1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（四四） 与新定义结合的四边形综合问题 【中考真题】 1.（2017 浙江宁波 26）有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形 (1)如图 1，在半对角四边形 ABCD 中，B D，C A，求B 与C 的度数之和； (2)如图 2， 锐角 ABC 内接于O， 若边 AB 上存在一点 D， 使得 BDBO OBA 的平分线交 OA 于点 E， 连结 DE 并延长交 AC 于点 F，AFE2EAF求证：四边形 DBCF 是半对角四边形； (3)如图 3， 在 （2） 的条件下， 过点 D 作 DGOB 于点 H， 交 BC 于点
2、 G 当 DHBG 时， 求 BGH 与 ABC 的面积之比 【答案】（1）解：在半对角四边形 ABCD 中，B=D，C=A. A+B+C+D=360 ， 3B+3C=360 . B+C=120 . 即B 与C 的度数之和 120 . （2）证明：在 BED 和 BEO 中， . BEDBEO（SAS）. BDE=BOE. 又BCF=BOE. BCF=BDE. 如下图，连结 OC. 设EAF= .则AFE=2EAF=2 . EFC=180 -AFE=180 -2 . OA=OC, OAC=OCA= . AOC=180 -OAC-OCA=180 -2 . ABC=AOC=EFC. 四边形 DBC
3、F 是半对角四边形. （3）解：如下图，作过点 OMBC 于点 M. 四边形 DBCF 是半对角四边形， ABC+ACB=120 . BAC=60 . BOC=2BAC=120 . OB=OC OBC=OCB=30 . BC=2BM=BO=BD. DGOB, HGB=BAC=60 . DBG=CBA, DBG CBA. = 2= . DH=BG,BG=2HG. DG=3HG. = =. 2.（2019 浙江宁波 26）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余 线. （1）如图 1，在 ABC 中，AB=AC,AD 是 ABC 的角平分线，E,F 分别是 BD,AD
4、 上的点，求证：四边形 ABEF 是邻余四边形. （2）如图 2，在 5 4 的方格纸中，A,B 在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形 ABEF，使得 AB 是邻 余线，E,F 在格点上. （3）如图 3，在（1）的条件下，取 EF 中点 M，连接 DM 并延长交 AB 于点 Q，延长 EF 交 AC 于点 N， 若 N 为 AC 的中点，DE=2BE,QB=3，求邻余线 AB 的长. 解答： （1）AB=AC，AD 是 ABC 的角平分线， ADBC，ADB=90 ，DAB+DBA=90 ， FAB 与EBA 互余， 四边形 ABEF 是邻余四边形； （2）如图所示（答案不唯一）， 四边
5、形 AFEB 为所求； （3）AB=AC，AD 是 ABC 的角平分线， BD=CD， DE=2BE， BD=CD=3BE， CE=CD+DE=5BE， EDF=90 ，点 M 是 EF 的中点， DM=ME， MDE=MED， AB=AC， B=C， DBQECN， 5 3 = CE BD NC QB 3=QB，5=NC 10=2= CNAC 10=ACAB 【解题指导】四边形与新定义结合的综合题常常位于压轴题位置，难度较大，第（1）和第（2）小问通常 建立在所学知识的背景下，结合给定的新定义可得出，第（3）问综合性较强，要求学生能够结合实际情境， 经历建立模型、解决问题的过程，不仅仅掌握所
6、学知识，更要求具有将各知识点关联起来，进一步理解有 关知识，加以迁移与应用的能力。 【牛刀小试】 1.有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形. (1)如图 1，在半对角四边形中，求与的度数之和； (2)如图 2， 锐角内接于， 若边上存在一点， 使得 ，的平分线交于点， 连结并延长交于点，.求证：四边形是半对角四边形； (3)如图 3， 在(2)的条件下， 过点作于点， 交于点， 当时， 求与 的面积之比. 解答： (1)在半对角四边形 ABCD 中,B= 2 1 D,C= 2 1 A， A+B+C+D=360 ， 3B+3C=360 ， B+C=120 ,即B 与C 的度数和
7、为 120 ； (2) 证明：在 BED 和 BEO 中，BD=BO，EBD=EBO，BE=BE， BEDBEO(SAS)， BDE=BOE. BCF= 2 1 BOE， BCF= 2 1 BDE， 连接 OC， 设EAF=，则AFE=2EAF=2， EFC=180 AFE=180 2， OA=OC， OAC=OCA=， AOC=180 OACOCA=180 2， ABC= 2 1 AOC= 2 1 EFC， 四边形 DBCF 是半对角四边形； (3)过点 O 作 OMBC 于 M， 四边形 DBCF 是半对角四边形， ABC+ACB=120 ， BAC=60 , BOC=2BAC=120 ，
