1、专题专题 08 08 圆中的长度计算圆中的长度计算 1如图所示，AB 是O 的直径，B30 ，弦 BC6，ACB 的平分线交O 于 D，连 AD （1）求直径 AB 的长 （2）求阴影部分的面积（结果保留 ） 解：（1）AB 为O 的直径， ACB90 ， B30 ， AB2AC， AB2AC2+BC2， AB2AB2+62， AB4 （2）连接 OD AB4， OAOD2， CD 平分ACB，ACB90 ， ACD45 ， AOD2ACD90 ， S AODOAOD226， S扇形 AODOD2（2）23， 阴影部分的面积S扇形 AODS AOD36 2如图，点 D 在O 的直径 AB 的延
2、长线上，CD 切O 于点 C，AECD 于点 E （1）求证：AC 平分DAE； （2）若 AB6，BD2，求 CE 的长 （1）证明：连接 OC CD 是O 的切线， OCD90 ， AEC90 ， OCDAEC， AEOC， EACACO， OAOC， OACOCA， EACOAC， AC 平分DAE （2）作 CFAB 于 F 在 Rt OCD 中，OC3，OD5， CD4， OCCDODCF， CF ， AC 平分DAE，CEAE，CFAD， CECF 3如图，O 的直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 DECE，O 的切线 BF 与弦 AD 的延长线交于点 F （1）求证：CDB
3、F； （2）若O 的半径为 6，A35 ，求的长 （1）证明：AB 是O 的直径，DECE， ABCD， BF 是O 的切线， ABBF， CDBF； （2）解：连接 OD、OC， A35 ， BOD2A70 ， COD2BOD140 ， 的长 4如图，在 ABC 中，ACB90 ，O 是边 AC 上一点，以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆分别交 AB、AC 于点 E、D，在 BC 的延长线上取点 F，使得 BFEF （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若A30 ，求证：DGDA； （3）若A30 ，且图中阴影部分的面积等于 2，求O 的半径的长 解：（1）连接 OE
4、， OAOE， AAEO， BFEF， BBEF， ACB90 ， A+B90 ， AEO+BEF90 ， OEG90 ， EF 是O 的切线； （2）AED90 ，A30 ， EDAD， A+B90 ， BBEF60 ， BEF+DEG90 ， DEG30 ， ADE+A90 ， ADE60 ， ADEEGD+DEG， DGE30 ， DEGDGE， DGDE， DGDA； （3）AD 是O 的直径， AED90 ， A30 ， EOD60 ， EGO30 ， 阴影部分的面积 rr2 解得：r24，即 r2， 即O 的半径的长为 2 5 如图所示， AB 是O 的直径， BD 是O 的弦，
5、延长 BD 到点 C， 使 DCBD， 连接 AC， 过点 D 作 DEAC 于 E （1）求证：ABAC； （2）求证：DE 为O 的切线 证明：（1）连接 AD； AB 是O 的直径， ADB90 又DCBD， AD 是 BC 的中垂线 ABAC （2）连接 OD； OAOB，CDBD， ODAC 0DECED 又DEAC， CED90 ODE90 ，即 ODDE DE 是O 的切线 6如图，已知O 的直径 AB10，弦 AC6，BAC 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 DEAC 交 AC 的延长线于点 E （1）求证：DE 是O 的切线； （2）求 DE 的长 证明：（1）连接 OD
6、， AD 平分BAC， DAEDAB， OAOD，ODADAO， ODADAE， ODAE， DEAC， ODDE， DE 是O 切线 （2）过点 O 作 OFAC 于点 F， AFCF3， OF 4 OFEDEFODE90 ， 四边形 OFED 是矩形， DEOF4 7如图，AB 是O 的直径，BC 为O 的切线，D 为O 上的一点，CDCB，延长 CD 交 BA 的延长线于 点 E （1）求证：CD 为O 的切线； （2）若 BD 的弦心距 OF1，ABD30 ，求图中阴影部分的面积（结果保留 ） （1）证明：连接 OD， BC 是O 的切线， ABC90 ， CDCB， CBDCDB，
7、OBOD， OBDODB， ODCABC90 ， 即 ODCD， 点 D 在O 上， CD 为O 的切线； （2）在 Rt OBF 中， ABD30 ，OF1， BOF60 ，OB2，BF， OFBD， BD2BF2， BOD2BOF120 ， S阴影S扇形OBDS BOD 8已知，如图在 Rt ABC 中，C90 ，BD 平分ABC 交 AC 于 D，过 D 作 DEBD 交 AB 于 E，经过 B，D，E 三点作O （1）求证：AC 与O 相切 （2）若 AD15，AE9，求O 的半径 （1）证明：连接 OD，如图所示： ODOB， 12， 又BD 平分ABC， 23， 13， ODBC，
