1、专题专题 07 07 圆的切线证明圆的切线证明 1如图，等边 ABC 内接于O，P 是上任意一点（不与点 A、B 重合），连 AP、BP，过点 C 作 CMBP 交 PA 的延长线于点 M （1）求APC 和BPC 的度数试； （2）探究 PA、PB、PM 之间的关系； （3）若 PA1，PB2，求四边形 PBCM 的面积 解：（1）ABC 是等边三角形， ABCBACACB60 ， ， APCABC60 ，BPCBAC60 ； （2）CMBP， BPM+M180 ，PCMBPC60 ， M180 BPM180 （APC+BPC）180 120 60 ， MBPC60 ， PCMPCAACBP
2、CA，即ACMBCP， 又BCAC， ACMBCP（AAS）， AMBP， PMPA+AM， PMPA+PB； （3）ACMBCP， CMCP， 又M60 ， PCM 为等边三角形， CMCPPM1+23， 如图，过点 P 作 PHCM 于 H， 在 Rt PMH 中，MPH30 ， PH ， S梯形PBCM（PB+CM） PH（2+3） 2如图所示，线段 AC 是O 的直径，过 A 点作直线 BF 交O 于 A、B 两点，过 A 点作FAC 的角平分 线交O 于 D，过 D 作 AF 的垂线交 AF 于 E （1）证明 DE 是O 的切线； （2）证明 AD22AEOA； （3）若O 的直径
3、为 10，DE+AE4，求 AB （1）证明：连接 OD， DE 为O 切线； （2）证明：连接 CD AC 为O 的直径，DEAF ADC90 ，DEA90 ， ADCAED， 在 ACD 和 ADE 中，DACEAD，ADCAED， ACDADE， AD2AEAC AC2OA， AD22AEOA； （3）解：过点 O 作 OMAB 于点 M，则四边形 ODEM 为矩形，设 DEOMx，则 AE4x， AM5（4x）1+x， 在 Rt AMO 中，OA2AM2+OM2，即：（1+x）2+x252 解得：x13，x24（舍去） AM4 OMAB，由垂径定理得：AB2AM8 3如图 1， ABC
4、 内接于O，过 C 作射线 CP 与 BA 的延长线交于点 P，BACP （1）求证：CP 是O 的切线； （2）若 PC4，PA2，求 AB 的长； （3）如图 2，D 是 BC 的中点，PD 与 AC 交于点 E，求证： （1）证明：如图 1，连结 OA、OC，则 OAOC OACOCA AOC+2OCA180 由圆周角定理，得AOC2B 2B+2OCA180 B+OCA90 BACP ACP+OCA90 ，即OCP90 CP 是O 的切线； （2）BACP，ACPCPB， APCCPB ， PB8 ABPBPA826； （3）如图 2，延长 ED 至 F，使 DFED，连结 BF， 易得
5、 BDFCDE， BFCE，CEDF BFEC， 由（2）得，PB， ， 4定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点如矩形 OBCD 中，点 C 为 O，B 两点的勾股点，已知 OD4，在 DC 上取点 E，DE8 （1）如果点 E 是 O，B 两点的勾股点（点 E 不在点 C），试求 OB 的长； （2）如果 OB12，分别以 OB，OD 为坐标轴建立如图 2 的直角坐标系，在 x 轴上取点 F（5，0）在 线段 DC 上取点 P，过点 P 的直线 ly 轴，交 x 轴于点 Q设 DPt 当点 P 在 DE 之间，以 EF 为直径的圆与直线 l 相切，试求
6、 t 的值； 当直线 l 上恰好有 2 点是 E，F 两点的勾股点时，试求相应 t 的取值范围 解：（1）如图 1，连接 OE，BE， 若点 E 是 O，B 两点的勾股点， 则OEB90 ， OED+CEB90 ， OED+DOE90 ， DOECEB， 又CODE， BCEEDO， ， 即， CE2， OBDE8+210； （2）如图 21，设以 EF 为直径的圆的圆心为 Q，与直线 l 的切点为 M，直线 l 与 OB 的交点为 H， 连接 QM， 则FME90 ，QMPH， HMF+PME90 ， PME+PEM90 ， HMFPEM， 又MHFEPM90 ， MHFEPM， ， QMP
