1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（五五） 圆与函数综合问题 【中考真题】 1.（2018 浙江宁波 26）如图 1，直线 l：y = 3 4x + b与 x 轴交于点A(4,0)，与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA 上一动点(0 AC 16 5 ).以点 A为圆心，AC 长为半径作 A交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连 结 OE 并延长交 A于点 F (1)求直线 l 的函数表达式和tanBAO的值； (2)如图 2，连结 CE，当CE = EF时， 求证： OCE OEA； 求点 E 的坐标； (3)当点 C 在线段 OA 上运动时，求OE E
2、F的最大值 【答案】解：直线 l：y = 3 4x + b与 x 轴交于点A(4,0)， 3 4 4 + b = 0， b = 3， 直线 l 的函数表达式y = 3 4x + 3， B(0,3)， OA = 4，OB = 3， 在Rt AOB中，tanBAO = OB OA = 3 4； (2)如图 2，连接 DF， CE = EF， CDE = FDE， CDF = 2CDE， OAE = 2CDE， OAE = ODF， 四边形 CEFD 是 O的圆内接四边形， OEC = ODF， OEC = OAE， COE = EOA， COE EOA， 过点E OA于 M， 由知，tanOAB
3、= 3 4， 设EM = 3m，则AM = 4m， OM = 4 4m，AE = 5m， E(4 4m,3m)，AC = 5m， OC = 4 5m， 由知， COE EOA， OC OE = OE OA， OE2= OA OC = 4(4 5m) = 16 20m， E(4 4m,3m)， (4 4m)2+ 9m2= 25m2 32m + 16， 25m2 32m + 16 = 16 20m， m = 0(舍)或m = 12 25， 4 4m = 48 25，3m = 36 25， (48 25, 36 25)， (3)如图，设 O的半径为 r，过点 O 作OG AB于 G， A(4,0)，
4、B(0,3)， OA = 4，OB = 3， AB = 5， 1 2AB OG = 1 2OA OB， OG = 12 5 ， AG = OG tanAOB = 12 5 4 3 = 16 5 ， EG = AG AE = 16 5 r， 连接 FH， EH是 O直径， EH = 2r，EFH = 90= EGO， OEG = HEF， OEG HEF， OE HE = EG EF， OE EF = HE EG = 2r(16 5 r) = 2(r 8 5) 2 + 128 25 ， r = 8 5时，OE EF最大值为 128 25 2.（2019 浙江宁波 26）如图 1，圆 O 经过等边
5、ABC 的顶点 A,C（圆心 O 在ABC 内） ，分别与 AB,CB 的延 长线交于点 D,E，连接 DE,BFEC 交 AE 于点 F. （1）求证：BD=BE； （2）当 AF:EF=3:2，AC=6 时，求 AE 的长； （3）设yDAEx EF AF tan,. 求 y 关于 x 的函数表达式； 如图 2，连接 OF，OB，若AEC 的面积是OFB 面积的 10 倍，求 y 的值. 【答案】 （1）证明：ABC 为等边三角形， BAC=C=60 . DEB=BAC=60 ,D=C=60 DEB=D. BD=BE （2）解：如图，过点 A 作 AGEC 于点 G. ABC 为等边三角形
