1、必考部分 第五章第五章 数列数列 第三讲 等比数列及其前n项和 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列_ _，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 _，通常用字母_表示 符号语言：_(nN*，q为非零常数) 从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常 数(不为零) 公比 q an1 an q 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_叫做a与b的
2、等比 中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2_. 注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab0 时，a、b才有等比中项，且有互为相反数的两个 G ab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点二 等比数列的有关公式 (1)通项公式：an_. (2)前 n 项和公式：Sn _，q1， _，q1. a1qn1 amqnm na1 a11qn 1q a1anq 1q 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 知识点三 等比数列的主要性质 设数列an是等比数列，Sn是其前n项和 (1)若mnpq，则amanapaq，其中m，n，p，qN*
3、，特别地， 若2spr，则apara，其中p，s，rN*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak 2m，仍是等比数列，公比为qm(k，mN*) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)若数列an，bn是两个项数相同的等比数列，则数列ban， pan qbn和 pan qbn (其中 b，p，q 是非零常数)也是等比数列 (4)当 q1 或 q1 且 k 为奇数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，是 等比数列当 q1 且 k 为偶数时，Sk，S2kSk，S3kS2k，不是等比 数列 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (5)等
4、比数列an的单调性 满足 a10， q1 或 a10， 0q0， 0q1 或 a11 时，an是递减数列 当 a10， q1 时，an为常数列 当 q0(nN*)，则logaan(a0 且 a1)成等 差数列，反之亦然 (6)若an是等差数列，则aan(a0，a1)成等比数列，反之亦然 (7)三个数成等比数列可设三数为b q，b，bq，四个数成等比数列且公 比大于 0 时，可设四个数为 b q3， b q，bq，bq 3. 2等比数列前 n 项和公式的推导方法_. 错位相减法 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“
5、”) (1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列( ) (2)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比 数列 ( ) (3)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (4)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 Sna1a n 1a . ( ) (5)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组二 走进教材 2(必修 5P46T4 改编)已知an是等比数列，a22，a51 4，则公比
6、 q 等于 ( ) A1 2 B2 C2 D1 2 D 解析 由题意知 q3a5 a2 1 8，即 q 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 3(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两 个数成等比数列，则这两个数为_. 解析 设该数列的公比为q，由题意知，1923q3，q364，所 以q4.所以插入的两个数分别为3412,12448. 12,48 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 4(必修 5P62B 组 T2 改编)等比数列an的首项 a11，前 n 项和 为 Sn，若S10 S5 31 32，则an的通项公式 a
7、n_. 解析 因为S10 S5 31 32，所以 S10S5 S5 1 32，因为 S5，S10S5，S15 S10成等比数列，且公比为 q5，所以 q5 1 32，q 1 2，则 an1 1 2 n1 1 2 n1. 1 2 n1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 题组三 走向高考 5(2020 课标，10,5分)设an是等比数列，且a1a2a31，a2 a3a42，则a6a7a8 ( ) A12 B24 C30 D32 解析 设等比数列an的公比为q， 故a2a3a4q(a1a2a3)， 又a2a3a42，a1a2a31，q2， a6a7a8q5(a1a2a3)253
8、2，故选D D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 6(2018 北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉 最早用数学方法计算出半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献 十 二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二 个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若 第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为 ( ) A 3 2f B 3 22f C 12 25f D 12 27f D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应 用 由题意知十三个
