1、专题专题 18 18 双双 A A 字形相似模型字形相似模型 一、单选题一、单选题 1如图， ABO的顶点 A 在函数 y k x （x0）的图象上，ABO90 ，过 AO边的三等分点 M、N 分别 作 x轴的平行线交 AB 于点 P、Q若 ANQ的面积为 1，则 k的值为（ ） A9 B12 C15 D18 【答案】D 【分析】 易证 ANQAMPAOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出 ANQ 的面积，进 而可求出 AOB的面积，则 k的值也可求出 【详解】 解：NQMPOB， ANQAMPAOB， M、N是 OA的三等分点， 1 2 AN AM ， 1 3 AN AO ，
2、 1 4 ANQ AMP S S ， 四边形 MNQP 的面积为 3， 3 1 4 ANQ ANQ S S ， S ANQ=1， 2 11 9 AOB AN SAO ， S AOB=9， k=2S AOB=18， 故选：D 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数 k的几何意义，正确的求出 S ANQ=1是解题的关键 2如图， ABC中，AB=AC，点 D、E 分别是边 AB、AC的中点，点 G、F在 BC边上，四边形 DEFG是 正方形若 DE=2cm，则 AC 的长为 ( ) A3 3cm B4cm C2 3cm D2 5cm 【答案】D 【解析】 点 D、E 分别是边 A
3、B、AC 的中点，DE= 1 2 BC，DE=2cm，BC=4cm， AB=AC，四边形 DEFG 是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC= 5，AC=25cm 故选 D 3如图， 在 ABC中， 点 D在 BC边上， 连接 AD， 点 G 在线段 AD上， GE/BD，且交 AB于点 E， GF/AC， 且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ） A ABAG AEAD B DFDG CFAD C FGEG ACBD D AECF BEDF 【答案】D 【分析】 根据平行线截得的线段对应成比例以及相似三角形的性质定理，逐一判断选项，即可得到答案 【详解】 /GE BD AEGAB
4、D AEAG ABAD DFGDCA A 错误， /GF AC， DFDG CFAG ， B 错误， DFGDCA， AEGABD， FGDG ACDA ， EGAG BDAD ， 1 FG EG AC BD ， C 错误， /GE BD，/GF AC， AEAGCF BEGDDF ， D 正确， 故选 D 【点睛】 本题主要考查平行线截线段定理以及相似三角形的性质定理，掌握平行线截得的线段对应成比例是解题的 关键 4如图在 ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【答案】C 【分析】 根据相似三角形的判定定理即可得到结论 【详解】 B
5、=ACD，A=A， ACDABC， DEBC， ADEABC， ACDADE， DEBC， EDC=DCB， B=DCE， CDEBCD， 故共 4 对， 故选：C 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两 边相交，所构成的三角形与原三角形相似 5如图，已知 ,ADEABCV: V 若:1:3,AD ABABCV的面积为9，则ADE的面积为（ ） A1 B2 C3 D9 【答案】A 【分析】 根据相似三角形的性质得出 2 1 = 3 ADE ABC S S ，代入求出即可 【详解】 解：ADEABC，AD：AB1：3， 2 1 = 3
6、 ADE ABC S S ， ABC的面积为 9， 1 = 99 ADE S ， S ADE1， 故选：A 【点睛】 二、解答题二、解答题 6如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 A、B 的坐标分别为 A(4，0)、B(4，3)，动点 M、N分 别从点 O、B 同时出发，以 1单位/秒的速度运动(点 M沿 OA 向终点 A 运动，点 N沿 BC 向终点 C运动)， 过点 N作/NP AB交 AC于点 P，连结 MP （1）直接写出 OA、AB的长度； （2）试说明CPNCAB； （3）在两点的运动过程中，求MPA的面积 S与运动的时间 t的函数关系式，并求出 3 2 S 时，运动时间
7、 t的值 【答案】 （1）4,3OAAB； （2）见解析； （3） 2 33 04 82 Sttt ，2 【分析】 （1）根据点 A、B的坐标即可得； （2）先根据平行线的性质可得,CPNCABCNPCBA ，再根据相似三角形的判定即可得； （3）先根据矩形的性质、线段的和差可得4,AMCNt ABOA，再根据相似三角形的性质可得 PNCN ABCB ，从而可得3 3 4 PNt，由此可得MPA的 AM边上的高为 3 t 4 ，然后利用三角形的面积公 式可得S与t的函数关系式，最后解一元二次方程可得t的值 【详解】 （1）(4,0),(4,3)AB， 4,3OAAB ； （2）/NP AB，
8、,CPNCABCNPCBA ， CPNCAB； （3）由题意得：OMBNt，且04t ， 则4AMOA OMt ， 四边形 OABC 是矩形， 4,BCOAABOA ， 4CNBCBNt ， CPNCAB， PNCN ABCB ，即 4 34 PNt ， 解得3 3 4 PNt， /NP AB， NPOA， MPA的 AM边上的高为3 3 3 3 44 tt ， 1 4 3 42 Stt， 即 2 33 04 82 Sttt ， 当 3 2 S 时， 2 333 822 tt， 解得 12 2tt， 故t的值为 2 【点睛】 本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函
