1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（六六） 函数应用题函数应用题 【中考真题】【中考真题】 1.（2017 浙江宁波 23）2017 年 5 月 14 日至 15 日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行本届论坛期 间，中国同 30 多个国家签署经贸合作协议某厂准备生产甲、乙两种商品共 8 万件销往“一带一路”沿线国 家和地区已知 2 件甲种商品与 3 件乙种商品的销售收入相同，3 件甲种商品比 2 件乙种商品的销售收入多 1500 元 (1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？ (2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于 5400 万元，则至少销售甲种商品多少万件？
2、【答案】 （1）解：设甲种商品的销售单价是 元，乙种商品的销售单击是 y 元. 根据题意，得 解得： 答：甲种商品的销售单价是 900 元，乙种商品的销售单价是 600 元. （2）解：设销售甲产品 a 万件，则销售乙产品（8-a）万件. 根据题意，得 900a+600(8-a)5400， 解得：a2. 答：至少销售甲产品 2 万件 2.（2019 浙江宁波 24）某景区内的公路如图 1 所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往 草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计） ，第一班车上午 8 点出发，以后每隔 10 分钟有一班车从入口 处发车，小聪周末到该景区游玩，上午 7:40 到
3、达入口，因还没到发车时间，于是从景区入口处出发，沿该 公路步行 25 分钟后到达塔林，离入口的路程 y（米）与时间 x（分钟）的函数关系式如图 2 所示. （1）求第一班车离入口处的路程 y（米）与时间 x（分钟）的函数表达式； （2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间； （3）小聪在塔林游玩 40 分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他做这班车到草 甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不 变） 3.（2019 浙江宁波 22）A，B 两地相距 200 千米早上 8：00 货车甲从 A 地出发将一批物资运往 B 地，行
4、 驶一段路程后出现故障，即刻停车与 B 地联系B 地收到消息后立即派货车乙从 B 地出发去接运甲车上 的物资货车乙遇到甲后，用了 18 分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往 B 地两辆货车离 开各自出发地的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数关系如图所示（通话等其他时间忽略不计） （1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程 y 关于 x 的函数表达式 （2）因实际需要，要求货车乙到达 B 地的时间比货车甲按原来的速度正常到达 B 地的时间最多晚 1 个 小时，问货车乙返回 B 地的速度至少为每小时多少千米？ 【分析】（1）由待定系数法可求出函数解析式； （2）根据图中的信息求出
5、乙返回 B 地所需的时间，由题意可列出不等式 1.6v120，解不等式即可得出 答案 解：（1）设函数表达式为 ykx+b（k0）， 把（1.6，0），（2.6，80）代入 ykx+b，得， 解得：， y 关于 x 的函数表达式为 y80 x128（1.6x3.1）； （2）当 y20080120 时， 12080 x128， 解得 x3.1， 货车甲正常到达 B 地的时间为 200 504（小时）， 18 600.3（小时），4+15（小时），53.10.31.6（小时）， 设货车乙返回 B 地的车速为 v 千米/小时， 1.6v120， 解得 v75 答：货车乙返回 B 地的车速至少为 7
6、5 千米/小时 【解题指导解题指导】 遇到二次函数应用题不要慌！ ！ ！题目都仔细，没理解就半句半句理解，特别是题中出现的字母 x,y,w 等各表示什么要圈出来， 有图时要先看横坐标、 总坐标各表示什么含义。 写函数关系时， 先考虑公式，用字母代入，再带式子，不容易出错。此类题一定要多练，多得分呀！ ！ ！ （操心 的邱老师如是说到） 【牛刀小试牛刀小试】 1某公司主要生产和销售某公司主要生产和销售 A 产品，每件产品的成本为产品，每件产品的成本为 200 元，销售单价为元，销售单价为 260 元，顾客一次购买元，顾客一次购买 A 产品产品 不超过不超过 10 件，每件售价件，每件售价 260