8、 而C90 ， ODAD， AC 与O 相切于 D 点； （2）解：ODAD， 在 RT OAD 中，OA2OD2+AD2， 又AD15，AE9，设半径为 r， （r+9）2152+r2 ， 解方程得，r8， 即O 的半径为 8 9如图，O 是 ABC 外接圆，AC 是直径，OFAB，过点 BO 的切线相交于点 D，与 OF 的延长线交 点 E （1）求证： ABDBCD； （2）若C30 ，求证： OED 是等腰三角形； （3）若O 的半径为 3，cosD，求 OF 的长 解：（1）如图 1，连接 BO， BD 是O 的切线， OBD90 ， OBA+ABD90 ， AC 是O 的直径， A
9、BC90 ， CBO+OBA90 ， ABDCBO， OBOC， CBOC， ABDC， 又DD， ABDBCD； （2）证明：C30 ，OEAB，ABC90 ， BAO60 BOABOE， 由（1）知 OBDE，EBODBO90 ， 又OBOB， BOEBOD（ASA）， OEOD， OED 是等腰三角形； （3）OEAB，COAO， CFBF， OF 是 ABC 中位线， OFAB， 又在 Rt OBD 中，cosD， 设 BD4x，则 OD5x， 由勾股定理（5x）2（4x）2+32， 解得，x1（取正值）， DB4，OD5， 如图 2，过点 B 作 BMOA 于 M， 则OMBOBD9
10、0 ， 又BOMDOB， OBMODB， ， ， BM，OM ， AM ， AB ， OFAB 10如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 与O 相切于点 E，ADCD 于点 D （1）求证：AE 平分DAC， （2）若 AB6，ABE60 ，求AD 的长，图中阴影部分的面积 证明：（1）如图，连接 OE， DC 为切线， OECD，且 ADCD， OEAD， DAEAEO， OEOA， AEOEAO， DAEEAO， 即 AE 平分DAC； （2）ABE60 ，AEB90 ， EAB30 ，AOE120 BEAB3，AE BE3 AE 平分DAC， DAEBAE30 ，且
11、D90 DEAE，AD DE ， OAOBBE3， S扇形AOEOA23，S AOES ABE AEBE， S阴影S扇形AOES AOE3 11 ABC 内接于O，点 D 在 BC 上，连接 AD、BO，ADAC （1）如图 1，求证：DAC2ABO； （2）如图 2，点 E 在弧 BC 上，连接 AE 交 BC 于点 F，CAE3DAE，连接 BE，DE，若EDC EBC+60 ，求DEA 的度数： （3）如图 3，在（2）的条件下，若 tanACB2，AE2+1，求半径 BO 的长 解：（1）连接 OA， OAOB， ABO（180 AOB）， ADAC， ADCC， DAC180 2C，
12、 AOB2C， DAC180 AOB， AOB180 DAC， ABO（180 AOB） 180 （180 DAC）， 即DAC2ABO； （2）如图 2，过点 A 作 AHBC 于 H， CAE3DAE， CAD4DAE， ADAC，AHBC， DAHCAH2DAE，ADH+DAH90 ， ADH+2DAE90 ， EDCEBC+60 ，EBCEAC， EDCEAC+60 DAE+60 ， AED+DAE+ADH+EDC180 ， DEA+DAE+DAE+60 +ADH180 ， DEA+90 +60 180 ， DEA30 ， （3）如图 3，过点 D 作 DGAE 交 AH 的延长线于点
13、 G，连接 GC，OE，CE，过点 B 作 BNAE 于 N， CAD4DAE，ADAC，AHDC， DAHCAH2DAE，AH 是 CD 的中垂线， DAEFAH， DGAE，DAEFAH， ADGAGD， ADAG，且DAEFAH，AEAE， ADEAGE（SAS） AEDAEG30 ，DEEG， DEG60 ， DEG 是等边三角形， DGEGDE，DGE60 ， AH 是 CD 的中垂线， DGGC， DGGCEG， 点 D，点 G，点 E 在以点 G 为圆心，DG 为半径的圆上， DCEDCE30 ， BAEBCE30 ， BOE60 ，且 BOOE， BOE 是等边三角形， BEB
14、O， BAE30 ，BNAE， ANBN ACBAEB， tanACBtanAEB2， ENBN， AEEN+AN， 2+1BN+BN， BN2， EN1， BE ， BO 12如图 1， ABC 内接于O，连接 AO，延长 AO 交 BC 于点 D，ADBC （1）求证：ABAC； （2）如图 2，在O 上取一点 E，连接 BE、CE，过点 A 作 AFBE 于点 F，求证：EF+CEBF； （3）如图 3 在（2）的条件下，在 BE 上取一点 G，连接 AG、CG，若AGB+ABC90 ，AGC BGC，AG6，BG5，求 EF 的长 证明：（1）ADBC，AD 过圆心 O， BDCD，且