8、 OB=OC， OBC=OCB=30 ， DGOB， BH=23BG=3 在直角 BDH 中,利用勾股定理得到：BD=7=3+2=+ 2222 )(BHDH BO=BD=7 O 的直径是 27. 2.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” （1）概念理解 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条 件 （2）问题探究 小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形她的猜想正确吗？请说明理由 如图 2，小红画了一个 Rt ABC，其中ABC=90 ，AB=2，BC=1，并将 Rt ABC 沿A
9、BC 的平分线 BB方向平移得到 ABC，连结 AA，BC小红要是平移后的四边形 ABCA是“等邻边四边 形”，应平移多少距离（即线段 BB的长）？ （3）应用拓展 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，BAD+BCD=90 ，AC，BD 为对角线，AC=AB试 探究 BC，CD，BD 的数量关系 解答： (1)AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB(任写一个即可)； (2)正确,理由为： 四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形， 四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等， 这个“等邻边四边形”是菱形； ABC=90 ，AB=2，BC=1，
10、AC=5， 将 Rt ABC 平移得到 ABC， BB=AA,ABAB,AB=AB=2,BC=BC=1,AC=AC=5, (I)如图 1,当 AA=AB 时,BB=AA=AB=2； (II)如图 2,当 AA=AC时,BB=AA=AC=5 (III)当 AC=BC=5时， 如图 3,延长 CB交 AB 于点 D,则 CBAB， BB平分ABC， ABB= 2 1 ABC=45 ， BBD=ABB=45 BD=BD， 设 BD=BD=x， 则 CD=x+1,BB=2x， 在 Rt BCD 中,BD2+(CD)2=(BC)2 x2+(x+1)2=( 5 )2， 解得：x1=1,x2=2(不合题意,
11、舍去)， BB=2x=2 ()当 BC=AB=2 时,如图 4,与()方法一同理可得：BD2+(CD)2=(BC)2， 设 BD=BD=x, 则 x2+(x+1)2=22， 解得：x1=1+72,x2=172(不合题意,舍去)， BB=2x= 2 214 - (3)BC,CD,BD 的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图 5， AB=AD， 将 ADC 绕点 A 旋转到 ABF,连接 CF, ABFADC， ABF=ADC，BAF=DAC，AF=AC，FB=CD， BAD=CAF,ACAF=ADAB=1， ACFABD， 2= AB AC BD CF ,CF=2BD， BAD+ADC+B
12、CD+ABC=360 ， ABC+ADC360 (BAD+BCD)=360 90 =270 ， ABC+ABF=270 ， CBF=90 ， BC2+FB2=CF2=(2BD)2=2BD2， BC2+CD2=2BD2. 3定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形 （1）如图 1，四边形 ABCD 中，ABC70 ，BAC40 ，ACDADC80 ，求证：四边形 ABCD 是邻和四边形 （2）如图 2，是由 50 个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知 A，B，C 三点的 位置如图，请在网格图中标出所有的格点 D，使得以 A，B，C，D 为顶点的四边形为邻和四
13、边形 （3）如图 3， ABC 中，ABC90 ，AB4，BC4 3，若存在一点 D，使四边形 ABCD 是邻和四边 形，求邻和四边形 ABCD 的面积 【详解】 解：（1）ACB180 ABCBAC70 ， ACBABC， ABAC ACDADC， ACAD， ABACAD 四边形 ABCD 是邻和四边形 （2）如图，格点 D，D，D即为所求作的点 （3）在 ABC 中，ABC90 ，AB4，BC4 3， AC 22 ABBC 8， 显然 AB，BC，AC 互不相等分两种情况讨论： 当 DADCAC 时，如图所示： S ADC 3 4 AC216 3，S ABC 1 2 AB BC8 3 S
