1、必考部分 第五章第五章 数列数列 第一讲 数列的概念与简单表示法 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 概念 含义 数列 按照_排列的一列数 数列的项 数列中的_ 数列的 通项 数列an的第n项an 知识点一 数列的有关概念 一定顺序 每一个数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 概念 含义 通项公式 数列an的第n项an与n之间的关系能用公式_ 表达，这个公式叫做数列an的通项公式 前n项和 数列an中，Sn_叫做数列an的前n 项和 anf(n) a1a2
2、an 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点_画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项 公式 把数列的通项使用_表示的方法 递推 公式 使用初始值a1和an1f(an)或a1，a2和an1f(an，an1)等 表示数列的方法 知识点二 数列的表示方法 (n，an) 公式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 则an _，n1， _，n2. 知识点三 an与Sn的关系 若数列an的前n项和为Sn， S1 SnSn1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点四 数列的分类 返回导航 高考一轮总
3、复习 数学（新高考） 第五章 数列 1数列与函数 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集 1,2，n)的函数，当自变量_依次取值时对应的一列函 数 值 数 列 的 通 项 公 式 是 相 应 函 数 的 解 析 式 ， 它 的 图 象 是 _. 从小到大 一群孤立的点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 2常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，ann. (2)奇数列：1,3,5,7，an2n1. (3)偶数列：2,4,6,8，an2n. (4)平方数列：1,4,9,16，ann2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，an2n. (6)乘积数
4、列：2,6,12,20，ann(n1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (7)正整数的倒数列：1，1 2， 1 3， 1 4，an 1 n. (8)重复数串列：9,99,999,9 999，an10n1. (9)符号数列：1,1，1,1，或1，1,1，1，an(1)n或 an(1)n 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来 ( ) (2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 ( ) (3)若an1an0(n2)，则函数an是递
5、增数列 ( ) (4)如果数列an的前n项和为Sn，则对于任意nN*，都有an1Sn 1Sn. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)因为数列是按一定顺序排列的一列数， 如我班某次数学测 试成绩，按考号从小到大的顺序排列，这个数列肯定没有通项公式，所 以错误 (2)比如数列 1,0,1,0，的通项公式为：an sin n 2 或 an cos n1 2 或 an11 n 2 ，所以正确 (3)因为 n1 时，a2与 a1不确定大小关系 (4)由数列前 n 项和的定义可知，当 nN*，都有 an1Sn1Sn，所 以正确 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
6、） 第五章 数列 题组二 走进教材 2(必修5P67A组T2改编)数列1，4,9，16,25，的一个通项公 式是 ( ) Aann2 Ban(1)n n2 Can(1)n1 n2 Dan(1)n (n1)2 解析 因为每一项的绝对值是该项序号的平方，奇数项符号为 正，偶数项符号为负，所以an(1)n1 n2.故选C. C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 3(必修5P33A组T4改编)在数列an中，a11，an1 1n an1 (n2)，则a5等于 ( ) A.3 2 B5 3 C8 5 D2 3 D 解析 a21 12 a1 2，a31 13 a2 1 2 ，a41 1
7、4 a3 3， a511 5 a4 2 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 4(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数 构成的数列的一个通项公式an_. 5n4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组三 走向高考 5(2020 浙江，11,4分)我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶 等差数列的求和问题，如数列 nn1 2 就是二阶等差数列数列 nn1 2 (nN*)的前3项和是_. 10 解析 数列 nn1 2 的前三项依次为 12 2 1， 23 2 3， 34 2 6， 所求和为13610. 返回导航 高考一轮总复习
8、 数学（新高考） 第五章 数列 6(2018 全国卷，5分)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an 1，则S6_. 解析 解法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解 得a11； 当n2时，a1a22a21，解得a22； 当n3时，a1a2a32a31，解得a34； 当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48； 当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516； 当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632； 所以S61248163263. 63 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解法二：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a
9、1 1， 当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以 数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n 1，所以S 6 112 6 12 63. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式自主练透 例 1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)1,7，13,19，； (2) 1 12， 1 23， 1 34， 1 45，； (3)2 3， 4 15， 6 35， 8 63， 10 99，； (4)1 2，2， 9 2，8， 25 2 ，； (5)5,55,5