6、，AC=6， BG= 2 1 BC= 2 1 AC=3. 在 RtABG 中，AG= 3BG=33. BFEC， BFAG. AF:EF=3:2, BE= 3 2 BG=2. EG=BE+BG=3+2=5. 在 RtAEG 中，AE= . （3）解：如图，过点 E 作 EHAD 于点 H. EBD=ABC=60 , 在 RtBEH 中， BE EH =sin60= 2 3 . BG=xBE. AB=BC=2BG-2xBE. AH-AB+BH=2xBE+ 2 1 BE=(2x+ 2 1 )BE. 在 RtAHE 中,tan = y= 如图，过点 O 作 OMEC 于点 M. 设 BE=a. CG
7、=BG=xBE=x. EC=CG+BG+BE=a+2ax. AM= 2 1 EC= 2 1 a+ax. BM=EM-BE=ax- 2 1 a BFAG EBFEGA. AG= BG= ax BF= AG= OFB 的面积= AEC 的面积= AEC 的面积是OFB 的面积 10 倍 解得 【解题指导】 此类题型是学生最不喜欢的一类了，函数与几何结合，既要对函数的性质了如指掌，又要对几何的运用出 神入化，难度颇高。大多数学生在做到压轴题时，时间已经不太充裕了，同时很难静下心来审题，这也是 导致得分率不高的一个重要原因。想要拿到分数，关键在于：平心静气，耐心审题；抛开“这道题一 定很难，我不会”的
8、主观想法，尽量在第（1） 、 （2）小问上找得分点，争取把这两小问的分数搞到手，第 （3） 小问也不要直接抛弃， 可以看看从条件中能够得到哪些结论， 有时会有意外的得分； 当然对知识点、 重要模型、常规解题技巧也要做到了然于心。 【牛刀小试】 1如图 1，ABC 内接于圆，点 D 在劣弧AC上，AD 1 2 BC，DC 1 2 AB，Q 为 AC 中点，点 D 与点 P 关于 点 Q 对称 （1）求证：PADABC （2）求证：点 B，P，D 在一条直线上 （3）如图 2，记PAB，PCB，ABC，请用含 ， 的代数式表示 （4）如图 3，设 E，F 分别为 AB，BC 的中点，EF 交 BD
9、 于点 H，求 PH AC 的值 【详解】 解： （1）点 Q 为 AC 中点，点 D 与点 P 关于点 Q 对称， AQQC，PQQD， 四边形 APCD 是平行四边形， APCD，APCD， PAD+ADC180， 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ABC+ADC180， PADB， 又 1 2 ADAP BCAB ， PADABC. （2）连接 BD，如图 2， PADABC， ACBADP， ACBADB， ADPADB 点 B，P，D 在一条直线上. （3）APDABP+BAP，CPDCBP+PCB， APD+CPDABP+BAP+CBP+PCB+， 四边形 APCD 是平行四边形
10、， ADCAPCAPD+CPD， 180ABC+， 2180， 90 2 2 . （4）连接 EP，FP， E，F 分别为 AB，BC 的中点， AEBE 1 2 AB，BFCF 1 2 BC， CD 1 2 AB，CDAP， AEAP， APE90 1 2 ， 同理可得CPF90 1 2 ， EPF360APECPFAPC180（ 1 2 + 1 2 +） ， 90 2 2 ， EPF180（ 1 2 + 1 2 +90 2 2 ）90， E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点， EFAC，EF 1 2 AC， BEHBAQ，BFHBCQ， EHBHHF1 ABQCQ2Q ， AQC
11、Q， EHHF， PH 1 2 EF 1 4 AC， 1 4 PH AC 2如图 1，直线 l：y 1 2 x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，以 AB 为直径作M，点 P 为线段 OA 上一动点（与点 O、A 不重合） ，作 PCAB 于 C，连结 BP 并延长交O 于点 D （1）求点 A，B 的坐标和 tanBAO 的值； （2）设 BC CA x，tanBPOy 当 x1 时，求 y 的值及点 D 的坐标； 求 y 关于 x 的函数表达式； （3）如图 2，连接 OC，当点 P 在线段 OA 上运动时，求 OCPD 的最大值 【详解】 解： （1）对于直线 l：y 1
