2022版新高考数学人教版一轮课件:第5章 第3讲 等比数列及其前n项和

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1、必考部分 第五章第五章 数列数列 第三讲 等比数列及其前n项和 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列_ _,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 _,通常用字母_表示 符号语言:_(nN*,q为非零常数) 从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常 数(不为零) 公比 q an1 an q 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_叫做a与b的

2、等比 中项即:G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列G2_. 注意:任意两数的等差中项都唯一存在;但只有两个数满足ab0 时,a、b才有等比中项,且有互为相反数的两个 G ab 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 知识点二 等比数列的有关公式 (1)通项公式:an_. (2)前 n 项和公式:Sn _,q1, _,q1. a1qn1 amqnm na1 a11qn 1q a1anq 1q 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 知识点三 等比数列的主要性质 设数列an是等比数列,Sn是其前n项和 (1)若mnpq,则amanapaq,其中m,n,p,qN*

3、,特别地, 若2spr,则apara,其中p,s,rN*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,akm,ak 2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN*) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列ban, pan qbn和 pan qbn (其中 b,p,q 是非零常数)也是等比数列 (4)当 q1 或 q1 且 k 为奇数时,Sk,S2kSk,S3kS2k,是 等比数列当 q1 且 k 为偶数时,Sk,S2kSk,S3kS2k,不是等比 数列 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (5)等

4、比数列an的单调性 满足 a10, q1 或 a10, 0q0, 0q1 或 a11 时,an是递减数列 当 a10, q1 时,an为常数列 当 q0(nN*),则logaan(a0 且 a1)成等 差数列,反之亦然 (6)若an是等差数列,则aan(a0,a1)成等比数列,反之亦然 (7)三个数成等比数列可设三数为b q,b,bq,四个数成等比数列且公 比大于 0 时,可设四个数为 b q3, b q,bq,bq 3. 2等比数列前 n 项和公式的推导方法_. 错位相减法 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“

5、”) (1)满足an1qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列( ) (2)如果数列an为等比数列,bna2n1a2n,则数列bn也是等比 数列 ( ) (3)如果数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (4)数列an的通项公式是 anan,则其前 n 项和为 Sna1a n 1a . ( ) (5)数列an为等比数列,则 S4,S8S4,S12S8成等比数列 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 题组二 走进教材 2(必修 5P46T4 改编)已知an是等比数列,a22,a51 4,则公比

6、 q 等于 ( ) A1 2 B2 C2 D1 2 D 解析 由题意知 q3a5 a2 1 8,即 q 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 3(必修5P54A组T8改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两 个数成等比数列,则这两个数为_. 解析 设该数列的公比为q,由题意知,1923q3,q364,所 以q4.所以插入的两个数分别为3412,12448. 12,48 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 4(必修 5P62B 组 T2 改编)等比数列an的首项 a11,前 n 项和 为 Sn,若S10 S5 31 32,则an的通项公式 a

7、n_. 解析 因为S10 S5 31 32,所以 S10S5 S5 1 32,因为 S5,S10S5,S15 S10成等比数列,且公比为 q5,所以 q5 1 32,q 1 2,则 an1 1 2 n1 1 2 n1. 1 2 n1 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 题组三 走向高考 5(2020 课标,10,5分)设an是等比数列,且a1a2a31,a2 a3a42,则a6a7a8 ( ) A12 B24 C30 D32 解析 设等比数列an的公比为q, 故a2a3a4q(a1a2a3), 又a2a3a42,a1a2a31,q2, a6a7a8q5(a1a2a3)253

8、2,故选D D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 6(2018 北京,5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉 最早用数学方法计算出半音比例, 为这个理论的发展做出了重要贡献 十 二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二 个单音起,每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若 第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为 ( ) A 3 2f B 3 22f C 12 25f D 12 27f D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解析 本题主要考查等比数列的概念和通项公式,数学的实际应 用 由题意知十三个

9、单音的频率依次构成首项为 f,公比为 12 2的等比数 列,设此数列为an,则 a8 12 27f,即第八个单音的频率为 12 27f,故选 D 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 7(2019 全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a11 3,a 2 4 a6,则 S5_. 解析 解法一: 设等比数列an的公比为 q, 因为 a2 4a6, 所以(a1q 3)2 a1q5, 所以 a1q1, 又 a11 3, 所以 q3, 所以 S5 a11q5 1q 1 313 5 13 121 3 . 121 3 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解法