7、 为元；若一次购买为元；若一次购买 A 型产品多于型产品多于 10 件，则每多一件，所购买的全部产品的销件，则每多一件，所购买的全部产品的销 售单价均降低售单价均降低 2 元，但销售单价均不低于元，但销售单价均不低于 224 元元 （1）顾客一次购买）顾客一次购买 A 产品多少件时，销售单价恰好为产品多少件时，销售单价恰好为 224 元？元？ （2）某次交易中，小张一次性购买）某次交易中，小张一次性购买 A 产品产品 x 件，公司盈利件，公司盈利 792 元，求本次交易中，小张购买产品的件数元，求本次交易中，小张购买产品的件数 （3）进入冬季，公司举行）进入冬季，公司举行“情系山区，共送温暖情
8、系山区，共送温暖”的公益促销活动，活动规定：在原定价规则上每件均优惠的公益促销活动，活动规定：在原定价规则上每件均优惠 5 元，若一次购买元，若一次购买 A 型产品不超过型产品不超过 10 件，则每售出一件产品公司捐款件，则每售出一件产品公司捐款 5 元；若一次购买元；若一次购买 A 型产品超过型产品超过 10 件，则每售出一件产品公司捐款件，则每售出一件产品公司捐款 a 元，此外再一次性捐款元，此外再一次性捐款 100 元，受活动影响，每位顾客购买件数元，受活动影响，每位顾客购买件数 x 均满均满 足足1017x，为达到当顾客一次，为达到当顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润
9、就越大的效果，求购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润就越大的效果，求 a 的取值范围的取值范围 【详解】 （1）设商家一次购买该产品 x 件时，销售单价恰好为 224 元 2602(10)224x， 解得：28x， 故顾客一次购买 A 产品 28 件时，销售单价恰好为 224 元 （2）792(260200) 10， 10 x ， 根据题意得：2602(10)200792xx， 解得： 1 22x ， 2 18x ， 本次交易中小张购买产品的件数是 22 件或 18 件 （3）设公司获利为 y，则2602(10)5200100yxax ， 即 2 2(75)100yxa x ，对称轴
10、7575 44 aa x ， 顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大， 75 17 4 a ，解得：7a， a 的取值范围为：07a 22020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按 30 天计）前 天计）前 5 天的天的 某型号口罩销售价格某型号口罩销售价格p（元（元/只）和销量只）和销量q（只）与第（只）与第x天的关系如下表：天的关系如下表： 第第x天天 1 2 3 4 5 销售价格销售价格p（元（元/只）只） 2 3 4 5 6 销量销量q（只）（只） 70 75 80
11、85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元元/只，该药店从第只，该药店从第 6 天起将天起将 该型号口罩的价格调整为该型号口罩的价格调整为 1 元元/只据统计，该药店从第只据统计，该药店从第 6 天起销量天起销量q（只）与第（只）与第x天的关系为天的关系为 2 280200qxx （630 x，且，且x为整数） ，已知该型号口罩的进货价格为为整数） ，已知该型号口罩的进货价格为 0.5 元元/只只 （1）直接写出直接写出 该药店该月前该药店该月前 5 天的销售价格天的销售价格p与与x和
12、销量和销量q与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外 的非法所得部分处以的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元，则元，则m的取值范围为的取值范围为_ 【详解】 （1）观察表格发现 p 是