14、四边形ABCDS ADC+S ABC24 3； 当 CDCBBD 时，如图所示： S BDC 3 4 BC212 3，S ADB 1 2 AB（ 1 2 BC）4 3， S四边形ABCDS BDC+S ADB16 3； 当 DADCDB 或 ABADBD 时，邻和四边形 ABCD 不存在 邻和四边形 ABCD 的面积是 24 3或 163 4定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做神奇四边形顺次连接四边形各边中点得到的四边形叫做中 点四边形 （1）判断： 在平行四边形、矩形、菱形中，一定是神奇四边形的是_； 命题：如图 1，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，则四边形ABCD是神奇四边形此命
15、题是 _(填“真”或“假”)命题； 神奇四边形的中点四边形是_； （2）如图 2，分别以Rt ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接 BE，CG，GE 求证：四边形BCGE是神奇四边形； 若2AC ，5AB ，求GE的长； （3）如图 3，四边形ABCD是神奇四边形，若6AB，5CD，AD、BC分别是方程 2 (4)40 xkxk的两根，求k的值 【详解】 （1）平行四边形、矩形、菱形中只有菱形的对角线一定互相垂直， 菱形一定是神奇四边形， 故答案为：菱形 如图，连接 AC、BD， 在 ADC 和 ABC 中， ADAB CDBC ACAC ， ADCABC
16、， DAC=BAC， AD=AB， ACBD， 四边形 ABCD 是神奇四边形， 此命题是真命题， 故答案为：真 如图，四边形 EFGH 是神奇四边形 ABCD 的中点四边形， E、F、G、H 分别为 AD、AB、BC、CD 的中点， EH/AC/FG，EF/BD/GH， 四边形 EFGH 是平行四边形， 四边形 ABCD 是神奇四边形， ACBD， AOB=90 ， EFH=90 ， 四边形 EFGH 是矩形， 故答案为：矩形 （2）如图，连接 BG、CE，BG 交 CE 于N，CE交AB于点M， 正方形ACFG和正方形ABDE ， AGAC，ABAE，90CAGBAE， CAGBACBAE
17、BAC，即GABCAE， 在GAB和CAE中， AGAC GABCAE ABAE ， ()GABCAE SAS， ABGAEC， 90AECAME， 90ABGAME， 90ABGBMN， 即CEBG， 四边形BCGE是神奇四边形； 四边形BCGE是神奇四边形， ECBG， 90ENGENBBNCCNG， 由勾股定理得： 222222 GECBENGNBNCN， 222222 BECGENBNCNGN， 2222 CGBECBGE， 2AC ， 5AB ， 2 1CB ， 正方形ACFG和正方形ABDE ， 2 8CG ， 2 10BE ， 2222 17GECGBECB， 17GE （3）四
18、边形ABCD是神奇四边形，同（2）中的证明方法，可得 2222 ADBCABCD； 6AB， 5CD， 22 41ADBC， 2 ()241ADBCAD BC AD、BC分别是方程 2 (4)40 xkxk的两根， 4ADBCk，4AD BCk； 2 (4)841kk， 解得：5k ； 当5k 时，不合题意，所以舍去， 5k 5定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形” （1）如图，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135AEB 180，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”； （2）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，ADBC，连接BD，点E，F，
19、G分别是 AD，BC， BD 的中点，连接 EG，FG，EF试判定EFG的形状，并证明； （3）如图，四边形ABCD是“等垂四边形”，4AD，6BC ，试求边 AB 长的最小值 【详解】 （1）如图，延长,BE DG交于点H， 四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形 ABAD，AEAG，90BADEAG BAEDAG ()ABEADG SAS BEDG，ABEADG ABD ADB90 90ABEEBDADBDBEADBADG 即EBDBDG90，BHD90 BEDG 又BE DG， 四边形BEGD是等垂四边形 （2）EFG是等腰直角三角形 理由如下：如图，延长,BA CD交于点H， 四边形
