2021年中考数学分类专题突破专题02 切割线定理(解析版)

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资源描述

1、专题专题 02 02 切割线定理切割线定理 一选择题 1如图,PA 切O 于 A,PBC 是O 的割线,如果 PB2,PC4,则 PA 的长为( ) A2 B2 C4 D2 解:PA2PBPC8,PB2,PC4, PA2 故选:B 2如图,点 P 是O 外一点,PAB 为O 的一条割线,且 PAAB, PO 交O 于点 C,若 OC3, OP5, 则 AB 长为( ) A B C D 解:设 PAABx,延长 PO 交圆于点 D PAPBPCPD,OC3,OP5, x2x16, x2 故选:B 3如图,在 Rt ABC 中,AC5,BC12,O 分别与边 AB,AC 相切,切点分别为 E,C,

2、则O 的半 径是( ) A B C D 解:AEAC5,AC5,BC12, AB13, BE8; BE2BDBC, BD , CD , 圆的半径是 , 故选:A 4如图,PAB 为O 的割线,且 PAAB3,PO 交O 于点 C,若 PC2,则O 的半径的长为( ) A B C D7 解法一:延长 PO 交圆于点 D 利用割线定理可知 PAPBPCPD,求得 PD9, 所以 CD7,半径3.5 解法二:作 ODAB 于 D,根据垂径定理和勾股定理求解 故选:A 5如图,Rt ABC 中,C90 ,O 为 AB 上一点,以 O 为圆心,OA 为半径作圆 O 与 BC 相切于点 D, 分别交 AC

3、、AB 于 E、F,若 CD2CE4,则O 的直径为( ) A10 B C5 D12 解:连接 OD,过 O 作 AC 的垂线,设垂足为 G, C90 , 四边形 ODCG 是矩形, CD 是切线,CEA 是割线, CD2CECA, CD2CE4, AC8, AE6, GE3, ODCG5, O 的直径为 10 故选:A 6如图,两圆相交于 C、D,AB 是两圆的一条外公切线,A、B 为切点,CD 的延长线交 AB 于 M,若 CD 9,MD3,则 AB 的长为( ) A18 B12 C13.5 D63 解:AB 是两圆的一条外公切线,MA2MDMC,MB2MDMC, CD9,MD3,MAMB

4、6, AB12, 故选:B 7如图,点 C、O 在线段 AB 上,且 ACCOOB5,过点 A 作以 BC 为直径的O 切线,D 为切点,则 AD 的长为( ) A5 B6 C D10 解:AD 是O 的切线,ACB 是O 的割线, AD2ACAB, 又 AC5,ABAC+CO+OB15, AD25 1575, AD5(AD5不合题意舍去) 故选:C 8如图,从点 P 向O 引两条切线 PA,PB,切点为 A,B,BC 为O 的直径,若P60 ,PA3,则 O 的直径 BC 的长为( ) A B C3 D 解:连接 OP PBPA3,OPB30 ,tanOPB, OB,圆的直径是 2 故选:A

5、 9以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O,过点 D 作直线切半圆于点 F, 交 AB 边于点 E则三角形 ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为( ) A3:4 B4:5 C5:6 D6:7 解:根据切线长定理得,BEEF,DFDCADABBC 设 EFx,DFy, 则在直角 AED 中,AEyx,ADCDy,DEx+y 根据勾股定理可得: (yx)2+y2(x+y)2, y4x, 三角形 ADE 的周长为 12x,直角梯形 EBCD 周长为 14x, 两者周长之比为 12x:14x6:7 故选:D 10如图,已知 PA 是O 的切线,A 为切点,PC 与O 相交于 B、C 两点

6、,PB2cm,BC8cm,则 PA 的长等于( ) A4cm B16cm C20cm D2cm 解:PB2cm,BC8cm, PC10cm, PA2PBPC20, PA2, 故选:D 二填空题 11已知直角梯形 ABCD 的四条边长分别为 AB2,BCCD10,AD6,过 B、D 两点作圆,与 BA 的 延长线交于点 E,与 CB 的延长线交于点 F,则 BEBF 的值为 解:延长 CD 交O 于点 G, 设 BE,DG 的中点分别为点 M,N,则易知 AMDN, BCCD10,由割线定理得,CBCFCDCG, CBCD, BFDG, BEBFBEDG2(BMDN)2(BMAM)2AB4 故答

7、案为:4 12如图,PT 是O 的切线,T 为切点,PA 是割线,交O 于 A、B 两点,与直径 CT 交于点 D已知 CD 2,AD3,BD4,那 PB 解:ADBDCDDT, TD , CD2,AD3,BD4, TD6, PT 是O 的切线,PA 是割线, PT2PAPB, CT 为直径, PT2PD2TD2, PAPBPD2TD2, 即(PB+7)PB(PB+4)262, 解得 PB20 故答案为:20 13 如图, AB, AC分别是O的切线和割线, 且C45 , BDA60 , CD, 则切线AB的长是 解: 过点 A 作 AMBD 与点 M AB 为圆 O的切线 ABDC45 (弦

8、切角等于所夹弧所对的圆周角) BDA60 BAD75 ,DAM30 ,BAM45 设 ABx,则 AMx,在直角 AMD 中,ADx 由切割线定理得:AB2ADAC x2x(x+) 解得:x16,x20(舍去) 故 AB6 故答案是:6 14如图,O 的割线 PAB 交O 于点 A、B,PA7cm,AB5cm,PO10cm,则O 的半径为 解:延长 PO 交圆于点 D, 由割线定理知,PAPBPCPD(POCO)(PO+CO), 代入数据解得,CO4 15如图,已知 PA 为O 的切线,PBC 为O 的割线,PA,PBBC,O 的半径 OC5,那么弦 BC 的弦心距 OM 解:PA 为O 的切