9、单音的频率依次构成首项为 f，公比为 12 2的等比数 列，设此数列为an，则 a8 12 27f，即第八个单音的频率为 12 27f，故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 7(2019 全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a11 3，a 2 4 a6，则 S5_. 解析 解法一： 设等比数列an的公比为 q， 因为 a2 4a6， 所以(a1q 3)2 a1q5， 所以 a1q1， 又 a11 3， 所以 q3， 所以 S5 a11q5 1q 1 313 5 13 121 3 . 121 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解法
10、二：设等比数列an的公比为 q，因为 a2 4a6，所以 a2a6a6， 所以 a21，又 a11 3，所以 q3，所以 S5 a11q5 1q 1 313 5 13 121 3 . 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点一 等比数列的基本运算自主练透 例例 1 (1)(2015 新课标全国， 9)已知等比数列an满足a11 4， a3a5 4(a41)，则 a2 ( ) A2 B1 C1 2 D1 8 (2)(2019 全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a11，S3 3 4，则 S4_. C 5 8 返回导航 高考一轮总复习
11、 数学（新高考） 第五章 数列 (3)(2020 课标，6,5 分)数列an中，a12，amnaman.若 ak1ak 2ak1021525，则 k ( ) A2 B3 C4 D5 (4)(2020 课标，6,5 分)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a5a3 12，a6a424，则Sn an ( ) A2n1 B221 n C22n 1 D21 n1 C B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)设等比数列an的公比为 q，由 a11 4，a3a54(a41)， 知 q1，则 a1q2a1q44(a1q31)， 1 16q 64 1 4q 31 ，q616
12、q3 640，(q38)20，即 q38，q2，a21 2，故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)解法一： 设等比数列an的公比为 q， 由 a11 及 S33 4， 易知 q1. 把 a11 代入 S3a 11q 3 1q 3 4，得 1qq 23 4，解得 q 1 2，所以 S4 a 11q 4 1q 1 1 1 2 4 1 1 2 5 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解法二：设等比数列an的公比为 q，因为 S3a1a2a3a1(1q q2)3 4，a11，所以 1qq 23 4，解得 q 1 2，所以 a4a1 q 3 1
13、 2 3 1 8，所以 S4S3a4 3 4 1 8 5 8. 解法三：设等比数列an的公比为 q，由题意易知 q1.设数列an的 前 n 项和 SnA(1qn)(其中 A 为常数)，则 a1S1A(1q)1 ，S3 A(1q3)3 4 ，由可得 A 2 3，q 1 2.所以 S4 2 3 1 1 2 4 5 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (3)由 amnaman，令 m1 可得 an1a1an2an，数列an是公比 为 2 的等比数列，an22n 12n，则 a k1ak2ak102 k12k 22k102 k11210 12 2k 112k121525，k4
14、.故选 C (4)设等比数列an的公比为 q，则a 6a4 a5a3 a5 qa3 q a5a3 q24 122， Sn an a112n 12 a12n 1221 n.故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 等比数列基本量的求法 等比数列的计算涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知其三就能求其 二，即根据条件列出关于a1，q的方程组求解，体现了方程思想的应用 特别提醒：在使用等比数列的前n项和公式时，q的值除非题目中给 出，否则要根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目 用求和公式. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点二 等比
15、数列的判定与证明师生共研 例例 2 (2019 全国卷)已知数列an和bn满足 a11， b10,4an1 3anbn4,4bn13bnan4. (1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列； (2)求an和bn的通项公式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)， 即 an1bn11 2(anbn) 又因为 a1b11， 所以anbn是首项为 1，公比为1 2的等比数列 由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8， 即 an1bn1anbn2. 又因为 a1b11， 所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等
16、差数列 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)由(1)知，anbn 1 2n 1，anbn2n1， 所以 an1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2， bn1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n1 an q(q 为非零常数，nN*)或 an an1q(q 为非零常数 且 n2，nN*)，则an是等比数列 (2)等比中项公式法：若数列an中，an0 且 a2 n1an an2(nN *)， 则数列an是等比数列 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高