7、H，ly 轴， HFMQPE， ， FQQE， HMMP2， 又DPOHt，DE8，OF5， HF5t，PE8t， ， 解得，t14，t29（点 P 在 DE 之间，舍去）， t4； 如图 22，当直线 l 在Q 的右侧与Q 相切时， 由知 MHFEPM， ， 此时，HMMP2，HFt5，PEt8， ， 解得，t14，t29， 当 t4 或 9 时直线 l 与Q 相切， 点 E，F 以及直线 l 上的点均可为直角三角形的直角顶点， 当直线 l上恰好有 2点是 E， F两点的勾股点时， 相应 t 的取值范围为 0t4或 t5 或 t8 或 9t12 5如图，AB 是O 的直径，点 P 是圆上不与
8、点 A，B 重合的动点，连接 AP 并延长到点 D，使 APDP， 点 C 是 BD 的中点，连接 OP，OC，PC （1）求证：AD； （2）填空：若 AB10cm，当 AP cm 时，四边形 AOCP 是菱形； 当四边形 OBCP 是正方形时，DPC （1）证明：如图，连接 PB， AB 是O 的直径， BPAD， APPD， BP 是线段 AD 的垂直平分线， BABD， AD； （2）解：APPD，BCDC， ， AB 是O 的直径， ， OAPC， 四边形 AOCP 是平行四边形， 当 时，平行四边形 AOCP 是菱形， 故答案为：5； 当四边形 OBCP 是正方形时，POB90 ，
9、 OAOP， OPAA45 POB， PCAO， DPCA45 ， 故答案为：45 6如图，在矩形 ABCD 中，BC60cm动点 P 以 6cm/s 的速度在矩形 ABCD 的边上沿 AD 的方向匀 速运动，动点 Q 在矩形 ABCD 的边上沿 ABC 的方向匀速运动P、Q 两点同时出发，当点 P 到达终 点 D 时，点 Q 立即停止运动设运动的时间为 t（s）， PDQ 的面积为 S（cm2），S 与 t 的函数图象如 图所示 （1）AB cm，点 Q 的运动速度为 cm/s； （2）在点 P、Q 出发的同时，点 O 也从 CD 的中点出发，以 4cm/s 的速度沿 CD 的垂直平分线向左
10、匀速 运动，以点 O 为圆心的O 始终与边 AD、BC 相切，当点 P 到达终点 D 时，运动同时停止 当点 O 在 QD 上时，求 t 的值； 当 PQ 与O 有公共点时，求 t 的取值范围 解：（1）设点 Q 的运动速度为 acm/s， 则由图可看出，当运动时间为 5s 时， PDQ 有最大面积 450，即此时点 Q 到达点 B 处， AP6t， S PDQ（606 5） 5a450， a6， AB5a30， 故答案为：30，6； （2）如图 1，设 AB，CD 的中点分别为 E，F，当点 O 在 QD 上时， QCAB+BC6t906t，OF4t， OFQC 且点 F 是 DC 的中点，
11、 OFQC， 即 4t（906t）， 解得，t； 设 AB，CD 的中点分别为 E，F，O 与 AD，BC 的切点分别为 N，G，过点 Q 作 QHAD 于 H， 如图 21，当O 第一次与 PQ 相切于点 M 时， AP6t，AB+BQ6t，且 BQAH， HPQHAB30， QHP 是等腰直角三角形， CGDNOF4t， QMQG904t6t9010t，PMPN604t6t6010t， QPQM+MP15020t， QPQH， 15020t30， t ； 如图 22，当O 第二次与 PQ 相切于点 M 时， AP6t，AB+BQ6t，且 BQAH， HPQHAB30， QHP 是等腰直角三
12、角形， CGDNOF4t， QMQG4t（906t）10t90， PMPN4t（606t）10t60， QPQM+MP20t150， QPQH， 20t15030， t ， 综上所述，当 PQ 与O 有公共点时，t 的取值范围为：t 7如图，矩形 ABCD 中，AB2BC，以 AB 为直径作O （1）证明：CD 是O 的切线； （2）若 BC3，连接 BD，求阴影部分的面积（结果保留 ） 解：（1）过点 O 作 OECD 于 E， 四边形 ABCD 是矩形， AADCOED90 ， 四边形 ADEO 是矩形， ADOE， AB2BC， AB2AD2OE， AOOE， CD 是O 的切线； （2
13、）四边形 ADEO 是矩形， AOEBOE90 ， 阴影部分的面积S扇形BOE 8定义：已知点 O 是三角形的边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一 个顶点的距离，则我们把点 O 叫做该三角形的等距点 （1）如图 1， ABC 中，ACB90 ，AC3，BC4，O 在斜边 AB 上，且点 O 是 ABC 的等距点， 试求 BO 的长 （2）如图 2， ABC 中，ACB90 ，点 P 在边 AB 上，AP2BP，D 为 AC 中点，且CPD90 求证： CPD 的外接圆圆心是 ABC 的等距点； 求 tanPDC 的值 解：（1）CB4，AC3，则 AB5， 当 O