13、 x 的一次函数，q 是 x 的一次函数， 设 p=k1x+b1， 将 x=1，p=2；x=2，p=3 分别代入得： 11 11 2 32 kb kb ， 解得： 1 1 1 1 k b ， 所以1px， 经验证 p=x+1 符合题意， 所以1px，15x 且 x 为整数； 设 q=k2x+b2， 将 x=1，q=70；x=2，q=75 分别代入得： 22 22 70 752 kb kb ， 解得： 2 2 5 65 k b ， 所以565qx， 经验证565qx符合题意， 所以565qx，15x 且 x 为整数； （2）当15x 且 x 为整数时， (10.5)(565)Wxx 2 1356
14、5 5 22 xx； 当630 x且 x 为整数时， 2 (10.5)280200Wxx 2 40100 xx ； 即有 2 2 13565 5,15 22 40100,630 xxxx W xxxx 且 为整数 且 为整数 剟 剟 ； 当15x 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的增大而增大， 故当5x 时， 495W 最大 （元） 当630 x且 x 为整数时， 22 40100(20)300Wxxx 故当20 x=时， 300W 最大 （元） ； 由495300，可知第 5 天时利润最大 （3）根据题意， 前 5 天的销售数量为：7075808590400q （只） ， 前 5 天多
15、赚的利润为： (2 703 754 805 856 90) 1 40016504001250W （元） ， 12502000m， 8 5 m； m的取值范围为 8 5 m 3在篮球比赛中，东东投出的球在点在篮球比赛中，东东投出的球在点 A 处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图 1 所示建立所示建立 直角坐标系） ，抛物线顶点为点直角坐标系） ，抛物线顶点为点 B （1）求该抛物线的函数表达式）求该抛物线的函数表达式 （2）当球运动到点）当球运动到点 C 时被东东抢到，时被东东抢到，CDx 轴于点轴于点 D，CD2.6m 求求 OD 的
16、长的长 东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 D 处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华， 目标为华华的接球点目标为华华的接球点 E（4，1.3） 东东起跳后所持球离地面高度） 东东起跳后所持球离地面高度 h1（m） （传球前）与东东起跳后时间） （传球前）与东东起跳后时间 t（s） 满足函数关系式满足函数关系式 h12（t0.5）2+2.7（0t1） ；小戴在点） ；小戴在点 F（1.5，0）处拦截，他比东东晚）处拦截，他比东东晚 0.3s 垂直起垂直起 跳，其拦截高度跳，其拦截高度 h2（m
17、）与东东起跳后时间）与东东起跳后时间 t（s）的函数关系如图）的函数关系如图 2 所示（其中两条抛物线的形状相同） 东所示（其中两条抛物线的形状相同） 东 东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说 明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计） 明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计） 【详解】 解： （1）设 ya（x0.4）2+3.32（a0） ， 把 x0，y3 代入，解得 a2， 抛物线的函数表达式为 y2（x0.4）2+3.32 （2）把 y2
18、.6 代入 y2（x0.4）2+3.32， 化简得（x0.4）20.36， 解得 x10.2（舍去） ，x21， OD1m 东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点 E 由图 1 可得，当 0t0.3 时，h22.2 当 0.3t1.3 时，h22（t0.8）2+2.7 当 h1h20 时，t0.65， 东东在点 D 跳起传球与小戴在点 F处拦截的示意图如图 2， 设 MDh1，NFh2， 当点 M，N，E 三点共线时，过点 E 作 EGMD 于点 G，交 NF 于点 H，过点 N 作 NPMD 于点 P， MDNF，PNEG， MHEN，MNPNEH， MPNNEH， MPNH PNHE ， P
19、N0.5，HE2.5， NH5MP （）当 0t0.3 时， MP2（t0.5）2+2.72.22（t0.5）2+0.5， NH2.21.30.9 52（t0.5）2+0.50.9， 整理得（t0.5）20.16， 解得 1 9 10 t （舍去） ， 1 1 10 t ， 当 0t0.3 时，MP 随 t 的增大而增大， 13 1010 t （）当 0.3t0.65 时，MPMDNF2（t0.5）2+2.72（t0.8）2+2.71.2t+0.78， NHNFHF2（t0.8）2+2.71.32（t0.8）2+1.4， 2（t0.8）2+1.45（1.2t+0.78） ， 整理得 t24.6