10、55,5 555， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 思考：如何根据数列的前几项的值写出数列的一个通项公式？ 解析 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式( 1)n；观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6， 故数列的一个通项公式an(1)n(6n5) (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数， 且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式an(1)n 1 nn1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为 13,35,57,79,911，即分母的每
11、一项都是两个相邻奇数的 乘积，故所求数列的一个通项公式an 2n 2n12n1. (4)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一 成分数再观察，即 1 2 ， 4 2 ， 9 2 ， 16 2 ， 25 2 ，从而可得数列的一个通项公 式ann 2 2 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (5)将原数列改写为 5 9 9， 5 9 99， 5 9 999.，易知数列 9,99,999，的通项公式为10n1，故所求的数列的一个通项公式an 5 9 (10n1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体
12、策略 (1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化 (转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等 (2)具体策略： 分式中分子、分母的特征； 相邻项的变化特征； 拆项后的特征； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 各项的符号特征和绝对值特征； 化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找 分子、分母之间的关系； 对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN*处理 注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项 公式也不一定唯一. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点二 由an与Sn的关系求通项公式
13、多维探究 角度1 已知Sn求an问题 (1)若数列an的前n项和Snn210n，则此数列的通项公式 为an_. (2)若数列an的前n项和Sn2n1，则此数列的通项公式为an _. (3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an _. 例 2 2n11 3n1， 2n 1n2 2，n1， 2n 1 n ，n2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)当n1时，a1S11109； 当n2时， anSnSn1n210n(n1)210(n1)2n11. 当n1时，21119a1，所以an2n11. 故填2n11. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章
14、 数列 (2)当n1时，a1S12113； 当n2时， anSnSn1(2n1)(2n 11)2n2n12n1. 综上有an 3n1， 2n 1n2. 故填 3n1， 2n 1n2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)当n1时，由已知，可得a1212， a12a23a3nan2n， 故a12a23a3(n1)an12n 1(n2)， 由，得nan2n2n 12n1， an2 n1 n (n2) 显然当n1时不满足上式， an 2，n1， 2n 1 n ，n2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 角度2 Sn与an的关系问题 已知数列an的前n项和
15、Sn1 3an 2 3，则an的通项公式为an _. 例 3 解析 当n1时，a1S11 3a1 2 3，所以a11.当n2时，anSn Sn1 1 3an 1 3 an1，所以 an an1 1 2 ，所以数列an为首项a11，公比q 1 2的等比数列，故an 1 2 n1. 1 2 n1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化 (1)利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式 (2)利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（
16、新高考） 第五章 数列 已知Sn求an的一般步骤 (1)当n1时，由a1S1，求a1的值 (2)当n2时，由anSnSn1，求得an的表达式 (3)检验a1的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示an. (4)写出an的完整表达式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练1 (1)(角度1)(2020 福建三明一中期中)已知Sn为数列an的前n项和，且 log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式 ( ) Aan2n Ban 3，n1， 2n，n2 Can2n 1 Dan2n 1 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)(角度2)(2
17、021 辽宁部分重点高中高三联考)已知数列an的前n项 和为Sn，满足Sn2an1，则an的通项公式为 ( ) Aan2n1 Ban2n 1 Can2n1 Dan2n1 (3)(角度1)设数列an满足a13a232a33n 1a nn 3.则an _. B 1 3n 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)由log2(Sn1)n1，得Sn12n 1.当n1时，a 1S1 3；当n2时，anSnSn12n，所以数列an的通项公式为an 3，n1， 2n，n2. 故选B. (2)当n1时，S12a11a1，a11.当n2时，anSnSn1 2an2an1，an2an1.
