1、专题专题 02 02 切割线定理切割线定理 一选择题 1如图，PA 切O 于 A，PBC 是O 的割线，如果 PB2，PC4，则 PA 的长为（ ） A2 B2 C4 D2 解：PA2PBPC8，PB2，PC4， PA2 故选：B 2如图，点 P 是O 外一点，PAB 为O 的一条割线，且 PAAB， PO 交O 于点 C，若 OC3， OP5， 则 AB 长为（ ） A B C D 解：设 PAABx，延长 PO 交圆于点 D PAPBPCPD，OC3，OP5， x2x16， x2 故选：B 3如图，在 Rt ABC 中，AC5，BC12，O 分别与边 AB，AC 相切，切点分别为 E，C，
2、则O 的半 径是（ ） A B C D 解：AEAC5，AC5，BC12， AB13， BE8； BE2BDBC， BD ， CD ， 圆的半径是 ， 故选：A 4如图，PAB 为O 的割线，且 PAAB3，PO 交O 于点 C，若 PC2，则O 的半径的长为（ ） A B C D7 解法一：延长 PO 交圆于点 D 利用割线定理可知 PAPBPCPD，求得 PD9， 所以 CD7，半径3.5 解法二：作 ODAB 于 D，根据垂径定理和勾股定理求解 故选：A 5如图，Rt ABC 中，C90 ，O 为 AB 上一点，以 O 为圆心，OA 为半径作圆 O 与 BC 相切于点 D， 分别交 AC
3、、AB 于 E、F，若 CD2CE4，则O 的直径为（ ） A10 B C5 D12 解：连接 OD，过 O 作 AC 的垂线，设垂足为 G， C90 ， 四边形 ODCG 是矩形， CD 是切线，CEA 是割线， CD2CECA， CD2CE4， AC8， AE6， GE3， ODCG5， O 的直径为 10 故选：A 6如图，两圆相交于 C、D，AB 是两圆的一条外公切线，A、B 为切点，CD 的延长线交 AB 于 M，若 CD 9，MD3，则 AB 的长为（ ） A18 B12 C13.5 D63 解：AB 是两圆的一条外公切线，MA2MDMC，MB2MDMC， CD9，MD3，MAMB
4、6， AB12， 故选：B 7如图，点 C、O 在线段 AB 上，且 ACCOOB5，过点 A 作以 BC 为直径的O 切线，D 为切点，则 AD 的长为（ ） A5 B6 C D10 解：AD 是O 的切线，ACB 是O 的割线， AD2ACAB， 又 AC5，ABAC+CO+OB15， AD25 1575， AD5（AD5不合题意舍去） 故选：C 8如图，从点 P 向O 引两条切线 PA，PB，切点为 A，B，BC 为O 的直径，若P60 ，PA3，则 O 的直径 BC 的长为（ ） A B C3 D 解：连接 OP PBPA3，OPB30 ，tanOPB， OB，圆的直径是 2 故选：A
5、 9以正方形 ABCD 的 BC 边为直径作半圆 O，过点 D 作直线切半圆于点 F， 交 AB 边于点 E则三角形 ADE 和直角梯形 EBCD 周长之比为（ ） A3：4 B4：5 C5：6 D6：7 解：根据切线长定理得，BEEF，DFDCADABBC 设 EFx，DFy， 则在直角 AED 中，AEyx，ADCDy，DEx+y 根据勾股定理可得： （yx）2+y2（x+y）2， y4x， 三角形 ADE 的周长为 12x，直角梯形 EBCD 周长为 14x， 两者周长之比为 12x：14x6：7 故选：D 10如图，已知 PA 是O 的切线，A 为切点，PC 与O 相交于 B、C 两点
6、，PB2cm，BC8cm，则 PA 的长等于（ ） A4cm B16cm C20cm D2cm 解：PB2cm，BC8cm， PC10cm， PA2PBPC20， PA2， 故选：D 二填空题 11已知直角梯形 ABCD 的四条边长分别为 AB2，BCCD10，AD6，过 B、D 两点作圆，与 BA 的 延长线交于点 E，与 CB 的延长线交于点 F，则 BEBF 的值为 解：延长 CD 交O 于点 G， 设 BE，DG 的中点分别为点 M，N，则易知 AMDN， BCCD10，由割线定理得，CBCFCDCG， CBCD， BFDG， BEBFBEDG2（BMDN）2（BMAM）2AB4 故答
7、案为：4 12如图，PT 是O 的切线，T 为切点，PA 是割线，交O 于 A、B 两点，与直径 CT 交于点 D已知 CD 2，AD3，BD4，那 PB 解：ADBDCDDT， TD ， CD2，AD3，BD4， TD6， PT 是O 的切线，PA 是割线， PT2PAPB， CT 为直径， PT2PD2TD2， PAPBPD2TD2， 即（PB+7）PB（PB+4）262， 解得 PB20 故答案为：20 13 如图， AB， AC分别是O的切线和割线， 且C45 ， BDA60 ， CD， 则切线AB的长是 解： 过点 A 作 AMBD 与点 M AB 为圆 O的切线 ABDC45 （弦
8、切角等于所夹弧所对的圆周角） BDA60 BAD75 ，DAM30 ，BAM45 设 ABx，则 AMx，在直角 AMD 中，ADx 由切割线定理得：AB2ADAC x2x（x+） 解得：x16，x20（舍去） 故 AB6 故答案是：6 14如图，O 的割线 PAB 交O 于点 A、B，PA7cm，AB5cm，PO10cm，则O 的半径为 解：延长 PO 交圆于点 D， 由割线定理知，PAPBPCPD（POCO）（PO+CO）， 代入数据解得，CO4 15如图，已知 PA 为O 的切线，PBC 为O 的割线，PA，PBBC，O 的半径 OC5，那么弦 BC 的弦心距 OM 解：PA 为O 的切