10、二:设等比数列an的公比为 q,因为 a2 4a6,所以 a2a6a6, 所以 a21,又 a11 3,所以 q3,所以 S5 a11q5 1q 1 313 5 13 121 3 . 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 考点一 等比数列的基本运算自主练透 例例 1 (1)(2015 新课标全国, 9)已知等比数列an满足a11 4, a3a5 4(a41),则 a2 ( ) A2 B1 C1 2 D1 8 (2)(2019 全国卷)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a11,S3 3 4,则 S4_. C 5 8 返回导航 高考一轮总复习

11、 数学(新高考) 第五章 数列 (3)(2020 课标,6,5 分)数列an中,a12,amnaman.若 ak1ak 2ak1021525,则 k ( ) A2 B3 C4 D5 (4)(2020 课标,6,5 分)记 Sn为等比数列an的前 n 项和若 a5a3 12,a6a424,则Sn an ( ) A2n1 B221 n C22n 1 D21 n1 C B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解析 (1)设等比数列an的公比为 q,由 a11 4,a3a54(a41), 知 q1,则 a1q2a1q44(a1q31), 1 16q 64 1 4q 31 ,q616

12、q3 640,(q38)20,即 q38,q2,a21 2,故选 C 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (2)解法一: 设等比数列an的公比为 q, 由 a11 及 S33 4, 易知 q1. 把 a11 代入 S3a 11q 3 1q 3 4,得 1qq 23 4,解得 q 1 2,所以 S4 a 11q 4 1q 1 1 1 2 4 1 1 2 5 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解法二:设等比数列an的公比为 q,因为 S3a1a2a3a1(1q q2)3 4,a11,所以 1qq 23 4,解得 q 1 2,所以 a4a1 q 3 1

13、 2 3 1 8,所以 S4S3a4 3 4 1 8 5 8. 解法三:设等比数列an的公比为 q,由题意易知 q1.设数列an的 前 n 项和 SnA(1qn)(其中 A 为常数),则 a1S1A(1q)1 ,S3 A(1q3)3 4 ,由可得 A 2 3,q 1 2.所以 S4 2 3 1 1 2 4 5 8. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (3)由 amnaman,令 m1 可得 an1a1an2an,数列an是公比 为 2 的等比数列,an22n 12n,则 a k1ak2ak102 k12k 22k102 k11210 12 2k 112k121525,k4

14、.故选 C (4)设等比数列an的公比为 q,则a 6a4 a5a3 a5 qa3 q a5a3 q24 122, Sn an a112n 12 a12n 1221 n.故选 B 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 等比数列基本量的求法 等比数列的计算涉及五个量a1,an,q,n,Sn,知其三就能求其 二,即根据条件列出关于a1,q的方程组求解,体现了方程思想的应用 特别提醒:在使用等比数列的前n项和公式时,q的值除非题目中给 出,否则要根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目 用求和公式. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 考点二 等比

15、数列的判定与证明师生共研 例例 2 (2019 全国卷)已知数列an和bn满足 a11, b10,4an1 3anbn4,4bn13bnan4. (1)证明:anbn是等比数列,anbn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解析 (1)证明:由题设得 4(an1bn1)2(anbn), 即 an1bn11 2(anbn) 又因为 a1b11, 所以anbn是首项为 1,公比为1 2的等比数列 由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8, 即 an1bn1anbn2. 又因为 a1b11, 所以anbn是首项为 1,公差为 2 的等

16、差数列 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (2)由(1)知,anbn 1 2n 1,anbn2n1, 所以 an1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2, bn1 2(anbn)(anbn) 1 2nn 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 等比数列的判定方法 (1)定义法:若a n1 an q(q 为非零常数,nN*)或 an an1q(q 为非零常数 且 n2,nN*),则an是等比数列 (2)等比中项公式法:若数列an中,an0 且 a2 n1an an2(nN *), 则数列an是等比数列 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高

17、考) 第五章 数列 (3)通项公式法:若数列通项公式可写成anc qn(c,q均是不为0的常 数,nN*),则an是等比数列 (4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Snk qnk(k为常数且 k0,q0,1),则an是等比数列 提醒:前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填 空题中 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 变式训练 1 已知数列an的首项 a10,an1 3an 2an1(nN *),且 a 12 3. (1)求证: 1 an1 是等比数列,并求出an的通项公式; (2)求数列 1 an 的前 n 项和 Tn. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新

