1、浙江省宁波市中考数学高频题型浙江省宁波市中考数学高频题型（三三） 与新定义结合的三角形综合问题与新定义结合的三角形综合问题 【中考真题】【中考真题】 1.（2018 浙江宁波 25）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三 角形 已知 是比例三角形， ， ，请直接写出所有满足条件的 AC 的长； 如图 1，在四边形 ABCD 中， ，对角线 BD 平分 ， 求证： 是比例三角 形 如图 2，在 的条件下，当 时，求 的值 【答案】解： 是比例三角形，且 、 ， 当 时，得： ，解得： ； 当 时，得： ，解得： ； 当 时，得： ，解得： 负值舍去 ； 所以当 或
2、 或 时， 是比例三角形； ， ， 又 ， ， ，即 ， ， 3 如图，过点 A 作 于点 H， ， 1 2， ， 90 ， 90 ， 90 ， 又 ， ， ，即 ， 1 2 2， 又 2， 1 2 2 2， ， 平分 ， ， ， ， ， 是比例三角形； 2.（2020 浙江宁波 24）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角 称为该三角形第三个内角的遥望角 （1）如图 1，E 是 ABC 中A 的遥望角，若A，请用含 的代数式表示E （2）如图 2，四边形 ABCD 内接于O，四边形 ABCD 的外角平分线 DF 交O 于点 F，连 结 BF 并延长交 CD
3、的延长线于点 E求证：BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 3，在（2）的条件下，连结 AE，AF，若 AC 是O 的直径 求AED 的度数； 若 AB8，CD5，求 DEF 的面积 解：（1）BE 平分ABC，CE 平分ACD， EECDEBD（ACDABC）， （2）如图 1，延长 BC 到点 T， 四边形 FBCD 内接于O， FDC+FBC180 ， 又FDE+FDC180 ， FDEFBC， DF 平分ADE， ADFFDE， ADFABF， ABFFBC， BE 是ABC 的平分线， ， ACDBFD， BFD+BCD180 ，DCT+BCD180 ， DCTBFD，
4、 ACDDCT， CE 是 ABC 的外角平分线， BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角 （3）如图 2，连接 CF， BEC 是 ABC 中BAC 的遥望角， BAC2BEC， BFCBAC， BFC2BEC， BFCBEC+FCE， BECFCE， FCEFAD， BECFAD， 又FDEFDA，FDFD， FDEFDA（AAS）， DEDA， AEDDAE， AC 是O 的直径， ADC90 ， AED+DAE90 ， AEDDAE45 ， 如图 3，过点 A 作 AGBE 于点 G，过点 F 作 FMCE 于点 M， AC 是O 的直径， ABC90 ， BE 平分ABC， FACE
5、BCABC45 ， AED45 ， AEDFAC， FEDFAD， AEDFEDFACFAD， AEGCAD， EGAADC90 ， EGAADC， ， 在 Rt ABG 中，AG， 在 Rt ADE 中，AEAD， ， 在 Rt ADC 中，AD2+DC2AC2， 设 AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2， x ， EDAD ， CECD+DE ， BECFCE， FCFE， FMCE， EMCE ， DMDEEM， FDM45 ， FMDM ， S DEFDEFM 【解题指导解题指导】与几何结合的新定义问题，往往先给出一个新定义，第一小问结合这个新定义解决比较基 础的问题，第
6、二小问难度上升，第三小问最难，读题时会发现题目本身并未涉及到新定义，此时一定要多 审题，新定义可以作为条件，也可以作为解决问题的一种工具。 【牛刀小试牛刀小试】 1.某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互 相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图 1、图 2、图 3 中，AF、BE 是ABC 的中线，AFBE 于点 P，像ABC 这样的三角形均称为“中垂三角形” 【特例探究】 （1）如图 1，当PAB45，AB6时，AC ，BC ； 如图 2，当 sinPAB，AB4 时，AC ，BC ； 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想