9、线，PBC 为O 的割线， PA2PBPC； 设 BCx，则 PBx，PC2x， 2x272， 解得 x6； OMBC， 在直角 OMC 中， OC5，CM3， OM4 16如图，过点 P 引圆的两条割线 PAB 和 PCD，分别交圆于点 A，B 和 C，D，连接 AC，BD，则在下列各 比例式中，； ，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都 填上） 解：四边形 ABCD 是圆内接四边形 PADC，PADB PADPCB 根据相似三角形的对应边的比相等，得到是正确的 三解答题 17如图，OB 是以（O，a）为圆心，a 为半径的O1的弦，过 B 点作O1的切线，P 为劣弧上的任一 点，且过 P
10、 作 OB、AB、OA 的垂线，垂足分别是 D、E、F （1）求证：PD2PEPF； （2）当BOP30 ，P 点为的中点时，求 D、E、F、P 四个点的坐标及 S DEF （1）证明：连接 PB，OP， PEAB，PDOB， BEPPDO90 ， AB 切O1于 B，ABPBOP， PBEPOD， ， 同理， OPFBPD ， ， PD2PEPF； （2）解：连接 O1B，O1P， AB 切O1于 B，POB30 ， ABP30 ， O1BP90 30 60 ， O1BO1P， O1BP 为等边三角形， O1BBP， P 为弧 BO 的中点， BPOP， 即 O1PO 为等边三角形， O1P
11、OPa， O1OP60 ， 又P 为弧 BO 的中点， O1POB， 在 O1DO 中，O1OP60 O1Oa， O1Da，ODa， 过 D 作 DMOO1于 M，DMODa， OMDMa， D（a，a）， O1OF90 ，O1OP60 POF30 ， PEOA， PFOPa，OF a， P（a，），F（ a，0）， AB 切O1于 B，POB30 ， ABPBOP30 ， PEAB，PBa， EPB60 PEa，BE a， P 为弧 BO 的中点， BPPO， PBOBOP30 ， BPO120 ， BPE+BPO120 +60 180 ， 即 OPE 三点共线， OEa+aa， 过 E 作
12、 EMx 轴于 M，AO 切O1于 O， EOA30 ， EMOEa，OM a， E（a，a）， E（a，a），D（ a，a）， DEa（a） a， DE 边上的高为：a， S DEFa aa2 故答案为：D（a，a），E（a，a），F（a，0），P（a，）；S DEF a2 18如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，D 是劣弧 AC 的中点，DEAB 于 H，交O 于点 E，交 AC 于 点 F （1）图中有哪些必相等的线段？（要求：不要标注其它字母，找结论的过程中所作的辅助线不能出现在 结论中，不必写出推理过程） （2）若过 C 点作O 的切线 PC 交 ED 延长线于 P 点，（请补全
13、图形），求证：PF2PDPE； （3）已知 AH1，BH4，求 PC 的长 （1）解：AOBO，DHEH，DFAF，ACDE； （2）证明：连 EC，AE， 则PFC 是 ECF 的一个外角，于是PFCACE+FEC； DHAB，AB 是O 的直径， A 是 DE 中点，即弧 AD弧 AE， AEDACE， ACE+FECAED+DECAEC， PC 是O 的切线， PCAAEC PCAPFC， PCPF PC 是切线 PC2PDPE， PF2PDPE； （3）解：在O 中，AHHBDHHEDH2， 设 AFx，则 FH2x 在 Rt AFH 中，AH2+FH2AF2 1+（2x）2x2 ，
14、x，即 于是 由（1）（2）知 HEHD2， ， 解得 PFPD+DF PCPF 19如图，在 Rt ABC 中，C90 ，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，点 D 在 AB 上，DEEB （1）求证：AC 是 BDE 的外接圆的切线； （2）若，求 BD 的长 （1）证明：连接 OE， BE 平分ABC 交 AC 于点 E， 1EBC， 12， 2CBE， AEOC90 ， AC 是O 的切线， O 是 BDE 的外接圆， AC 是 BDE 的外接圆的切线； （2）解：AE 是圆 O 的切线，AB 是圆的割线， 根据切割线定理：AE2AD AB， ， （）2 2 （2 +BD）， 解得：
15、BD4 BD 的长是：4 20如图，在 ABC 中，BAC90 度BM 平分ABC 交 AC 于 M，以 A 为圆心，AM 为半径作A 交 BM 于 N，AN 的延长线交 BC 于 D，直线 AB 交A 于 P，K 两点，作 MTBC 于 T （1）求证：AKMT； （2）求证：ADBC； （3）当 AKBD 时，求证： 证明：（1）BM 平分ABC，BAC90 ，MTBC， AMMT 又AMAK， AKMT （2）BM 平分ABC， ABMCBM AMAN， AMNANM 又ANMBND， AMNBND BAC90 ， ABM+AMB90 CBM+BND90 BDN90 ADBC （3）连接 PN、KM BNM 和 BPK 为A 的割线， BNBMBPBK AKBD，AKMT， BDMT ADBC，MTBC， ADBMTC90 C+CMT90 BAC90 ， C+ABC90 ABCCMT 在 ABD 和 CMT 中， ABDCMT ABMC AKAM， AB+AKMC+AM 即 BKAC