9、线,PBC 为O 的割线, PA2PBPC; 设 BCx,则 PBx,PC2x, 2x272, 解得 x6; OMBC, 在直角 OMC 中, OC5,CM3, OM4 16如图,过点 P 引圆的两条割线 PAB 和 PCD,分别交圆于点 A,B 和 C,D,连接 AC,BD,则在下列各 比例式中,; ,成立的有 (把你认为成立的比例式的序号都 填上) 解:四边形 ABCD 是圆内接四边形 PADC,PADB PADPCB 根据相似三角形的对应边的比相等,得到是正确的 三解答题 17如图,OB 是以(O,a)为圆心,a 为半径的O1的弦,过 B 点作O1的切线,P 为劣弧上的任一 点,且过 P

10、 作 OB、AB、OA 的垂线,垂足分别是 D、E、F (1)求证:PD2PEPF; (2)当BOP30 ,P 点为的中点时,求 D、E、F、P 四个点的坐标及 S DEF (1)证明:连接 PB,OP, PEAB,PDOB, BEPPDO90 , AB 切O1于 B,ABPBOP, PBEPOD, , 同理, OPFBPD , , PD2PEPF; (2)解:连接 O1B,O1P, AB 切O1于 B,POB30 , ABP30 , O1BP90 30 60 , O1BO1P, O1BP 为等边三角形, O1BBP, P 为弧 BO 的中点, BPOP, 即 O1PO 为等边三角形, O1P

11、OPa, O1OP60 , 又P 为弧 BO 的中点, O1POB, 在 O1DO 中,O1OP60 O1Oa, O1Da,ODa, 过 D 作 DMOO1于 M,DMODa, OMDMa, D(a,a), O1OF90 ,O1OP60 POF30 , PEOA, PFOPa,OF a, P(a,),F( a,0), AB 切O1于 B,POB30 , ABPBOP30 , PEAB,PBa, EPB60 PEa,BE a, P 为弧 BO 的中点, BPPO, PBOBOP30 , BPO120 , BPE+BPO120 +60 180 , 即 OPE 三点共线, OEa+aa, 过 E 作

12、 EMx 轴于 M,AO 切O1于 O, EOA30 , EMOEa,OM a, E(a,a), E(a,a),D( a,a), DEa(a) a, DE 边上的高为:a, S DEFa aa2 故答案为:D(a,a),E(a,a),F(a,0),P(a,);S DEF a2 18如图,AB、AC 分别是O 的直径和弦,D 是劣弧 AC 的中点,DEAB 于 H,交O 于点 E,交 AC 于 点 F (1)图中有哪些必相等的线段?(要求:不要标注其它字母,找结论的过程中所作的辅助线不能出现在 结论中,不必写出推理过程) (2)若过 C 点作O 的切线 PC 交 ED 延长线于 P 点,(请补全

13、图形),求证:PF2PDPE; (3)已知 AH1,BH4,求 PC 的长 (1)解:AOBO,DHEH,DFAF,ACDE; (2)证明:连 EC,AE, 则PFC 是 ECF 的一个外角,于是PFCACE+FEC; DHAB,AB 是O 的直径, A 是 DE 中点,即弧 AD弧 AE, AEDACE, ACE+FECAED+DECAEC, PC 是O 的切线, PCAAEC PCAPFC, PCPF PC 是切线 PC2PDPE, PF2PDPE; (3)解:在O 中,AHHBDHHEDH2, 设 AFx,则 FH2x 在 Rt AFH 中,AH2+FH2AF2 1+(2x)2x2 ,

14、x,即 于是 由(1)(2)知 HEHD2, , 解得 PFPD+DF PCPF 19如图,在 Rt ABC 中,C90 ,BE 平分ABC 交 AC 于点 E,点 D 在 AB 上,DEEB (1)求证:AC 是 BDE 的外接圆的切线; (2)若,求 BD 的长 (1)证明:连接 OE, BE 平分ABC 交 AC 于点 E, 1EBC, 12, 2CBE, AEOC90 , AC 是O 的切线, O 是 BDE 的外接圆, AC 是 BDE 的外接圆的切线; (2)解:AE 是圆 O 的切线,AB 是圆的割线, 根据切割线定理:AE2AD AB, , ()2 2 (2 +BD), 解得:

15、BD4 BD 的长是:4 20如图,在 ABC 中,BAC90 度BM 平分ABC 交 AC 于 M,以 A 为圆心,AM 为半径作A 交 BM 于 N,AN 的延长线交 BC 于 D,直线 AB 交A 于 P,K 两点,作 MTBC 于 T (1)求证:AKMT; (2)求证:ADBC; (3)当 AKBD 时,求证: 证明:(1)BM 平分ABC,BAC90 ,MTBC, AMMT 又AMAK, AKMT (2)BM 平分ABC, ABMCBM AMAN, AMNANM 又ANMBND, AMNBND BAC90 , ABM+AMB90 CBM+BND90 BDN90 ADBC (3)连接 PN、KM BNM 和 BPK 为A 的割线, BNBMBPBK AKBD,AKMT, BDMT ADBC,MTBC, ADBMTC90 C+CMT90 BAC90 , C+ABC90 ABCCMT 在 ABD 和 CMT 中, ABDCMT ABMC AKAM, AB+AKMC+AM 即 BKAC

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