7、AB2、BC2、AC2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你的结论 【拓展证明】 （3）如图 4，在ABC 中，AB4，BC2，D、E、F 分别是边 AB、AC、BC 的中点，连结 DE 并延长至 G，使得 GEDE，连结 BG，当 BGAC 于点 M 时，求 GF 的长 解答： (1)如图 1，AFBE， APB=APE=BPF=90 ， PAB=45 ,AB=6 2， AP=PB=6， 如图 1，连接 EF， AF，BE 是 ABC 的中线， EF 是 ABC 的中位线， EFAB.且 EF= 2 1 AB， PA PF PB PE = 2 1 ， PE=PF=3， 由勾股定
8、理得：AE=BF= 53=3+6=+ 2222 PEAP ， AC=BC=2AE=6 5， 如图 2,sinPAB= 2 1 ，AB=4，AFBE， PAB=30 ， BP= 2 1 AB=2,AP=2 3， AF、BE 是 ABC 的中线， PE= 2 1 PB=1,PF= 2 1 AP= 3， 由勾股定理得：AE= 13=32+1=+ 2222 ）（APPE ， BF= 7=2+3=+ 2222 ）（PBPF ， AC=2AE= 132 ,BC=2BF= 72 ， 故答案为：5656,，132，72； (2)猜想：AB2、BC2、AC2三者之间的关系是：AC2+BC2=5AB2， 证明：如
9、图 3，设 PF=m，PE=n 则 AP=2m，PB=2n， 在 Rt APB 中,(2m)2+(2n)2=AB2， 在 Rt APE 中,(2m)2+n2=(AC2)2 ， 在 Rt BPF 中,m2+(2n)2=(BC2)2 ， 由得：m2+n2= 4 2 AB ,由+得：5( m2+n2)= 4 + 22 BCAC 4， AC2+BC2=5AB2； (3)如图 4,连接 CG,EF,过点 F 作 FNBG 交 CG 于点 N，FG 与 AC 交于点 Q， FNBG，BGAC， FNAC， F 是 BC 的中点， N 是 CG 的中点， D、E 分别是 AB、AC 的中点， DE=FC,D
10、EFC， ED=EG， EG=FC,EGFC， 四边形 EFCG 是平行四边形， Q 是 FG 的中点， FCG 是中垂三角形， AB= 34 ,BC= 52 ， CG=EF=BD= 32 ,FC= 5， 由(2)中结论可知：5FC2=CG2+FG2， 即 5 5=( 32 )2+FG2， GF= 13. 2如图 1 （1）已知ABC 中 ABAC，BAC36，BD 是角平分线，求证：点 D 是线段 AC 的黄金分 割点； （2）如图 2，正五边形的边长为 2，连结对角线 AD、BE、CE，线段 AD 分别与 BE 和 CE 相交于点 M、 N，求 MN 的长； （3）设O 的半径为 r，直接
11、写出它的内接正十边形的边长 （用 r 的代数式表示） 解答： (1)证明：如图 1, 在 ABC 中 AB=AC,BAC=36 ， ABC=C= 2 1 (180 36 )=72 ， BD 是角平分线， CBD=ABD= 2 1 ABC=36 ， AD=BD=BC， 在 BCD 中,BDC=180 CCBD=72 ， BD=BC， A=CBD=36 ，C=C， BCDACB， AC BC BC CD =， AD=BD=BC， AC AD AD CD =， 点 D 是线段 AC 的黄金分割点； (2)在正五边形 ABCDE 中， AED= 5 25180）（ =108 ，AE=DE， EAD=E
12、DA= 2 1 (180 108 )=36 ， 同理可求,AEB=ABE=36 ， EAM=EBA，AEM=BEA， AEMBEA， BE AE = AE EM ， AMB=MAE+AEM=72 ,MAB=BAEMAE=72 ， BAM=BMA， BM=BA=AE=2， BE BM = BM EM ， 2+ 2 = 2EM EM ， EM= 51(取正值)， EMEB= 2 53 = 2+15 15 ， BAM+ABC=72 +108 =180 ， ADBC， EMNEBC， 2 53 = BC MN EB EM ， BC=2， MN=3 5； (3)正十边形的中心角为： 10 360 =36