14、HBC 时， 只有 OHOA 一种情况，设 OBx， 则 OHOA5x， 则 sinB，解得：x； 当 OHAC 时， 同理可得：OHOB，解得：x， 综上，OB或； （2）设 CPD 的外接圆圆心为点 O，连接 OP、OB，则 ODOPOC， 设圆的半径为 R，AP2BP2a，则 AD2R，ODR， 则，故 PDOB， 故BOPDPO，COBODP， 而ODPOPD， POBCOB，而 BOBO，OPOC， BCOBPO（SAS）， BPO90 ，即 OPAB，且 OPOC， 故： CPD 的外接圆圆心是 ABC的等距点； BCOBPO（SAS）， BCBPa，而 AB3a，AC4R， 故（
15、3a）2（4R）2+a2，解得：a， tanPDCtanCOB 9如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，G 是上一动点，AG，DC 的延长线交于点 F，连接 AC， AD，GC，GD （1）求证：FGCAGD； （2）若 AD6 当 ACDG，CG2 时，求 sinADG； 当四边形 ADCG 面积最大时，求 CF 的长 证明：（1）AB 是O 的直径，弦 CDAB， CEDE，CDAB， ACAD， ADCACD， 四边形 ADCG 是圆内接四边形， ADCFGC， AGDACD， FGCADCACDAGD， FGCAGD； （2）如图，设 AC 与 GD 交于点 M， ， GC
16、MADM， 又GMCAMD， GMCAMD， ， 设 CMx，则 DM3x， 由（1）知，ACAD， AC6，AM6x， 在 Rt AMD 中， AM2+DM2AD2， （6x）2+（3x）262 ， 解得，x10（舍去），x2 ， AM6 ， sinADG ； （3）S四边形ADCGS ADC+S ACG， 点 G 是上一动点， 当点 G 在的中点时， ACG 的的底边 AC 上的高最大，此时 ACG 的面积最大，四边形 ADCG 的 面积也最大， GAGC， GACGCA， GCDF+FGC， 由（1）知，FGCACD，且GCDACD+GCA， FGCA， FGAC， FCAC6 10如图
17、，CD 是O 的直径，弦 ABCD，垂足为 H，FG 是O 的切线，FGBD，DF 与 AB 交于点 E （1）求证：BEBD； （2）若 AB8，DH3，求 EH 的长 解：（1）如图，连接 OF， FG 是O 的切线， GFD+OFD90 ， ABCD， DEH+ODE90 ， OFOD， OFDODF DEHGFD， FGBD， GFDBDF， DEHBDF， BEBD； （2）CD 是O 的直径，弦 ABCD，垂足为 H， ， DH3， BD5， BEBD， BE5， EHBEBH1， 答：EH 的长为 1 11 如图， 直线 MN 交O 于 A， B 两点， AC 是O 直径， CA
18、M 的平分线交O 于点 D， 过点 D 作 DEMN 于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 DE6cm，AE3cm，求O 的半径 （1）证明：连接 OD，如图所示： OAOD， 32， AD 平分CAM， 21， 13， MNOD， DEMN， DEOD， DE 是O 的切线； （2）解：连接 CD，如图所示： AC 是O 的直径， ADC90 ， AD 3（cm）， DEMN， AED90 ， ADCAED， 又21， ADCAED， ， 即， AC15（cm）， OAACcm， 即O 的半径为cm 12如图，O 为MBN 角平分线上一点，O 与 BN 相切于点 C，连结 C
19、O 并延长交 BM 于点 A，过点 A 作 ADBO 于点 D （1）求证：AB 为O 的切线； （2）若 BC6，tanABC，求 AD 的长 解：（1）过点 O 作 OEAB 于点 E， O 为MBN 角平分线上一点， ABDCBD， 又BC 为O 的切线， ACBC， ADBO 于点 D， D90 ， BCOD90 ， 在 BOC 和 BOE 中， ， BOCBOE（AAS）， OEOC， OEAB， AB 是O 的切线； （2）ABC+BAC90 ，EOA+BAC90 ， EOAABC， tanABC、BC6， ACBCtanABC8， 则 AB10， 由（1）知 BEBC6， AE4
