1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（二二） 与圆有关的切线问题与圆有关的切线问题 【中考真题】【中考真题】 1.（2018 浙江宁波 17）如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作 P.当 P与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为_ 分析：分两种情形分别求 如图 1 中， 当P 与直线 CD 相切时； 如图 2 中当P 与直线 AD 相切时 设切点为 K， 连接 PK， 则 PKAD， 四边形 PKDC 是矩形； 解答： 如图 1 中，当P 与直线 CD 相切时，设 PC=P
2、M=x. 在 Rt PBM 中,PM2=BM2+PB2， x2=42+(8x)2，x=5， PC=5，BP=BCPC=85=3. 如图 2 中当P 与直线 AD 相切时。设切点为 K，连接 PK，则 PKAD，四边形 PKDC 是矩形。 PM=PK=CD=2BM， BM=4，PM=8， 在 Rt PBM 中,PB34=48 22 . 综上所述,BP 的长为 3 或34. 2.（2019 浙江宁波 17）如图，Rt ABC 中，C=90 ，AC=12，点 D 在边 BC 上，CD=5，BD=13.点 P 是 线段 AD 上一动点，当半径为 6 的圆 P 与 ABC 的一边相切时，AP 的长为 .
3、 【解答】解：在 Rt ACD 中，C=90 ，AC=12,CD=5, AD=13； 在 Rt ACB 中，C=90 ，AC=12,BC=CD+DB=18, AB=6 ； 过点 D 作 DMAB 于点 M，AD=BD=13, AM= ; 在 Rt ADM 中，AD=13,AM= , DM= ； 当点 P 运动到点 D 时，点 P 到 AC 的距离最大为 CD=56， 半径为 6 的P 不可能与 AC 相切； 当半径为 6 的P 与 BC 相切时，设切点为 E，连接 PE， PEBC,且 PE=6， PEBC，ACBC, PEAC, ACDPED， PEAC=PDAD, 即 612=PD13,
4、PD=6.5, AP=AD-PD=6.5; 当半径为 6 的P 与 BA 相切时，设切点为 F，连接 PF， PFAB,且 PF=6， PFBA，DMAB, DMPF, APFADM， APAD=PFDM 即 AP13=6 , AP= , 综上所述即可得出 AP 的长度为： 2 13 或133 3.（2020 浙江宁波 15）如图，O 的半径 OA2，B 是O 上的动点（不与点 A 重合），过点 B 作O 的 切线 BC，BCOA，连结 OC，AC当 OAC 是直角三角形时，其斜边长为 【详解】解：连接 OB， BC是O的切线， OBC90， BCOA， OBBC2， OBC是等腰直角三角形，
5、 BCO45， ACO45， 当AOC90，OAC直角三角形时， OC 2OB22， AC 22 OAOC 2 2 22 2 2 3； 当OAC90，四边形 OACB是正方形， OC=2 2； 故答案为：2 2或 23 【解题指导解题指导】 2018-2020 年宁波数学中考真题中，切线的问题的考察是在圆的背景下，结合三角形或四边形的性质，题 目位置靠近压轴题，属于较难题，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程 解决问题； 当题目中出现“相切”、“切线”、“切点”等包含“切”字的条件时，首先去连接圆心与切点，得到“垂直”（有 切点直接连，无切点作垂直），有时需结合切线长
6、定理。 【牛刀小试牛刀小试】 1如图，O 内切于正方形 ABCD，边 AD、CD 分别与O 切于点 E、F，点 M、N 分别在线段 DE、DF 上，且 MN 与O 相切，若 MBN 的面积为 8，则O 的半径为（ ） A B2 C D2 解答： 设O 与 MN 相切于点 K，设正方形的边长为 2a. AD、CD、MN 是切线， AE=DE=DF=CF=a，MK=ME，NK=NF，设 MK=ME=x，NK=NF=y， 在 Rt DMN 中，MN=x+y，DN=ay，DM=ax， (x+y)2=(ay)2+(ax)2， ax+ay+xy=a2， S BMN=S正方形ABCDS ABESDMNS B
7、CN=8， 4a2 2 1 2a(a+x) 2 1 (ax)(ay) 2 1 2a (a+y)=8， 2 3 a2 2 1 (ax+ay+xy)=8， a2=8， a=22， AB=2a=24， O 的半径为22， 故选：B. 2如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，O 是 ABC 的内切圆，现将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠， 使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG点 F，G 分别在边 AD，BC 上，连结 OG，DG若 OGDG，且O 的半径长为 1，则下列结论不成立的是（ ） ACD+DF4 BCDDF23 CBC+AB2+4 DBCAB2 解答： 答案：A. 如图，设O 与 B