13、 , 如图 1，可设BAC 是正十边形的一个中心角，则 AB，AC 为正十边形外接圆的半径 r，BD 是ABC 的平 分线， 由(1)知 AC AD AD CD =， r AD AD ADr = ， AD= r 2 15 ，BC=BD= r 2 15 ， 故答案为： r 2 15 . 3阅读下面的情景对话，然后解答问题： 老师：我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形. 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？ 问题（1）：根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正 确？_填
14、“是”或“否”） 问题（2）：已知中，两边长分别是 5，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是 _； 问题（3）：如图，以为斜边分别在的两侧作直角三角形，且，若四边形内存 在点，使得，.试说明：是奇异三角形. 解答： (1)设等边三角形的一边为 a,则 a2+a2=2a2， 符合奇异三角形”的定义。 Rt ABC 5 2 ABABADBDADBC EAEADCBCEACE “等边三角形一定是奇异三角形”是真命题； 故答案为：是。 (2)当 25 为斜边时,另一条直角边= 5=525 22 ）（ ( 25 )2+(5)2252 或(5)2+522( 25 )2， Rt ABC 不是奇异三角形。
15、当 25 ,5 是直角边时,斜边= 35=25+5 22 ）（ ， ( 35 )2+(5)2=100 2 ( 25 )2=100 ( 35 )2+(5)2=2 ( 25 )2 Rt ABC 是奇异三角形。 故答案为35. (3)证明：ACB=ADB=90 ， AC2+BC2=AB2,AD2+BD2=AB2， AD=BD， 2AD2=AB2， AE=AD，CB=CE， AC2+CE2=2AE2， ACE 是奇异三角形。 4（新知学习）（新知学习）如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么我们就把这样的三角形叫做“智 慧三角形” （简单运用）（简单运用）（1）下列三个三角形，是智慧三角形的
16、是_（填序号）； （2） 如图， 已知等边三角形， 请用刻度尺在该三角形边上找出所有满足条件的点， 使为“智 慧三角形”，并写出作法； ABCDABD （深入探究）（深入探究）（3）如图，在正方形中，点是的中点，是上一点，且， 试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由； （灵活应用）（4）如图，等边三角形边长若动点以的速度从点出发，沿 的边运动若另一动点以的速度从点出发，沿边运动，两点同 时出发，当点首次回到点时，两点同时停止运动设运动时间为，那么 为_时， 为“智慧三角形” 解答： (1)因为直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，所以是“智慧三角形”。 故答案为 (2)用刻度尺分别量取 AC
17、、BC 的中点 D. D. 点 D. D即为所求。 (3)结论：AEF 是“智慧三角形“。 理由如下：如图，设正方形的边长为 4a E 是 BC 的中点 BE=EC=2a， CF= 4 1 CD ABCDEBCFCD 1 4 CFCD AEF ABC5cmP1cm sAABC ABBCCA Q2cm s BBCCAAB Q B stt sPBQ FC=a，DF=4aa=3a， 在 RtABE 中,AE2=(4a) 2+(2a)2=20a2 在 RtECF 中,EF 2=(2a)2+a2=5a2 在 RtADF 中,AF 2=(4a)2+(3a)2=25a2 AE 2+EF2=AF2 AEF 是
