2021年中考数学分类专题突破专题08 圆中的长度计算(解析版)

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资源描述

1、专题专题 08 08 圆中的长度计算圆中的长度计算 1如图所示,AB 是O 的直径,B30 ,弦 BC6,ACB 的平分线交O 于 D,连 AD (1)求直径 AB 的长 (2)求阴影部分的面积(结果保留 ) 解:(1)AB 为O 的直径, ACB90 , B30 , AB2AC, AB2AC2+BC2, AB2AB2+62, AB4 (2)连接 OD AB4, OAOD2, CD 平分ACB,ACB90 , ACD45 , AOD2ACD90 , S AODOAOD226, S扇形 AODOD2(2)23, 阴影部分的面积S扇形 AODS AOD36 2如图,点 D 在O 的直径 AB 的延

2、长线上,CD 切O 于点 C,AECD 于点 E (1)求证:AC 平分DAE; (2)若 AB6,BD2,求 CE 的长 (1)证明:连接 OC CD 是O 的切线, OCD90 , AEC90 , OCDAEC, AEOC, EACACO, OAOC, OACOCA, EACOAC, AC 平分DAE (2)作 CFAB 于 F 在 Rt OCD 中,OC3,OD5, CD4, OCCDODCF, CF , AC 平分DAE,CEAE,CFAD, CECF 3如图,O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E,且 DECE,O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线交于点 F (1)求证:CDB

3、F; (2)若O 的半径为 6,A35 ,求的长 (1)证明:AB 是O 的直径,DECE, ABCD, BF 是O 的切线, ABBF, CDBF; (2)解:连接 OD、OC, A35 , BOD2A70 , COD2BOD140 , 的长 4如图,在 ABC 中,ACB90 ,O 是边 AC 上一点,以 O 为圆心,以 OA 为半径的圆分别交 AB、AC 于点 E、D,在 BC 的延长线上取点 F,使得 BFEF (1)判断直线 EF 与O 的位置关系,并说明理由; (2)若A30 ,求证:DGDA; (3)若A30 ,且图中阴影部分的面积等于 2,求O 的半径的长 解:(1)连接 OE

4、, OAOE, AAEO, BFEF, BBEF, ACB90 , A+B90 , AEO+BEF90 , OEG90 , EF 是O 的切线; (2)AED90 ,A30 , EDAD, A+B90 , BBEF60 , BEF+DEG90 , DEG30 , ADE+A90 , ADE60 , ADEEGD+DEG, DGE30 , DEGDGE, DGDE, DGDA; (3)AD 是O 的直径, AED90 , A30 , EOD60 , EGO30 , 阴影部分的面积 rr2 解得:r24,即 r2, 即O 的半径的长为 2 5 如图所示, AB 是O 的直径, BD 是O 的弦,

5、延长 BD 到点 C, 使 DCBD, 连接 AC, 过点 D 作 DEAC 于 E (1)求证:ABAC; (2)求证:DE 为O 的切线 证明:(1)连接 AD; AB 是O 的直径, ADB90 又DCBD, AD 是 BC 的中垂线 ABAC (2)连接 OD; OAOB,CDBD, ODAC 0DECED 又DEAC, CED90 ODE90 ,即 ODDE DE 是O 的切线 6如图,已知O 的直径 AB10,弦 AC6,BAC 的平分线交O 于点 D,过点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E (1)求证:DE 是O 的切线; (2)求 DE 的长 证明:(1)连接 OD

6、, AD 平分BAC, DAEDAB, OAOD,ODADAO, ODADAE, ODAE, DEAC, ODDE, DE 是O 切线 (2)过点 O 作 OFAC 于点 F, AFCF3, OF 4 OFEDEFODE90 , 四边形 OFED 是矩形, DEOF4 7如图,AB 是O 的直径,BC 为O 的切线,D 为O 上的一点,CDCB,延长 CD 交 BA 的延长线于 点 E (1)求证:CD 为O 的切线; (2)若 BD 的弦心距 OF1,ABD30 ,求图中阴影部分的面积(结果保留 ) (1)证明:连接 OD, BC 是O 的切线, ABC90 , CDCB, CBDCDB,

7、OBOD, OBDODB, ODCABC90 , 即 ODCD, 点 D 在O 上, CD 为O 的切线; (2)在 Rt OBF 中, ABD30 ,OF1, BOF60 ,OB2,BF, OFBD, BD2BF2, BOD2BOF120 , S阴影S扇形OBDS BOD 8已知,如图在 Rt ABC 中,C90 ,BD 平分ABC 交 AC 于 D,过 D 作 DEBD 交 AB 于 E,经过 B,D,E 三点作O (1)求证:AC 与O 相切 (2)若 AD15,AE9,求O 的半径 (1)证明:连接 OD,如图所示: ODOB, 12, 又BD 平分ABC, 23, 13, ODBC,