20、ABCD是等垂四边形，ADBC ， ABCD，ABCD HBCHCB90 点 E,F,G 分别是 AD,BC,BD 的中点 1 EGAB 2 ， 1 GFCD 2 ，/EGAB，/GFDC， BFGC，EGDHBD，EGGF EGFEGDFGDABDDBCGFB?ABDDBCCHBCHCB90= ? o ， EFG是等腰直角三角形； （3）如图，延长,BA CD交于点H分别取,AD BC的中点,E F，连接,HE EF HF， 则 11 EF HFHEBCAD321 22 ， 由（2）可知EFG是等腰直角三角形， 1 2 GEGFAB= 22 22 112 222 EFGEGFABABAB 骣
21、骣 鼢珑 =+=+=鼢 珑 鼢珑 桫桫 AB 2EF2 AB最小值为 2 6定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形 （1）概念理解： 在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有_ ； （2）性质探究： 如图 1，四边形 ABCD 是奇异四边形，AB=AD，求证：CA 平分BCD； 如图 2，四边形 ABCD 是奇异四边形，AB=AD，BCD=2，试说明：cos= 2 BCCD AC ； （3）性质应用： 如图 3，四边形 ABCD 是奇异四边形，四条边中仅有 BC=CD，且四边形 ABCD 的周长为 6+2 10， BAC=45 ，AC=3 2，求奇异四边形 A
22、BCD 的面积 【详解】 （1）根据奇异四边形的定义可知：正方形是奇异四边形，故答案为正方形 （2）如图 1，过点 A 作 AMCB 于 M，ANCD 于 N ABC+D=180 ，ABM+ABC=180 ， ABM=D， AMB=AND=90 ，AB=AD， AMBAND， AM=AN，AMCB 于 M，ANCD 于 N，CA 平分BCD 由可知：ACD= 1 2 BCD=， CN=CDDN=CDBM=CD（CMBC）=CD（CNBC）， CN= 2 CDBC ， 在 Rt ACN 中，cos= CN AC = 2 BCCD AC （3）如图 3，连接 BD 由（2）可知：cos45 = 2
23、 ADAB AC ，AD+AB=2AC 2 2 =6， 四边形 ABCD 的周长为 6+2 10，BC=CD=10， BAC=DAC=45 ， DAB=90 ， 四边形是奇异四边形，BCD=90 ， AD+AB=6，（AD+AB）2=AD2+2ADAB+AB2=36， AD2+AB2=BD2=BC2+CD2=20， ADAB=8，S四边形ABCD=S ADB+S BDC= 1 2 ADAB+ 1 2 CDBC=9 7定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形 1概念理解： 在互补四边形ABCD中，A与 C是一组对角，若:2:3:4,BCD则A _ o 如图 1，在ABC中，点 ,D E分别在边
24、,AB BC上，且,BE BCAB BD 求证：四边形ADEC是互 补四边形 2探究发现：如图 2，在等腰ABE中， ,AEBE 点,C D分别在边,BE AE上， ,ADBC四边形 CEDH是互补四边形，求证： 1 2 ABDBACE 3推广运用：如图 3，在ABE中，点 ,C D分别在边,BE AE上，,ADBC 四边形CEDH是互补四 边形，若 20 60 ,6, 3 EABAE，求 DH CE 的值 【详解】 （1）解：四边形 ABCD 是互补四边形， B+D=180 ， B：C：D=2：3：4， B=60 ，C=90 ， 又A+B+C+D=360 ， A=180 -C=90 ； 故答
25、案为：90； 证明： ,BE BCAB BD = BEBD ABBC 又,BB ,BDEBCA ,BEDA 180 ,ACEDBEDCED 四边形ADEC是互补四边形 2证明： ,AEBE ADBC EDEC ,EE ,EACEBD .EBDEAC ,AEBE ,EABEBA ABDBAC 四边形CEDH是互补四边形，180 ,EAHB ,ABDBACE 1 2 ABDBACE 3如图，作BFHC于点 ,F AGHD 交HD的延长线于点,G 则AGDBFC 四边形CEDH是互补四边形， 180EDHECH 180ECHBCF .BCFEDHADG ,ADBC ,ADGBCF ,AGBF ,Rt
26、 ABGRt BAF 1 30 2 HABHBAE 在RtAGH中，60 ,AHG 设,GHx 则3 ,AGx 2 ,AHx 2 36,ABx 3,x 2 3AH ,60DAHCAEDHAE ， ,ADHACE 3 3 10 DHAH CEAE 8如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. (1)概念理解：如图 2，在四边形ABCD中，,ABAD CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说 明理由； (2)性质探究：如图 1，四边形ABCD的对角线 ,AC BD交于点O，AC BD. 试证明： 2222 ABCDADBC； (3)解决问题：如图 3，分别以RtACB的直角边AC和斜边