18、因此an2n 1(n2)又n1时，2n11a 1， an2n 1.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)因为a13a232a33n 1a nn 3， 则当n2时， a13a232a33n 2a n1n1 3 ， 得3n 1a n1 3，所以an 1 3n(n2) 由题意知a11 3符合上式，所以an 1 3n. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 角度1 形如an1anf(n)，求an (2021 河南师大附中月考)已知数列an满足an1an 1 2n ， a11，则an_. 考点三 由递推关系求通项公式多维探究 例 4 2 1 2n 1
19、返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 由题意知anan1 1 2n 1 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 1 2n 1 1 2n 21 21 1 1 2n 11 2 2 1 2n 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 角度2 形如an1anf(n)，求an (2021 宁夏银川月考)在数列an中，a11,3an1 11 n 2a n(nN *)，则数列a n的通项公式为 ( ) Aan n2 3n 1 Bann 23 3n1 Can4n 22 3n 1 Dann 21 3n1 例 5 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
20、 第五章 数列 解析 解法一：由已知得a n1 an 1 3 n12 n2 an an an1 an1 an2 a2 a1a1 1 3 n2 n12 1 3 n12 n22 1 3 22 121 n2 3n 1. 解法二：由题意得 an1 n12 1 3 an n2 .又n1时， an n2 1，故数列 an n2 是首 项为1，公比为1 3的等比数列从而 an n2 1 3n 1，即an n2 3n 1.故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解法三：当n1时，选项A为1，B为1，C为 2 3 ，D为1，否定C，当n 2时，由已知得a24 3，选项A为 4 3，B为
21、 7 10，D为 5 8，否定B，D，故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 角度3 形如an1AanB(A0且A1)，求an (2021 西北师大附中调研)已知数列an满足a12，且an 13an6，则an_. 例 6 3n13 解析 an13an6， an133(an3)， 又a12，a131， an3是首项为1，公比为3的等比数列，an33n 1，a n 3n 13. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 已知递推关系求通项，一般有三种常见思路 (1)算出前几项，再归纳、猜想 (2)形如“an1panq”这种形式通常转化为an1p(an)，由
22、待定系数法求出，再化为等比数列 (3)递推公式化简整理后，若为an1anf(n)型，则采用累加法；若 为a n1 an f(n)型，则采用累乘法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练2 根据下列条件，写出数列an的通项公式： (1)(角度1)若a11，an1an2n1，则an_； (2)(角度2)若a11，nan1(n1)an(n2)，则an_； (3)(角度3)若a11，an13an2，则an_. n22n2 23n11 2 n1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)an1an2n1，当n2时，a2a11，a3a2 3，anan12
23、n3， ana1 12n3n1 2 (n1)2，an(n1)21n22n 2， 又当n1时，122121，n1时符合上式 ann22n2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)nan1(n1)an， an an1 n n1 ，又a11，an an an1 an1 an2 a2 a1 a1 n n1 n1 n n2 n1 2 3 2 n1. (3)an13an2，an113(an1)，又a11， a112，an1是首项为2公比为3的等比数列， an123n 1，a n23 n11. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点四 数列的函数性质多维探究
24、角度1 数列的单调性 若数列an满足ann2kn4(nN*)且an是递增数列， 则实数k的取值范围为_. 解析 由数列是一个递增数列，得an1an，又因为通项公式an n2kn4，所以(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又 nN*，所以k3. 例 7 k3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 角度2 数列的周期性 (2020 福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列an前n项 和，若a11 2，且an1 2 2an(nN *)，则6S 100 ( ) A425 B428 C436 D437 分析 由递推公式逐项求解，探求规律 例 8 A 返回导航 高考一轮总复习
25、数学（新高考） 第五章 数列 解析 由数列的递推公式可得： a2 2 2a1 4 3 ，a3 2 2a2 3，a4 2 2a3 2，a5 2 2a4 1 2 a1， 据此可得数列an是周期为4的周期数列，则：6S100 625 1 2 4 332 425.选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 角度3 数列的最大、小项问题 已知数列an的通项公式an(n1) 10 11 n，则数列a n中的 最大项是第_项 例 9 9、10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 解法一：an1an(n2) 10 11 n1(n1) 10 11 n 10 11 n
26、9n 11 ， 当n0，即an1an； 当n9时，an1an0，即an1an； 当n9时，an1an0，即an1an， 该数列中有最大项，为第9、10项， 且a9a1010 10 11 9. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解法二：根据题意，令 an1an， anan1 (n2)， 即 n 10 11 n1n1 10 11 n， n1 10 11 nn2 10 11 n1， 解得9n10. 又nN*，n9或n10， 该数列中有最大项，为第9、10项， 且a9a1010 10 11 9. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (1)解决数列周期性问题的方