8、C 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于点 N. 将矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG， OG=DG. OGDG， MGO+DGC=90 . O 与 BC 的切点为 M， OMBC， MOG+MGO=90 ， MOG=DGC. 在 OMG 和 GCD 中，OMG=GCD=90 ，MOG=CGD，OG=DG， OMGGCD， OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2. AB=CD， BC-AB=2，故 D 正确. 设 AB=a，BC=b，AC=c，O 的半径为 r，O 是 Rt ABC 的内切圆，则 r= 2 1 (a+b-
9、c)， c=a+b-2. 在 Rt ABC 中，由勾股定理可得 a2+b2=(a+b-2)2，整理得 2ab-4a-4b+4=0. 由于 BC-AB=2，即 b=2+a，将其代入上式可得 2a(2+a)-4a-4(2+a)+4=0， 解得 a1=1+3，a2=1-3（舍去）， a=1+3，b=3+3， BC+AB=4+23，故 C 正确. 再设 DF=x. 在 Rt ONF 中，FN=3+3-1-x，OF=x，ON=1+3-1=3， (2+3-x)2+(3)2=x2， 解得 x=4-3， CD-DF=3+1-(4-3)=23-3，CD+DF=3+1+4-3=5，故 B 正确，A 错误. 故选
10、A. 3我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”如图，直线 l： 34+= kxy 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B，OAB30 ，点 P 在 x 轴上，P 与 l 相切，当 P 在线段 OA 上运动时，使得P 成为整圆的点 P 个数是（ ） A6 B8 C10 D12 解答：直线 l:34+= kxy与 x 轴、y 轴分别交于 A. B， B(0,34)，OB=34， 在 RT AOB 中,OAB=30 ， OA=3OB3 43=12， P 与 l 相切，设切点为 M，连接 PM，则 PMAB， PM=12PA， 设 P(x,0)， PA=12x， P 的半径 PM=1
11、2PA=612x， x 为整数，PM 为整数， x 可以取 0，2，4，6，8，10，6 个数， 使得 P 成为整圆的点 P 个数是 6. 故选：A. 4（2020余姚市模拟）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC4，P 是对角线 AC 上的动点，以点 P 为圆 心，PC 长为半径作P当P 与矩形 ABCD 的边相切时，CP 的长为 解答： 作 PEAD 于 E,PFAB 于 F, 在 Rt ABC 中,AC=5= 22 BC+AB， 由题意可知，P 只能与矩形 ABCD 的边 AD、AB 相切， 当P 与 AD 相切时，PE=PC， PEAD，CDAD， PECD， APEACD， CD
12、PE AC AP =,即 5 5 = 3 CPCP ， 解得,CP= 8 15 ， 当P 与 AB 相切时，PF=PC， PFAB，CBAB， PFBC， APEACD， AC AP BC PF =,即 5 5 = 4 CPCP ， 解得,CP= 9 20 ， 综上所述,当P 与矩形 ABCD 的边相切时,CP 的长 158 或 209， 故答案为： 8 15 或 9 20 . 5.如图， 在 ABC 中， ACB=90 ， A=30 ， BA=6， P 为 AB 上一动点， 以 P 为圆心， 2 为半径画P 点 P 从点 A 运动到点 B， 运动速度为 1 个单位长度/秒， 设运动时间为 t
13、 秒， 则在运动过程中， P 与 ABC 的边相切时的最短时间 t 的值为（ ） A2 B3 C4 D6- 3 34 解答： 当P 与 AC 相切时，如图 1 所示： 设切点为 D，连接 PD， 则 PDAC，PD=2， A=30 ， PA=2OD=4， t=4； 当P 与 BC 相切时,如图 2 所示： 设切点为 E，连接 PE， 则 PEBC，PE=2， A=30 ， PE=3BE，PB=2BE， PB= 3 34 ， AP=ABPB=6 3 34 ， t=6 3 34 ； 46 3 34 ， P 与 ABC 的边相切时的最短时间 t 的值为 6 3 34 ； 故选：D. 6.如图，射线
14、QN 与等边 ABC 的两边 AB，BC 分别交于点 M，N，且 ACQN，AM=MB=2cm， QM=4cm动点 P 从 Q 出发，沿射线 QN 以每秒 1cm 的速度向右移动，经过 t 秒，以点 P 为圆心，3 cm 为半径与 ABC 的边相切（切点在边上），则 t（单位：秒）可以取的一切值为（ ） At=2 B3t7 Ct=8 Dt=2 或 3t7 或 t=8 解答： Q 以每秒 2cm 的速度向左移动， ABC 也沿射线 PN 以每秒 1cm 的速度向左移动， 相当于 ABC 静止，Q 以每秒 1cm 的速度向左移动， 当 Q 与 AC 相切时,因为半径为3，所以 QF=2， 则 PQ