20、t+1.890， 解得， 1 232 85 10 t （舍去） ， 2 232 85 10 t ， 当 0.3t0.65 时，MP 随 t 的增大而减小， 3232 85 1010 t （）当 0.65t1 时，h1h2，不可能 给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为 1232 85 1010 t 4如图如图 1，排球场长为，排球场长为 18m，宽为，宽为 9m，网高为，网高为 2.24m队员站在底线 队员站在底线 O 点处发球，球从点点处发球，球从点 O 的正上方的正上方 1.9m 的的 C 点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点
21、 A 时，高度为时，高度为 2.88m即即 BA2.88m这时这时 水平距离水平距离 OB7m，以直线，以直线 OB 为为 x 轴，直线轴，直线 OC 为为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图轴，建立平面直角坐标系，如图 2 （1）若球向正前方运动（即）若球向正前方运动（即 x 轴垂直于底线） ，求球运动的高度轴垂直于底线） ，求球运动的高度 y（m）与水平距离）与水平距离 x（m）之间的函数关）之间的函数关 系式（不必写出系式（不必写出 x 取值范围） 并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由；取值范围） 并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由； （2）若球过网后的落点是对方场地）若球过
22、网后的落点是对方场地号位内的点号位内的点 P（如图（如图 1，点，点 P 距底线距底线 1m，边线，边线 0.5m） ，问发球点） ，问发球点 O 在底线上的哪个位置？（参考数据：在底线上的哪个位置？（参考数据： 2取 取 1.4） 【详解】 （1）设抛物线的表达式为：ya（x7）2+2.88， 将 x0，y1.9 代入上式并解得：a 1 50 ， 故抛物线的表达式为：y 1 50 （x7）2+2.88； 当 x9 时，y 1 50 （x7）2+2.882.82.24， 当 x18 时，y 1 50 （x7）2+2.880.640， 故这次发球过网，但是出界了； （2）如图，分别过点作底线、边
23、线的平行线 PQ、OQ 交于点 Q， 在 Rt OPQ 中，OQ18117， 当 y0 时，y 1 50 （x7）2+2.880，解得：x19 或5（舍去5） ， OP19，而 OQ17， 故 PQ6 28.4， 98.40.50.1， 发球点 O 在底线上且距右边线 0.1 米处. 5用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 1） ） 科学原理：如图科学原理：如图 2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H（单位：（单位：m） ，如果在离水面竖直距离为） ，如果在离水面竖直距离为 h （单校：（单
24、校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单（单 位：位：cm）与）与 h 的关系为的关系为 s2=4h（Hh） ） 应用思考：现用高度为应用思考：现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满 水，在离水面竖直距高水，在离水面竖直距高 h cm 处处开一个小孔开一个小孔 （1）写出）写出 s2与与 h 的关系式；并求出当的关系式；并求出当 h 为何值时，射程为何值
25、时，射程 s 有最大值，最大射程是多少有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a，b，要使两孔射出水的射程相同，求，要使两孔射出水的射程相同，求 a， b 之间的关系式；之间的关系式； （3） 如果想通过垫高塑料水瓶， 使射出水的最大射程增加） 如果想通过垫高塑料水瓶， 使射出水的最大射程增加 16cm， 求整高的高度及小孔离水面的竖直距离， 求整高的高度及小孔离水面的竖直距离 【详解】 解：(1)s2=4h(H-h)， 当 H=20 时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， 当
