1c1a2c2a2nc2n (a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn) n3nn1 2 6 (631123218336n3n) 3n26(131232n3n) 记 Tn131232n3n， 则 3Tn132233n3n 1， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 得，2T
25、n332333nn3n 1 313 n 13 n3n 12n13 n13 2 . 所以，a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n232n13 n13 2 2n13 n26n29 2 (nN*) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 用错位相减法解决数列求和的模板 第一步：(判断结构)若数列an bn是由等差数列an与等比数列 bn(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和 第二步：(乘公比)设an bn的前n项和为Tn，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(kN*) 的项对齐，然后两边同时作差 第四步：(求和)将作差后的结果求和
26、化简，从而表示出Tn. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 用错位相减法求和应注意的问题 (1)如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘 积组成，此时求和可采用错位相减法 (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以 便下一步准确写出“SnqSn”的表达式 (3)“SnqSn”化简的关键是化为等比数列求和，一定要明确求和的 是n项还是n1项，一般是n1项 (4)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比 等于1和不等于1两种情况讨论求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练3 (1)12x
27、3x2nxn1_. (2)(2020 课标，17,12分)设an是公比不为1的等比数列，a1为a2， a3的等差中项 求an的公比； 若a11，求数列nan的前n项和 nn1 2 x1 11nxnnxn 1 1x2 x1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)当 x0 时，12x3x2nxn 11； 当 x1 时，12x3x2nxn 1123nnn1 2 ， 当 x0 且 x1 时 解法一：记 Sn12x3x2nxn 1，则 xS nx2x 2(n 1)xn 1nxn，两式相减得：(1x)S n1xx 2xn1nxn1x n 1x nxn，Sn11nx nnxn1
28、 1x2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解法二：12x3x2nxn 1(xx2x3xn) x1xn 1x 11nx nnxn1 1x2 ， 综上可知 12x3x2nxn 1 nn1 2 x1， 11nxnnxn 1 1x2 x1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)设an的公比为 q，由题设得 2a1a2a3，即 2a1a1qa1q2. 所以 q2q20，解得 q11(舍去)，q22. 故an的公比为2. 记 Sn为nan的前 n 项和由(1)及题设可得，an(2)n 1. 所以 Sn12(2)n(2)n 1， 2Sn22(2)2(n1)(
29、2)n 1n(2)n. 可得 3Sn1(2)(2)2(2)n 1n(2)n12 n 3 n(2)n.所以 Sn1 9 3n12n 9 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点四 倒序相加法师生共研 例例 6 设 f(x) 4x 4x2，若 Sf 1 2 022 f 2 2 022 f 2 021 2 022 ，则 S _. 分析 利用 f(x)f(1x)1 求解 2 021 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 f(x) 4x 4x2， f(1x) 41 x 41 x2 2 24x. f(x)f(1x) 4x 4x2 2 24x1. Sf 1
30、 2 022 f 2 2 022 f 2 021 2 022 ， Sf 2 021 2 022 f 2 020 2 022 f 1 2 022 ， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 ，得 2S f 1 2 022 f 2 021 2 022 f 2 2 022 f 2 020 2 022 f 2 021 2 022 f 1 2 022 2 021. S2 021 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 倒序相加法应用的条件 与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写 与倒着写的两个和相加的方法求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
31、高考） 第五章 数列 变式训练 4 设 f(x) x2 1x2，则 f 1 2 022 f 1 2 021 f(1)f(2)f(2 022) _. 4 043 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 f(x) x2 1x2，f(x)f 1 x 1. 令 Sf 1 2 022 f 1 2 021 f(1)f(2)f(2 022) 则 Sf(2 022)f(2 021)f(1)f 1 2 f 1 2 022 2S4 043，S4 043 2 . 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 例例 7 数列的综合应用与实际应用 一次
32、展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品，如图所 示若按照这种规律依次增加一定数量的宝石，则第 5 件工艺品所用的 宝石数为_颗； 第 n 件工艺品所用的宝石数为_.(结果用 n 表示) 66 2n23n1 分析 设第 n 个图有宝石 an颗，逐项研究，寻找规律 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 解法一：设第n个图有宝石an颗，则a16，a265 41，a3a2542625(12)4，a4a35436 35(123)4，a5a4544645(1234)4 66，an6(n1) 5(123(n1) 42n23n1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列
33、 解法二：设第n个图有an颗宝石，则a16，anan154(n1)， 即anan14n1， an1an24(n1)1 a2a1421，a16 累加得an4(12n)n1 2n(n1)n1 2n23n1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 逐项研究是解决问题的基本方法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练5 小时候，我们就用手指练习过数数一个小朋 友按如图所示的规则练习数数，数到2 019时对应的 指头是_.(各指头的名称依次为大拇指、食 指、中指、无名指、小指) 中指 解析 观察图形可知大拇指所对应的数是以 1 为首项， 公差为 8 的 等差数列，其通项 an18(n1)8n7，又 2 019(82537)2， 故 2 019 对应的指头是从大拇指开始再数两个数即中指 谢谢观看