18、高考) 第五章 数列 解析 (1)记 bn 1 an1, 则b n1 bn 1 an11 1 an1 2an1 3an 1 1 an1 2a n13an 33an 1an 31an 1 3, 又 b1 1 a11 3 21 1 2, 所以 1 an1 是首项为 1 2,公比为 1 3的等比数列 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 所以 1 an1 1 2 1 3 n1, 即 an 2 3n 1 12 3n 1. 所以数列an的通项公式为 an 2 3n 1 12 3n 1. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (2)由(1)知, 1 an1 1 2 1

19、3 n1,即 1 an 1 2 1 3 n11. 所以数列 1 an 的前 n 项和 Tn 1 2 1 1 3n 11 3 n3 4 1 1 3n n. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 考点三 等比数列性质的应用多维探究 例例 3 角度 1 等比数列项的性质的应用 (1)(2021 洛阳市第一次联考)在等比数列an中, a3, a15是方 程 x26x20 的两根,则a2a16 a9 的值为 ( ) A2 2 2 B 2 C 2 D 2或 2 (2)等比数列an的各项均为正数,且 a1a54,则 log2a1log2a2 log2a3log2a4log2a5_. B 5

20、 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解析 (1)设等比数列an的公比为 q,因为 a3,a15是方程 x26x 20 的根,所以 a3 a15a2 92,a3a156,所以 a30,a150,S83,S8 S43.故选 C 另解:由题意S12 S4 1q 4q8S 4 S4 1q4q87 即 q8q460, q42 或3(舍去), S8 S4 1q4S4 S4 1q43,故选 C 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 例例 5 等差、等比数列的综合运用 (2021 重庆巴蜀中学期中)已知等差数列an中,a11,前 n 项和

21、为 Sn,bn为各项均为正数的等比数列,b12,且 b2S27,a2 b310. (1)求 an与 bn; (2)定义新数列Cn满足 Cn an,n为奇数 bn,n为偶数 (nN*),求Cn前 20 项的和 T20. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 分析 (1)用等差、等比数列基本公式求解 (2)分组求和即可 解析 (1)设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q(q0),则由题意有 2q2d7, 1d2q210, 解得 q2 d1 或 q1 d7 (舍去), ana1(n1)dn,bnb1qn 12n. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列

22、 (2)由题意知 Cn nn为奇数, 2nn为偶数. T20C1C2C3C4C19C20 12232419220 (1319)(2224220) 10119 2 414 10 14 1004 3(4 101) 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 引申(1)本例中数列Cn的前n项和Tn_. (2)本例中若Cnan bn,则Cn的前n项和Tn_. 解析 (1)当 n 为偶数时 Tn n2 4 414 n 2 14 n2 4 4 3(2 n1) n2 4 4 32 n1n为偶数, n12 4 4 32 n11n为奇数. (n1) 2n12 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考)

23、 第五章 数列 当 n 为奇数时 Tn n12 4 414 n-1 2 14 n12 4 4 3(2 n11) Tn n2 4 4 32 n1n为偶数, n12 4 4 32 n11n为奇数. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (2)Tn12222323(n1)2n 1n 2n 则 2Tn122223(n1)2nn 2n 1 得Tn222232nn 2n 1 212 n 12 n 2n 1(1n)2n12, Tn(n1) 2n 12. 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 (1)若an, bn分别为等差、 等比数列, 则求an bn前 n 项和时用“错

24、位相减法” (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前 n 项和一般用分组求和 法(注意当 n 为偶数时,奇数项、偶数项都是n 2项;当 n 为奇数时,奇 数项有n1 2 项,偶数项为n1 2 项)需对 n 进行分类讨论求解 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 变式训练3 (2019 课标,18,12分)已知an是各项均为正数的等比数列,a1 2,a32a216. (1)求an的通项公式; (2)设bnlog2an,求数列bn的前n项和 返回导航 高考一轮总复习 数学(新高考) 第五章 数列 解析 (1)设an的公比为q,由题设得2q24q16,即q22q8 0,解得q2(舍去)或q4. 因此an的通项公式为an24n122n1. (2)由(1)得bn(2n1)log222n1,因此数列bn的前n项和为13 2n1n2. 谢谢观看

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