8、 而C90 , ODAD, AC 与O 相切于 D 点; (2)解:ODAD, 在 RT OAD 中,OA2OD2+AD2, 又AD15,AE9,设半径为 r, (r+9)2152+r2 , 解方程得,r8, 即O 的半径为 8 9如图,O 是 ABC 外接圆,AC 是直径,OFAB,过点 BO 的切线相交于点 D,与 OF 的延长线交 点 E (1)求证: ABDBCD; (2)若C30 ,求证: OED 是等腰三角形; (3)若O 的半径为 3,cosD,求 OF 的长 解:(1)如图 1,连接 BO, BD 是O 的切线, OBD90 , OBA+ABD90 , AC 是O 的直径, A

9、BC90 , CBO+OBA90 , ABDCBO, OBOC, CBOC, ABDC, 又DD, ABDBCD; (2)证明:C30 ,OEAB,ABC90 , BAO60 BOABOE, 由(1)知 OBDE,EBODBO90 , 又OBOB, BOEBOD(ASA), OEOD, OED 是等腰三角形; (3)OEAB,COAO, CFBF, OF 是 ABC 中位线, OFAB, 又在 Rt OBD 中,cosD, 设 BD4x,则 OD5x, 由勾股定理(5x)2(4x)2+32, 解得,x1(取正值), DB4,OD5, 如图 2,过点 B 作 BMOA 于 M, 则OMBOBD9

10、0 , 又BOMDOB, OBMODB, , , BM,OM , AM , AB , OFAB 10如图,AB 是O 的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 与O 相切于点 E,ADCD 于点 D (1)求证:AE 平分DAC, (2)若 AB6,ABE60 ,求AD 的长,图中阴影部分的面积 证明:(1)如图,连接 OE, DC 为切线, OECD,且 ADCD, OEAD, DAEAEO, OEOA, AEOEAO, DAEEAO, 即 AE 平分DAC; (2)ABE60 ,AEB90 , EAB30 ,AOE120 BEAB3,AE BE3 AE 平分DAC, DAEBAE30 ,且

11、D90 DEAE,AD DE , OAOBBE3, S扇形AOEOA23,S AOES ABE AEBE, S阴影S扇形AOES AOE3 11 ABC 内接于O,点 D 在 BC 上,连接 AD、BO,ADAC (1)如图 1,求证:DAC2ABO; (2)如图 2,点 E 在弧 BC 上,连接 AE 交 BC 于点 F,CAE3DAE,连接 BE,DE,若EDC EBC+60 ,求DEA 的度数: (3)如图 3,在(2)的条件下,若 tanACB2,AE2+1,求半径 BO 的长 解:(1)连接 OA, OAOB, ABO(180 AOB), ADAC, ADCC, DAC180 2C,

12、 AOB2C, DAC180 AOB, AOB180 DAC, ABO(180 AOB) 180 (180 DAC), 即DAC2ABO; (2)如图 2,过点 A 作 AHBC 于 H, CAE3DAE, CAD4DAE, ADAC,AHBC, DAHCAH2DAE,ADH+DAH90 , ADH+2DAE90 , EDCEBC+60 ,EBCEAC, EDCEAC+60 DAE+60 , AED+DAE+ADH+EDC180 , DEA+DAE+DAE+60 +ADH180 , DEA+90 +60 180 , DEA30 , (3)如图 3,过点 D 作 DGAE 交 AH 的延长线于点

13、 G,连接 GC,OE,CE,过点 B 作 BNAE 于 N, CAD4DAE,ADAC,AHDC, DAHCAH2DAE,AH 是 CD 的中垂线, DAEFAH, DGAE,DAEFAH, ADGAGD, ADAG,且DAEFAH,AEAE, ADEAGE(SAS) AEDAEG30 ,DEEG, DEG60 , DEG 是等边三角形, DGEGDE,DGE60 , AH 是 CD 的中垂线, DGGC, DGGCEG, 点 D,点 G,点 E 在以点 G 为圆心,DG 为半径的圆上, DCEDCE30 , BAEBCE30 , BOE60 ,且 BOOE, BOE 是等边三角形, BEB

14、O, BAE30 ,BNAE, ANBN ACBAEB, tanACBtanAEB2, ENBN, AEEN+AN, 2+1BN+BN, BN2, EN1, BE , BO 12如图 1, ABC 内接于O,连接 AO,延长 AO 交 BC 于点 D,ADBC (1)求证:ABAC; (2)如图 2,在O 上取一点 E,连接 BE、CE,过点 A 作 AFBE 于点 F,求证:EF+CEBF; (3)如图 3 在(2)的条件下,在 BE 上取一点 G,连接 AG、CG,若AGB+ABC90 ,AGC BGC,AG6,BG5,求 EF 的长 证明:(1)ADBC,AD 过圆心 O, BDCD,且