26、h=10 时，s2有最大值 400， 当 h=10 时，s 有最大值 20cm 当 h 为何值时，射程 s 有最大值，最大射程是 20cm； 故答案为：最大射程是 20cm. (2) s2=4h(20-h)， 设存在 a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， 20a-a2=20b-b2， a2-b2=20a-20b， (a+b)(a-b)=20(a-b)， (a-b)(a+b-20)=0， a-b=0 或 a+b-20=0， a=b 或 a+b=20. 故答案为：a=b 或 a+b=20. (3)设垫高的高度为 m，则 222 20 4 (20)4()(20
27、) 2 m shmhhm 当 20 2 m h时， max 20=20 16sm 16m时，此时 20 18 2 m h 垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm 故答案为：垫高的高度为 16cm，小孔离水面的竖直距离为 18cm. 6 如图如图 1，已知水龙头喷水的初始速度，已知水龙头喷水的初始速度 v0可以分解为横向初始速度 可以分解为横向初始速度 vx和纵向初始速度和纵向初始速度 vy， 是水龙头的是水龙头的 仰角，且仰角，且 v02=vx2+vy2图图 2 是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点 A
28、在山坡的坡顶在山坡的坡顶 上（喷射点离地面高度忽略不计） ，坡顶的铅直高度上（喷射点离地面高度忽略不计） ，坡顶的铅直高度 OA 为为 15 米，山坡的坡比为米，山坡的坡比为 1 3 离开水龙头后的水（看离开水龙头后的水（看 成点）获得初始速度成点）获得初始速度 v0米米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点秒后的运动路径可以看作是抛物线，点 M 是运动过程中的某一位置忽略空气是运动过程中的某一位置忽略空气 阻力，实验表明：阻力，实验表明：M 与与 A 的高度之差的高度之差 d（米）与喷出时间（米）与喷出时间 t（秒）的关系为（秒）的关系为 d=vyt-5t2；M 与与 A 的水平距离的水平距离
29、 为为 vxt 米已知该水流的初始速度米已知该水流的初始速度 v0为为 15 米米/秒，水龙头的仰角秒，水龙头的仰角 为为 53 （1）求水流的横向初始）求水流的横向初始速度速度 vx和纵向初始速度和纵向初始速度 vy； （2）用含）用含 t 的代数式表示点的代数式表示点 M 的横坐标的横坐标 x 和纵坐标和纵坐标 y，并求，并求 y 与与 x 的关系式（不写的关系式（不写 x 的取值范围） ；的取值范围） ； （3） 水流在山坡上的落点） 水流在山坡上的落点 C 离喷射点离喷射点 A 的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚 B 处的小树， 在
30、处的小树， 在 相同仰角下，则需要把喷射点相同仰角下，则需要把喷射点 A 沿坡面沿坡面 AB 方向移动多少米？（参考数据：方向移动多少米？（参考数据：sin53 4 5 ，cos53 3 5 ，tan53 4 3 ） 【详解】 解： （1）v0为 15 米/秒，水龙头的仰角 为 53， cos= 0 x v v ，sin= 0 y v v ， vx=15cos53=15 3 5 =9，vy=15sin53=15 4 5 =12； 答：水流的横向初始速度 vx是 9 米/秒，纵向初始速度 vy是 12 米/秒； （2）x=vxt=9t， t= 9 x ， 又 M 与 A 的高度之差 d（米）与喷
31、出时间 t（秒）的关系为 d=vyt-5t2 y=d+OA=12t-5t2+15=-5 2 ( ) 9 x +12 9 x +15=- 2 5 81 x+ 4 3 x+15； y 与 x 的关系式为：y=- 2 5 81 x+ 4 3 x+15 （3）坡顶的铅直高度 OA 为 15 米，山坡的坡比为 1 3 ， OB=45 米，点 A（0，15）点 B（45，0） 直线 AB 的解析式为：y= 1 3 x+15，将其与抛物线解析式联立得： 2 54 15 813 1 15 3 yxx yx ， 解得 0 15 x y （舍）或 27 6 x y ， 水流在山坡上的落点 C 坐标为（27，6） ，喷射点 A 沿坡面 AB 方向移动的距离等于 BC 的距离， 而 BC= 22 (4527)6 =6 10米， 答： 水流在山坡上的落点 C 离喷射点 A 的水平距离是 27 米， 需要把喷射点 A 沿坡面 AB 方向移动6 10米