18、直角三角形,AEF=90 直角三角形斜边 AF 上的中线等于 AF 的一半 AEF 为“智慧三角形”。 (4)如图 3 中， 当点 P 在线段 AB 上,点 Q 在线段 BC 上时,若PQB=90 ，则 BP=2BQ， 5t=4t， 解得 t=1. 若BPQ=90 ，则 BQ=2PB， 2t=2(5t) t= 2 5 . 当点 Q 在线段 AC 上时，不存在“智慧三角形”。 当点 P 在线段 BC 上,点 Q 在线段 AB 上时,若PQB=90 ，则 BP=2BQ， t5=2(152t)， t=7， 若QPB=90 ，则 BQ=2PB， 152t=2(t5)， t= 4 25 ， 综上所述,满
19、足条件的 t 的值为 1 或 2 5 或 4 25 或 7. 5阅读理解：如图 1，在正多边形 A1A2A3An的边 A2A3上任取一不与点 A2重合的点 B2，并以线段 A1B2为 边在线段 A1A2的上方作以正多边形 A1B2B3Bn，把正多边形 A1B2B3Bn叫正多边形 A1A2An的准位似图形， 点 A3称为准位似中心 特例论证：（1）如图 2 已知正三角形 A1A2A3的准位似图形为正三角形 A1B2B3，试证明：随着点 B2的运动， B3A3A1的大小始终不变 数学思考：（2）如图 3 已知正方形 A1A2A3A4的准位似图形为正方形 A1B2B3B4，随着点 B2的运动，B3A
20、3A4 的大小始终不变？若不变，请求出B3A3A4的大小；若改变，请说明理由 归纳猜想：（3）在图（1）的情况下：试猜想B3A3A4的大小是否会发生改变？若不改变，请用含 n 的 代数式表示出B3A3A4的大小（直接写出结果）；若改变，请说明理由B3A3A4+B4A4A5+B5A5A6+ BnAnA1= （用含 n 的代数式表示） 解答： (1)证明：A1A2A3 与 A1B2B3 是正三角形， A1A2=A1A3,A1B2=A1B3,A2A1A3=B2A1B3=60 ， A2A1B2=A3A1B3， A2A1B2A3A1B3， B3A3A1=A2=60 ， B3A3A1 的大小不变； (2)
21、B3A3A4 的大小不变， 理由：如图,在边 A1A2 上取一点 D,使 A1D=A3B2,连接 B2D， 四边形 A1A2A3A4 与 A1B2B3B4 是正方形， A1B2=B2B3,A1B2B3=A1A2A3=90 ， A3B2B3+A1B2A2=90 ,A2A1B2+A1B2A2=90 ， A3B2B3=A2A1B2， A3B2B3DA1B2， B2A3B3=A1DB2， A1A2=A2A3,A1D=A3B2， A2B2=A2D， A1A2A3=90 ， DA2B2 是等腰直角三角形， A1DB2=135 ， B2A3B3=135 ， A4A3A2=90 ， B3A3A4=45 ， 即
22、：B3A3A4 的大小始终不变； (3)B3A3B4 的大小始终不变,理由：如图 1, 在 A1A2 上取一点 D,使 A1D=A3B2， 连接 B2D， A2A1B2=180 A1B2A2,A3B2B3=180 A1B2A2， A2A1B2=A3B2B3， A1B2=B2B3， A3B2B3DA1B2， B2A3B3=A1DB2， A1A2=A2A3,A1D=A3B2， A2D=A2B2， A1DB2= 2 1 (180 A1A2B2)=90 2 1 180 (n2)n=90 90 (n2)n B3A3A4=A1DB2B2A3A4=90 90 (n2)n180 (n2)n=180 n； 由知
23、,B3A3A4= 2 180 ， 同的方法可得,B4A4A5=180 n 2,B5A5A6=180 n3,BnAnA1=180 n(n2)， B3A3A4+B4A4A5+B5A5A6+BnAnA1 =180 n+180 n 2+180 n3+180 n(n2)=90 (n1)(n2)n， 故答案为 90 (n1)(n2)n. 6定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的 2 倍，那么称这个三角形为“倍角三角形” 如图，在 ABC 中，A80 ，B40 ，那么 ABC 就是一个“倍角三角形” 定义应用 （1）已知 ABC 是倍角三角形，A60 则这个三角形其余两个内角的度数分别为 性质探究 （2）