17、考） 第五章 数列 (3)通项公式法：若数列通项公式可写成anc qn(c，q均是不为0的常 数，nN*)，则an是等比数列 (4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snk qnk(k为常数且 k0，q0,1)，则an是等比数列 提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填 空题中 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练 1 已知数列an的首项 a10，an1 3an 2an1(nN *)，且 a 12 3. (1)求证： 1 an1 是等比数列，并求出an的通项公式； (2)求数列 1 an 的前 n 项和 Tn. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新
18、高考） 第五章 数列 解析 (1)记 bn 1 an1， 则b n1 bn 1 an11 1 an1 2an1 3an 1 1 an1 2a n13an 33an 1an 31an 1 3， 又 b1 1 a11 3 21 1 2， 所以 1 an1 是首项为 1 2，公比为 1 3的等比数列 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 所以 1 an1 1 2 1 3 n1， 即 an 2 3n 1 12 3n 1. 所以数列an的通项公式为 an 2 3n 1 12 3n 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)由(1)知， 1 an1 1 2 1
19、3 n1，即 1 an 1 2 1 3 n11. 所以数列 1 an 的前 n 项和 Tn 1 2 1 1 3n 11 3 n3 4 1 1 3n n. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 考点三 等比数列性质的应用多维探究 例例 3 角度 1 等比数列项的性质的应用 (1)(2021 洛阳市第一次联考)在等比数列an中， a3， a15是方 程 x26x20 的两根，则a2a16 a9 的值为 ( ) A2 2 2 B 2 C 2 D 2或 2 (2)等比数列an的各项均为正数，且 a1a54，则 log2a1log2a2 log2a3log2a4log2a5_. B 5
20、 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)设等比数列an的公比为 q，因为 a3，a15是方程 x26x 20 的根，所以 a3 a15a2 92，a3a156，所以 a30，a150，S83，S8 S43.故选 C 另解：由题意S12 S4 1q 4q8S 4 S4 1q4q87 即 q8q460， q42 或3(舍去)， S8 S4 1q4S4 S4 1q43，故选 C 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 例例 5 等差、等比数列的综合运用 (2021 重庆巴蜀中学期中)已知等差数列an中，a11，前 n 项和
21、为 Sn，bn为各项均为正数的等比数列，b12，且 b2S27，a2 b310. (1)求 an与 bn； (2)定义新数列Cn满足 Cn an，n为奇数 bn，n为偶数 (nN*)，求Cn前 20 项的和 T20. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 分析 (1)用等差、等比数列基本公式求解 (2)分组求和即可 解析 (1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q(q0)，则由题意有 2q2d7， 1d2q210， 解得 q2 d1 或 q1 d7 (舍去)， ana1(n1)dn，bnb1qn 12n. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列
22、 (2)由题意知 Cn nn为奇数， 2nn为偶数. T20C1C2C3C4C19C20 12232419220 (1319)(2224220) 10119 2 414 10 14 1004 3(4 101) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 引申(1)本例中数列Cn的前n项和Tn_. (2)本例中若Cnan bn，则Cn的前n项和Tn_. 解析 (1)当 n 为偶数时 Tn n2 4 414 n 2 14 n2 4 4 3(2 n1) n2 4 4 32 n1n为偶数， n12 4 4 32 n11n为奇数. (n1) 2n12 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考）
23、 第五章 数列 当 n 为奇数时 Tn n12 4 414 n-1 2 14 n12 4 4 3(2 n11) Tn n2 4 4 32 n1n为偶数， n12 4 4 32 n11n为奇数. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (2)Tn12222323(n1)2n 1n 2n 则 2Tn122223(n1)2nn 2n 1 得Tn222232nn 2n 1 212 n 12 n 2n 1(1n)2n12， Tn(n1) 2n 12. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 (1)若an， bn分别为等差、 等比数列， 则求an bn前 n 项和时用“错
24、位相减法” (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前 n 项和一般用分组求和 法(注意当 n 为偶数时，奇数项、偶数项都是n 2项；当 n 为奇数时，奇 数项有n1 2 项，偶数项为n1 2 项)需对 n 进行分类讨论求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 变式训练3 (2019 课标，18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列，a1 2，a32a216. (1)求an的通项公式； (2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第五章 数列 解析 (1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q8 0，解得q2(舍去)或q4. 因此an的通项公式为an24n122n1. (2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为13 2n1n2. 谢谢观看