27、法：先根据已知条件求出数列的前几 项，确定数列的周期，再根据周期性求值 (2)判断数列单调性的方法：作差(或商)法；目标函数法：写出 数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调 性，再将函数的单调性对应到数列中去 (3)求数列中最大(小)项的方法：根据数列的单调性判断；利用 不等式组 anan1 anan1 或 anan1 anan1 求出n的值，进而求得an的最值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练3 (1)(角度1)已知数列an的通项公式为an 3nk 2n ，若数列an为递减 数列，则实数k的取值范围为 ( ) A(3，) B(2，) C(
28、1，) D(0，) D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)(角度3)数列an的通项公式an n290 n ，则数列an中的最小项 是 ( ) A3 10 B19 C 1 19 D 10 60 (3)(角度2)已知数列an满足a10，an1 an 3 3an1 (nN*)，则a2 022 等于_. B 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)因为an1an 3n3k 2n 1 3nk 2n 33nk 2n 1，由数列an 为递减数列知，对任意nN*，an1an33nk 2n 133n对任意nN*恒成立，所以k(0，) (2)令f(x)x
29、 90 x (x0)，运用基本不等式得f(x)2 90，当且仅当x 3 10时等号成立因为ann 90 n ，所以n 90 n 2 90，由于nN*，不 难发现当n9或n10时，an19最小，故选B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)由已知得a10，a2 3，a3 3，a40，a5 3，由 此可知数列an的项是以3为周期重复出现的，而2 0223674，因此a2 022a3 3. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 热点一 an1 Aan BanC(A、B、C为常数)型 已知数列an中，a11，an1 2an a
30、n2 ，则数列an的通项 公式为an_. 例 10 递推数列的通项公式的求法 2 n1(nN *) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 an1 2an an2，a11，an0， 1 an1 1 an 1 2，即 1 an1 1 an 1 2，又a11，则 1 a11， 1 an 是以1为首项，1 2为公差的等差数列， 1 an 1 a1(n1) 1 2 n 2 1 2， an 2 n1(nN *) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 形如an1 Aan BanC(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数 的方法构造新数列求解 返回导航 高考一
31、轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 热点二 an1panf(n)(p为常数)型 在数列an中，(1)若a12，an14an3n1，nN*，则 an_. (2)若a11，an12an3n，nN*，则an_. 例 11 4n1n 3n2n 分析 观察递推式特征：an1panf(n)，类似等比数列，故可尝 试化为等比数列求解，以(1)为例可设an1(n1)4(ann)， 整理得an14an3n(3)所以 33， 31 ，即 1 0 转化成 功 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)an14an3n1，an1(n1)4(ann)，即 an1n1 ann 4，又a12，
32、a111，ann是首项为1，公比为4 的等比数列，ann4n 1.a n4 n1n. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)an12an3n，令an1 3n 12(a n 3 n)比较系数得1. an13n 12(a n3 n)，即 an13n 1 an3n 2，又a11，a132， an3n是首项为2，公比为2的等比数列，an3n2n，an3n 2n. 另解：an12an3n，a n1 3n 2 3 an 3n 11， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 a n1 3n 32 3 an 3n 13 ，又a11， an 3n 13 是首项为2，公比为
33、2 3 的等比数列， an 3n 132 2 3 n1，a n3 n2n. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (1)形如an1panAnB(p、A、B为常数)的类型，可令an1(n 1)p(ann)，求出、的值即可知ann为等比数列，进 而可求an. (2)形如an1panAqn(p、A为常数)的类型当pq时，可令an1 qn 1p(a nq n)，求出的值即可知a nq n是等比数列，进而可求 an，当pq时可化为 an1 qn an qn 1A即 an1 qn an qn 1A(常数)知 an qn 1为等差 数列，进而可求an. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
34、考） 第五章 数列 变式训练4 在数列an中， (1)a11，an an1 2an11(n2)，则an_； (2)若a11，an12an3n，nN*，则an_； (3)若a11，an12an3 2n，nN*，则an_. 5 2n13n3 (3n2) 2n1 1 2n1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)将an an1 2an11 两边取倒数，得 1 an 1 an1 2，这说明 1 an 是一个等差数列，首项是 1 a11，公差为2，所以 1 an1(n1)22n 1，即an 1 2n1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)an12an3n，令an1(n1)2(ann)，则 3， 0， 即 3， 3， an13(n1)32(an3n3) 又a11，an3n3是首项为5，公比为2的等比数列，an 3n35 2n 1 an5 2n 13n3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)an12an3 2n，a n1 2n an 2n 13，又a11， an 2n 1是首项为1，公差为3的等差数列， an 2n 113(n1)，an(3n2) 2n 1. 谢谢观看