12、2 x+4，令 x0，则 y4，令 y0，则 x8， 故点 A、B 的坐标分别为：(8，0)、 （0，4） ； tanBAO OB OA 4 8 1 2 ； （2）由点 A、B 的坐标得：AB 22 48 4 5，则圆的半径 r25， 如图 1，当 x1 时，则 BCAC， 又PMAB， AMBM 1 2 AB2 5， tanBAO OB OA 4 8 1 2 ，则 cosBAO 2 5 ， PBPA cos AM BAO 2 5 2 5 5， OPOAAP853，故点 P(3，0)， 在 RtBOP 中，ytanBPO OB OP 4 3 ； 设直线 BP 的表达式为：ykx+b，则 30
13、4 kb b ，解得： 4 k 3 b4 ， 故直线 BP 的表达式为：y 4 3 x+4， 设点 D 的坐标为：(m， 4 3 m+4)， 点 M 是 AB 的中点，则其坐标为： （4，2） ， DM 是圆的半径， MD(m4)2+( 4 3 m+42)2(2 5) 2， 解得：m0 或 24 5 （舍去 0） ， 故 m 24 5 ， 故点 D( 24 5 ，12 5 )； 故 y 4 3 ，点 D 的坐标为( 24 5 ， 12 5 )； 在RtACP 中，AC cos PA BAO 5 2 PA， BC CA x，则 BCxAC， ABAC+BC 5 2 PA+ 5 2 PAx4 5，
14、 PA 8 1x ， OPOAPA4 8 1x ， ytanBPO OB OP 4 8 4 1x 1 1 x x ； （3）如图 2，连接 OD、OC， BOA90，BCP90， O、P、C、B 四点共圆， COPCBP， 而CBPAOD， COPAOD， 而BDOBAO， OACODP， OCAC OPPD ，即 OCPDACOP， 设 PAx，则 OP8x， 在 RtACP 中，ACAPcosBAO 2 5 x 2 5 5 x， OCPDACOP 2 5 5 x(8x) 2 5 5 x2+16 5 5 x， 2 5 5 0，故 OCPD 有最大值， 当 x4 时，OCPD 最大值为 32
15、5 5 3如图，已知直线 l：y 4 3 x+8 交 x 轴于点 E，点 A 为 x 轴上的一个动点（点 A 不与点 E 重合） ，在直线 l 上取一点 B（点 B 在 x 轴上方） ，使 BE5AE，连结 AB，以 AB 为边在 AB 的右侧作正方形 ABCD，连结 OB， 以 OB 为直径作P （1）当点 A 在点 E 左侧时，若点 B 落在 y 轴上，则 AE 的长为 ，点 D 的坐标为 ； （2）若P 与正方形 ABCD 的边相切于点 B，求点 B 的坐标； （3）P 与直线 BE 的交点为 Q，连结 CQ，当 CQ 平分BCD 时，BE 的长为 （直接写出答案） 【详解】 解： （1
16、）如图 1 中，作 DGx 轴于 G 由题意：E（6，0） ，B（0，8） ， OE6，OB8， BE 22 68 10， BE5AE， AE2， OA4， OBA+OAB=OAB+DAG=90, BAODAG， AB=DA，AOBDGA, OBADAG(AAS)， DG=OA=4,OB=AG=8， OG=OA+AG=12, D（12，4） ， 故答案为 2， （12，4） ； （2）如图 2 中，当点 A 与原点 O 重合时，P 与 BC 相切于点 B，AE6， BE5AE， BE30，可得 B（12，24） 如图 3 中，当 OBAB 时，P 与 AB 相切于点 B，作 BHOA 于 H
17、设 AEm，则 BE5m，BH4m，EH3m， BHAH4m， BAO45， OBA90， BOA45， 点 B 的横坐标与纵坐标相同，可得 B（ 24 7 ， 24 7 ） ， 如图 4 中，当点 E 在点 A 的右侧时，作 BHOA 于 H 设 BE5m，AEm，则 BH4m，AEH3m，AH2m， OBAOHB90， 由OHBBHA，可得 BH2OHAH， 16m2（63m）2m， 解得 m 6 11 ， B（ 48 11 ， 24 11 ） 综上所述，满足条件的点 B 的坐标为（12，24）或（ 24 7 ， 24 7 ）或（ 48 11 ， 24 11 ） ； （3）如图 5，作 B