27、AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE，连结 ,CE BG GE.已知30 ,1CABCB ，求GE的长. 【详解】 解：（1）是 理由：ADAB， A在BD的垂直平分线上. CDCB， C在BD的垂直平分线上. AC垂直平分BD. 四边形ABCD为垂美四边形. （2）如图 2，连接 AC 和 BD， ACBD， 222 AHAOBO， 222 DCCOCO， 222 ADAODO， 222 BCBOCO . 222222 ABDCAOBOCODO . 222222 BCADBOCOAODO . 2222 ABDCBCAD； （3）连接 CG、BE， CAG=BAE=90 ， CAG+
28、BAC=BAE+BAC，即GAB=CAE， 在 GAB 和 CAE 中， AGAC GABCAE ABAE ， GABCAE（SAS）， ABG=AEC，又AEC+AME=90 ， ABG+AME=90 ，即 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， 30 ,1CABCB， AC= 3，AB=2，CG=6，BE=2 2， GE2=CG2+BE2-CB2=13， GE= 13. 9 定义： 我们知道， 四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形， 如果这两个三角形相似(不全等)， 我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线” (1)如图
29、1， 已知四边形ABCD在正方形网格中， 顶点都在格点上， 判断： 四边形ABCD_(填“是”或“不 是”)以AC为“相似对角线”的四边形； (2)如图2，在四边形ABCD中， 80ABC，140ADC，对角线BD平分ABC求证：BD是四 边形ABCD的“相似对角线”； (3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”， 30EFHHFG 连接EG，若EFG的面 积为4 3，求FH的长 【详解】 （1）解：根据勾股定理得， AB= 22 125 ，BC= 22 242 5 ， 又 AC=5，AB2+BC2=AC2，ABC=90 =ACD， 5151 = 21022 5 ABAC BCCD
30、 ， ABAC BCCD ， ABCACD， 四边形 ABCD 是以 AC 为“相似对角线”的四边形 故答案为：是； （2）证明：如图 2 中， ABC=80 ，BD 平分ABC， ABD=DBC=40 ， A+ADB=140 ADC=140 ， BDC+ADB=140 ， A=BDC， ABDDBC， BD 是四边形 ABCD 的“相似对角线”； （3）解：如图 3， FH 是四边形 EFGH 的“相似对角线”， EFH 与 HFG 相似， EFH=HFG， FEHFHG， FEFH FHFG ， FH2=FEFG， 过点 E 作 EQFG 于 Q， EFHHFG=30 ，EFG=60 ，
31、EQ=FEsin60= 3 2 FE， 1 4 3 2 EFG SFGEQ， 13 4 3 22 FGFE ， FGFE=16， FH2=FEFG=16， FH=4 10定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形” （1）如图 1，在4 4的正方形网格中，有一个网格Rt ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是 被AC分割成的“友好四边形”的是 ； （2）如图 2，将ABC绕点C逆时针旋转得到A B C，点B落在边AC，过点A作/ ADA B交CA 的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”； （3）如图 3，在ABC中，ABBC，
32、60ABC，ABC的面积为6 3，点D是ABC的平分线 上一点，连接AD，CD若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD的长 【详解】 （1）由题意得：2152 55ABBCACAECE，, 5 5 ABBCAC EAACEC ， ABCEAC， 被AC分割成的“友好四边形”的是：四边形ABCE ， 故答案是：四边形ABCE； （2）根据旋转的性质得，A CBACB，CA BCAB， / AD A B， CA BD， CABD， ABCDAC， 四边形ABCD是“友好四边形”； （3）过点A作AMBC于M， 在Rt ABM中， 3 sin60 2 AMABAB ， ABC的面积为6 3， 13 6 3 22 BCAB ， 24BCAB， 四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB BC， ABDDBC， ABBD BDBC ， 2 24BDABBC ， 2 6BD