15、 ADBC, ABAC; (2)如图 2,在 BF 上截取 FHEF,连接 AE,AH, AFEH,EFFH, AHAE, AHEAEH, ABAC, ABCACB,且ACBAEH, AEHAHEABCACB, BACHAE, BAHCAE,且 AHAE,ABAC, ABHACE(SAS) BHCE, BFEF+CE; (3)如图 3,延长 CG 交O 于 M,交 AB 于 K,过点 A 作 APCM 于 P,过点 B 作 BNCM 于 N,连 接 AE,AM,MB, AGB+ABC90 , AGB90 ABC, AGB2BAC, AGCBGC, BGMAGMAGB, BGMAGMBAC,且B

16、ACBMC, BMGBGM, BMBG5, AMCABC,AGMBAC, GAMACB, AMGMAG, MGAG6, BMBG,BNMG, MNNG3, BN4, BMGAGM, BMAG, , APBN, , AP , PG , PNPGNG,且 PK,KN , AK , BK , ABAK+BK , AF2AG2GF2,AF2AB2BF2, AG2GF2AB2(5+GF)2, GF , BF , MPMGPG, MK , AMCABC,MABBCM, MAKBCK, , CK , GCKCKG , BMCBEC,BGMCGE,BGMBMG, CGECEG, CGCE , EF+CEBF,

17、 EFBFCE 13如图,在 Rt ABC 中,C90 ,O 为 BC 边上一点,以 OC 为半径的圆 O,交 AB 于 D 点,且 AD AC延长 DO 交圆 O 于 E 点,连接 AE (1)求证:DEAB; (2)若 DB4、BC8,求 AE 的长 (1)证明:连接 AO ADAC,AOAO,ODOC, AODAOC(SSS), ADOACO90 , DEAB (2)解:设 ODOCx, 在 Rt OBD 中,OB2BD2+OD2, (8x)2x2+42 , 解得 x3, 设 ADACy, 在 Rt ACB 中,AB2AC2+BC2, (y+4)2y2+82 , y6, 在 Rt ADE

18、 中,AE6 14如图,AB 是C 的直径,M、D 两点在 AB 的延长线上,E 是C 的点,且 DE2DBDA,延长 AE 至 F,使得 AEEF,设 BF5,cosBED (1)求证: DEBDAE; (2)求 DA,DE 的长; (3)若点 F 在 B、E、M 三点确定的圆上,求 MD 的长 解:(1)DE2DBDA, , 又DD, DEBDAE (2)DEBDAE, DEBDAE, AB 是直径, AEB90 ,又 AEEF, ABBF5, BFEBAE,则 BFED 交于点 H, cosBED,则 BE3,AE4 ,即:, 解得:BD,DE, 则 ADAB+BD, ED (3)由点

19、F 在 B、E、M 三点确定的圆上,则 BF 是该圆的直径,连接 MF, BFED,BMF90 ,MFBD, 在 BED 中,过点 B 作 HBED 于点 H, 设 HDx,则 EHx, 则 9(x)2()2x2, 解得:x, 则 cos,则 sin, MBBFsin5, DMBDMB 15如图,AB 是O 的直径,点 C 为O 上一点,点 P 是半径 OB 上一动点(不与 O,B 重合),过点 P 作射线 lAB,分别交弦 BC,于 D、E 两点,在射线 l 上取点 F,使 FCFD (1)求证:FC 是O 的切线; (2)当点 E 是的中点时, 若BAC60 ,判断以 O,B,E,C 为顶

20、点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由; 若,且 AB20,求 OP 的长 证明:(1)连接 OC, OBOC, OBCOCB, PFAB, BPD90 , OBC+BDP90 , FCFD FCDFDC FDCBDP OCB+FCD90 OCFC FC 是O 的切线; (2)如图 2,连接 OC,OE,BE,CE, 以 O,B,E,C 为顶点的四边形是菱形理由如下: AB 是直径, ACB90 , BAC60 , BOC120 , 点 E 是的中点, BOECOE60 , OBOEOC BOE, OCE 均为等边三角形, OBBECEOC 四边形 BOCE 是菱形; , 设 AC3k,BC4k(k0), 由勾股定理得 AC2+BC2AB2,即(3k)2+(4k)2202,解得 k4, AC12,BC16, 点 E 是的中点, OEBC,BHCH8, S OBEOE BHOB PE,即 10 810PE,解得:PE8, 由勾股定理得 OP6

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