18、GOA 于点 G，连结 OQ 设 AEm，则 BE5m， BG4m，EG3m，AG2m， B（63m，4m） ，C（m+6，6m） ，A（6m，0） ， OQ直线 l，且过圆心 O， 直线 OQ 的解析式为 3 4 yx ， 96 72 (,) 25 25 Q， CQ 平分BCD， C，Q，A 三点共线， 66(6) 7296 (6) 2525 mmm m ， 解得 78 m 25 ， 78 AE 25 ， 78 BE 5 ， 故答案为： 78 5 4对于平面内的点 P 与射线 OA，射线 OA 上与点 P 距离最近的点与端点 O 的距离叫做点 P 关于射线 OA 的 侧边距，记作 （P，OA
19、） （1）在菱形 OABC 中，OA=2，OAB=45则 （B，OA）=_，（C，OA）=_； （2）在ABCD 中，若 （A，BD）=（C，BD） ，则ABCD 是否必为正方形，请说明理由； （3）如图，已知点 C 是射线 OA 上一点，CA=OA=2，以 OA 为半径画O，点 B 是O 上任意点，D 为线 段 BC 的中点 若 （D，OA）= 3 2 ，则 （D，OB）=_； 设 （D，OA）=x，（D，OB）=y，求 y 关于 x 的函数关系式并写出自变量 x 的取值范围_； 【详解】 解： （1）如图，过点 B 作 BDOA 于点 D， 菱形 OABC，A=45 DA=ABcos45=
20、 2 22 2 OD=OA-AD=2 2 ， （B，OA）= 2 2 ； 射线 OA 上与点 C 距离最近的点是点 O，它与端点 O 的距离为 0， （C，OA）=0 故答案为：2 2 ；0 （2）解：ABCD 不一定为正方形 理由：如图 1，过点 A 作 AEBD 交 BD 于点 E，过点 C 作 CFBD 交 BD 于点 F， （A，BD）=BE，（C，BD）=BF， （A，BD）=（C，BD） ， BE=BF， 即点 E、F 重合，且 A、E、C 共线， ACBD， 又四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形 （3）根据侧边距的定义因为 （D，OA）= 3 2 ，所以
21、（D，OB）=0； 故答案为 0； 圆是轴对称图形，故只考虑点 B 在直线 OC 上及 OC 上方部分的情形 如图，过点 D 作 DEOC 交 OC 于点 E，过点 D 作 DFOB 交 OB 于点 F，连接 AD （）当DOB90时，如图，过点 D 作 DEOC 交 OC 于点 E，过点 D 作 DFOB 交 OB 于点 F，过点 C 作 CHOB 交 OB 于点 H，连接 AD （D，OA）=OE=x，（D，OB）=OF=y，OFD=CHO=AED=90， FD/HC， BFBD BHBC ， D 为线段 BC 的中点 ， BC=2BD ， BH=2BF， OA=2 OB=2 BF=OB-
22、OF=2-y ， OH=OB-BH=2-2(2-y)=2y-2 ， D 为线段 BC 的中点，OA=AC=2， AD 是OBC 的中位线，OC=4， AD= 1 1 2 OB ，DA/OB， HOC=DAE ， OHCAED ， ADAE OCOH ， 又AE=OE-OA=x-2 ， 12 422 x y ，即 y=2x-3 ， （）当DOB90时， 射线 OB 上与点 D 距离最近的点是点 O，此时 y=0 当点 B 在线段 OC 上时，x=3 ， 当点 B 在线段 OC 的反向延长线上时，x=1 ， 当DOB=90时，如图，DA= 1 2 OB= 1 2 OA，ODA=DOB=90， DOA=30，OD= 3 ， x=OE= 3 2 OD= 3 2 综上所述，y 关于 x 的函数关系式是 3 23(3) 2 3 0 1 2 xx y x