15、 ADBC， ABAC； （2）如图 2，在 BF 上截取 FHEF，连接 AE，AH， AFEH，EFFH， AHAE， AHEAEH， ABAC， ABCACB，且ACBAEH， AEHAHEABCACB， BACHAE， BAHCAE，且 AHAE，ABAC， ABHACE（SAS） BHCE， BFEF+CE； （3）如图 3，延长 CG 交O 于 M，交 AB 于 K，过点 A 作 APCM 于 P，过点 B 作 BNCM 于 N，连 接 AE，AM，MB， AGB+ABC90 ， AGB90 ABC， AGB2BAC， AGCBGC， BGMAGMAGB， BGMAGMBAC，且B
16、ACBMC， BMGBGM， BMBG5， AMCABC，AGMBAC， GAMACB， AMGMAG， MGAG6， BMBG，BNMG， MNNG3， BN4， BMGAGM， BMAG， ， APBN， ， AP ， PG ， PNPGNG，且 PK，KN ， AK ， BK ， ABAK+BK ， AF2AG2GF2，AF2AB2BF2， AG2GF2AB2（5+GF）2， GF ， BF ， MPMGPG， MK ， AMCABC，MABBCM， MAKBCK， ， CK ， GCKCKG ， BMCBEC，BGMCGE，BGMBMG， CGECEG， CGCE ， EF+CEBF，
17、 EFBFCE 13如图，在 Rt ABC 中，C90 ，O 为 BC 边上一点，以 OC 为半径的圆 O，交 AB 于 D 点，且 AD AC延长 DO 交圆 O 于 E 点，连接 AE （1）求证：DEAB； （2）若 DB4、BC8，求 AE 的长 （1）证明：连接 AO ADAC，AOAO，ODOC， AODAOC（SSS）， ADOACO90 ， DEAB （2）解：设 ODOCx， 在 Rt OBD 中，OB2BD2+OD2， （8x）2x2+42 ， 解得 x3， 设 ADACy， 在 Rt ACB 中，AB2AC2+BC2， （y+4）2y2+82 ， y6， 在 Rt ADE
18、 中，AE6 14如图，AB 是C 的直径，M、D 两点在 AB 的延长线上，E 是C 的点，且 DE2DBDA，延长 AE 至 F，使得 AEEF，设 BF5，cosBED （1）求证： DEBDAE； （2）求 DA，DE 的长； （3）若点 F 在 B、E、M 三点确定的圆上，求 MD 的长 解：（1）DE2DBDA， ， 又DD， DEBDAE （2）DEBDAE， DEBDAE， AB 是直径， AEB90 ，又 AEEF， ABBF5， BFEBAE，则 BFED 交于点 H， cosBED，则 BE3，AE4 ，即：， 解得：BD，DE， 则 ADAB+BD， ED （3）由点
19、F 在 B、E、M 三点确定的圆上，则 BF 是该圆的直径，连接 MF， BFED，BMF90 ，MFBD， 在 BED 中，过点 B 作 HBED 于点 H， 设 HDx，则 EHx， 则 9（x）2（）2x2， 解得：x， 则 cos，则 sin， MBBFsin5， DMBDMB 15如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，点 P 是半径 OB 上一动点（不与 O，B 重合），过点 P 作射线 lAB，分别交弦 BC，于 D、E 两点，在射线 l 上取点 F，使 FCFD （1）求证：FC 是O 的切线； （2）当点 E 是的中点时， 若BAC60 ，判断以 O，B，E，C 为顶
20、点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； 若，且 AB20，求 OP 的长 证明：（1）连接 OC， OBOC， OBCOCB， PFAB， BPD90 ， OBC+BDP90 ， FCFD FCDFDC FDCBDP OCB+FCD90 OCFC FC 是O 的切线； （2）如图 2，连接 OC，OE，BE，CE， 以 O，B，E，C 为顶点的四边形是菱形理由如下： AB 是直径， ACB90 ， BAC60 ， BOC120 ， 点 E 是的中点， BOECOE60 ， OBOEOC BOE， OCE 均为等边三角形， OBBECEOC 四边形 BOCE 是菱形； ， 设 AC3k，BC4k（k0）， 由勾股定理得 AC2+BC2AB2，即（3k）2+（4k）2202，解得 k4， AC12，BC16， 点 E 是的中点， OEBC，BHCH8， S OBEOE BHOB PE，即 10 810PE，解得：PE8， 由勾股定理得 OP6