20、， tanEOAtanABC， ， OE3，OB3 ， ABDOBC，DACB90 ， ABDOBC， ，即， AD2 13如图 1 是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形已知量角器所在的半圆 O 的直径 DE 与 AB 之间的距离为 1，DE4，AB8，点 N 为半圆 O 上的一个动点，连结 AN 交半圆或直径 DE 于点 M （1）当 AN 经过圆心 O 时，求 AN 的长； （2）如图 2，若 N 为量角器上表示刻度为 90 的点，求 MON 的周长； （3）当时，求 MON 的面积 解：（1）如图 1 中，连接 FO 延长 FO 交 AB 于 H则 FHAB，FHDE F
21、AFB，FHAB， AHHB4， 在 Rt AOH 中，OH1，AH4， OA ， ANOA+ON+2 （2）如图 2 中，连接 OM，作 OJMN 在 Rt AHN 中，AH4，NHON+OH2+13， AN 5， 由 OJNAHN，可得， ， JN ， OJMN， JMJN， MN2JN ， MON 的周长2+2+ （3）如图 31 中，连接 AO，延长 AO 交O 于 K，作 OJMN 于 J，连接 OM，ON 设 AMMNx，OJy， 则有， 解得， MN，OJ ， S MONMNOJ 如图 32 中，连接 ON，作 NJAB 于 J 交 DE 于 K AMMN，MKAJ， NKJKO
22、H1， NJAB，DEAB， NKOE， sinNOK ， OKNK ， 四边形 OKJH 是矩形， HJOK ， AJ4+， MKAJ2+ ， OMMKOK2， S MONOMNK（2） 11， 综上所述，满足条件的 MON 的面积为或 1 14MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，MN4，在劣弧 MN 和优弧 MN 上分别有点 A，B（不与 M，N 重合），且，连接 AM，BM （1）如图 1，AB 是直径，AB 交 MN 于点 C，ABM30 ，求CMO 的度数； （2）如图 2，连接 OM，AB，过点 O 作 ODAB 交 MN 于点 D，求证：MOD+2DMO90 ； （3）如图 3，
23、连接 AN，BN，试猜想 AMMB+ANNB 的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是， 请说明理由 解：（1）如图 1， AB 是O 的直径， AMB90 ， AMNBMN45 OMOB， OMBOBM30 ， CMO45 30 15 ； （2）如图 2，连接 OA，OB，ON ， AONBON 又OAOB， ONAB ODAB， DON90 OMON， OMNONM OMN+ONM+MOD+DON180 ， MOD+2DMO90 ； （3）如图 3，延长 MB 至点 M，使 BMAM，连接 NM，作 NEMM于点 E 设 AMa，BMb 四边形 AMBN 是圆内接四边形， A+MBN18
24、0 NBM+MBN180 ， ANBM ， ANBN， AMNBMN（SAS）， MNNM，BMAMa NEMM于点 E ME2+（BN2BE2）MN2， 化简得 ab+NB216， AMMB+ANNB16 15 如图， O 是 ABC 的外接圆， AB 为O 的直径， 在 ABC 外侧作CADCAB， 过点 C 作 CDAD 于点 D，交 AB 延长线于点 P （1）求证：PC 是O 的切线； （2）若 tanBCP，ADBC4m2（m0），求O 的半径；（用含 m 的代数式表示） （3）如图 2，在（2）的条件下，作弦 CF 平分ACB，交 AB 于点 E，连接 BF，且 BF5，求线段
25、PE 的长 解：（1）如图 1，连接 OC，则 OAOC， 则OACOCA，而CADCAB， 故DACOCA， ADCO，而 CDAD， COPD，故 PC 是O 的切线； （2）PC 是O 的切线，则BCPCAB，即 tan，则 sin，cos， DACCAB， ADCABC， 设圆的半径为 R，则 ACABcos2R， CDACsin ， 故 ADBCACCD4m2， 故 Rm； （3）连接 OF、OC，CF 平分ACB，则 FOAB， ECP90 OCE，CEP90 OFC，而OCEOFC， ECPCEP，PCPE， BF5R，则 R5， ADACcos8，同理 CD4， COAD，即， 解得：PCPE