15、=2，即 t=2， 作 CDPN，BHPN， BE=2， BH=3，HE=1， 同理 CD=3，DF=1， 当 Q 在由 D 到 H 的过程中与 BC 相切，此时 3t7， 当 Q 与 AB 相切时,因为半径为3，所以 GE=2，即 t=8， 综上所述，t=2 或 3t7 或 t=8. 故选：D. 7.如图， 已知O的半径为6cm， 射线PM经过点O， OP=10cm， 射线 PN 与O 相切于点 Q，A，B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s 的速度沿射线 PM 方向运动， 点 B 以 4cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动设运动时间为 t（s）当直线 AB 与O 相切时，t（
16、s）的 值是（ ） A0.5 B3.5 C0.5 或 2.5 D0.5 或 3.5 解答： 连接 OQ， PN 与O 相切于点 Q， OQPN, 即OQP=90 ， OP=10，OQ=6， PQ=8(cm)， 过点 O 作 OCAB，垂足为 C， 点 A 的运动速度为 5cm/s，点 B 的运动速度为 4cm/s，运动时间为 ts， PA=5t，PB=4t， PO=10，PQ=8， PQ PB PO PA =， P=P， PABPOQ, PBA=PQO=90 ， BQO=CBQ=OCB=90 ， 四边形 OCBQ 为矩形。 BQ=OC. O 的半径为 6， BQ=OC=6 时，直线 AB 与O
17、 相切。 当 AB 运动到如图 1 所示的位置， BQ=PQPB=84t， BQ=6， 84t=6， t=0.5(s). 当 AB 运动到如图 2 所示的位置， BQ=PBPQ=4t8， BQ=6， 4t8=6， t=3.5(s). 当 t 为 0.5s 或 3.5s 时直线 AB 与O 相切。 故选 D. 8.如图，ABC中， 5BC ，4AC ， 15 2 ABC S ，点D从点B开始以每秒 1 个单位的速度沿BC向点C 运动，同时点E从点C开始以每秒 2 个单位的速度沿CB向点B运动，过点E作直线/ /EFAC交AB于 点F，当运动 秒时，直线EF与以点D为圆心，BD为半径的圆相切 解答
18、： 如图，作 BMAC 于 M，设直线 EF 与D 相切于点 N，连接 DN. S ABC= 2 1 ACBM= 2 15 BM= 4 15 ， FEAC， DEN=C，DNE=BMC， DNEBMC， BC DE BM DN =， 5 = 4 15 DEx ， DE=x 3 4 ， BC=BD+DE+EC， 5=x+x 3 4 +2x， x= 13 15 故答案为 13 15 . 9.如图 1，平行四边形 ABCD 中，ABAC，AB=6，AD=10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心，PA 为半 径的P 与对角线 AC 交于 A，E 两点 （1）如图 2，当P 与边 CD 相切于点
19、 F 时，求 AP 的长； （2）不难发现，当P 与边 CD 相切时，P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的变化， P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为 4，直接写出相对应的 AP 的值 的取值范围 解答： (1)平行四边形 ABCD 中，AB=6，AD=10， BC=AD=10， ABAC， 在 Rt ABC 中,由勾股定理得：AC=8， 故答案为：8； (2)如图 2 所示,连接 PF, 设 AP=x，则 DP=10 x，PF=x， P 与边 CD 相切于点 F， PFCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， ABAC，
20、 ACCD， ACPF, DPFDAC， PFAC=PDAD， 10 10 = 8 xx ， x= 9 40 ， 即 AP= 9 40 ； (3)当P 与 BC 相切时,设切点为 G,如图 3, S ABCD= 2 1 6 8 2=10PG， PG= 5 24 ， 当P 与边 AD、CD 分别有两个公共点时, 9 40 AP 5 24 ，即此时P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点 的个数为 4； P 过点 A. C. D 三点，如图 4，P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4，此时 AP=5， 综上所述,AP 的值的取值范围是： 9 40 AP 5 24 或 AP=5， 故答案为： 9 40 AP 5 24 或 AP=5.