24、在 ABC 中，A，B，C 所对边的边长分别为 a，b，c若A2B，且A60 ，如图 ，易得到 a2b（b+c）那么在任意的 ABC 中，满足A2B，如图，关系式 a2b（b+c）是 否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由 拓展应用 （3）若一等腰三角形恰好是一个倍角三角形，求它的腰与底边之比 解答： (1)证明：A=2B,且A=60 ， B=30 ， C=180 AB=90 ， a2+b2=c2，c=2b， a2=c2b2=(2b)2b2=3b2=b2+2b2=b2+bc=b(b+c) (2)关系式 a2=b(b+c)仍然成立 证明：如图,延长 BA 至点 D,使 AD=AC=
25、b,连接 CD 则 ACD 为等腰三角形， ACD=D， BAC 为 ACD 的一个外角， BAC=D+ACD=2D， BAC=2B， B=D, CD=BC=a，B=ACD， BD=AB+AD=b+c， 又D 为 ACD 与 CBD 的一个公共角， ACDCBD BC AC BD CD =,即 a b cb a = + a2=b(b+c) (3)若 ABC 是倍角三角形,由A=2B,应有 a2=b(b+c)，且 ab. 当 acb 时,设 a=n+1,c=n,b=n1,(n 为大于 1 的正整数) 代入 a2=b(b+c),得(n+1)2=(n1) (2n1)， 解得：n=5， a=6，b=4
26、，c=5，可以证明这个三角形中，A=2B； 当 cab 或 abc 时， 均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形。 边长为 4,5,6 的三角形为所求 7 我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做 这个三角形的“等底”。 （1）概念理解: 如图 1,在中, ,.,试判断是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究: 如图 2, 是“等高底”三角形,是“等底”，作关于所在直线的对称图形得到,连结 交直线于点 .若点 是的重心,求的值. （3）应用拓展: 如图3,已知,与之间的距离为2.“等高底”的“等底” 在直线上,点 在直线
27、上,有 一边的长是的倍.将绕点 按顺时针方向旋转得到,所在直线交于点 .求的 值. 解答： （1）如图，过点 A 作 ADCB 于点 D， ADC 为直角三角形，ADC=90 . ACB=30 ，AC=6， AD= 2 1 AC=3， AD=BC=3， 即 ABC 是“等高底”三角形. （2）如图， ABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”， AD=BC. ABC 与 ABC 关于直线 BC 对称， ADC=90 . 点 B 是 AAC 的重心， BC=2BD. 设 BD=x，则 AD=BC=2x， CD=3x， 由勾股定理得 AC= x13 ， 2 13 = 2 13 = x x BC
28、AC （3）当 AB= 2BC 时， a.如图，作 AEl1 于点 E，DFAC 于点 F， “等高底” ABC 的“等底”为 BC，l1l2， 这两条直线之间的距离为 2，AB= 2BC， BC=AE=2，AB= 22 ， BE=2，即 EC=4， AC= 52 . ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 得到 ABC， DCF=45 ， 设 DF=CF=x， 根据平行线性质可得ACE=DAF， 2 1 = CE AE AF DF ，即 AF=2x. AC=3x= 52 ，可得 x=5 3 2 ， CD= x2 =10 3 2 b.如图，此时 ABC 是等腰直角三角形， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 得到 ABC， ACD 是等腰直角三角形， CD= 2AC=22 . 当 AC= 2BC 时， a.如图此时 ABC 是等腰直角三角形， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 得到 ABC， ACl1， CD=AB=BC=2. b.如图，作 AEl1 于点 E，则 AE=BC， AC= 2BC=2AE， ACE=45 ， ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 45 得到 ABC 时，点 A在直线 l1 上， ACl2，即直线 AC 与 l2 无交点， 综上可得 CD 的值为10 3 2 ， 22 ，2.