9、数的自变量等知识点，熟练 掌握相似三角形的判定与性质是解题关键 7如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点ABC的顶点B、C的坐标分别为 0,6，2,0顶 点A在x轴的正半轴上，10AB，2BACCBO （1）求AC的长度 （2）动点D从A出发，沿x轴负方向以每秒1个单位的速度运动，设D的运动时间为t秒，BCD的面积 为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应t的取值范围 （3）在（2）的条件下，在射线BO上取一点F，使BFCD，过D作/DGBC交直线AB于点G， 当45CBD时，求t值和G点坐标 【答案】 （1）10； （2）0t10时，30-3t BCD S=；t10时， 3t-30 BC
10、D S=； （3）当0t10 时，5t ，(5 3)G，；当 t10 时，20t ，(-1012)G， 【分析】 （1）由勾股定理解得 AO的长，即可求得 AC的长； （2）分两种情况讨论：当0t10时或当 t10 时，根据三角形面积公式解题即可； （3）分两种情况讨论，当0t10时，作作AMBC，交 DG于 N，交 BC于 M，由等腰三角形三线合 一的性质，解得NADCBO，进而证明COBDNA，根据相似三角形对应边成比例的性质，设 DN=m， 解得 AD= 10m， OD=8- 10m， 当45CBD时根据勾股定理解得 BH、 DH 的长， 在tRBOD 中，由勾股定理得 222 BDOB
11、OD，即可解得 m的值，从而解得 AD的长，即可求得 t的值，最后由 ADGACB，结合面积比等于相似比的平方，即可解得点 G 的坐标；当 t10时，方法同上 【详解】 （1）在tRAOB中 22 100368AOABOB=-=-= 2OC 8210ACAOOC=+=+= （2）由于 D在 x 轴上，故BCD以 CD为底边，高 h=OB=6 当0 t10时，CD=AC-AD=10-t， 1 6(10)30-3t 2 BCD St =创创-=； 当 t10时，CD=AD-AC=t-10, 1 6(10)3t-30 2 BCD St =创创-=； （3）如图：当0t10时，作AMBC，交 DG于
12、N，交 BC于 M， 10ABAC BAMMAC 又2BACCBO NADCBO /DG BC 90ANDCOB COBDNA COBOBC DNANAD 22 262 10BC 2 10 10 2 AD DN 设 DN=m，则 AD= 10m OD=8- 10m， 当45CBD时 BH= 22 5BM ，同理 = 22mDHDN 在tRBOD中， 222 BDOBOD 即 222 (2 52 )6(810 )mm 2 25 5200mm 解得 12 10 2 10 2 mm， 10m=20AD (舍去)或5AD 5t ADGACB 2 51 () 104 ADG ACB S S 1 5 1
13、2 1 4 10 6 2 G y 3 G y 5 G x (5 3)G， 当 t10 时，如图： 作AMBC，交 DG于 N，交 BC于 M， 10ABAC BAMMAC 又2BACCBO NADCBO /DG BC 90ANDCOB COBDNA COBOBC DNANAD 22 262 10BC 2 10 10 2 AD DN 设 DN=m，则 AD= 10m OD= 10m-8， 当45CBD时 BH= 22 5BM ，同理 = 22mDHDN 在tRBOD中， 222 BDOBOD 即 222 (2 52 )6( 108)mm 2 25 5200mm 解得 12 10 2 10 2 m
14、m， 10m=20AD 或5AD (舍去) 20t ADGACB 2 20 ()4 10 ADG ACB S S 1 20 2 4 1 10 6 2 G y 12 G y 10 G x (-1012)G， 综上所述，当0t10时，5t ，(5 3)G，；当 t10 时，20t ，(-1012)G， 【点睛】 本题考查一次函数综合，其中涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、分类讨论、三角形面积等知识， 是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键 8 如图已知正方形 DEFG的顶点 D、 E 在 ABC的边 BC上， 顶点 G、 F分别在边 AB、 AC 上 如果 BC=4，
15、ABC的 BC边上的高是 3，那么这个正方形的边长是_ 【答案】 12 7 【分析】 过点 A作 AMBC于 M，由 ABC的 BC 边上的高是 3可得 AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质 可得1 43 AGBGGFGF ABAB ，即可求正方形的边长 【详解】 如图，过点 A 作 AMBC于 M， ABC的 BC 边上的高是 3， AM=3， 四边形 DEFG是正方形， GD=FG,GFBC,GDAM， AGFABC， BGDBAM， AGGF ABBC ， BGDG ABAM 1 43 AGBGGFGF ABAB GF= 12 7 故答案为： 12 7 【点睛】 本题考查正方形的性
16、质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键 9 （教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容 （定理证明）请根据教材内容，结合图，写出证明过程 （定理应用）如图，在矩形 ABCD中，AC 为矩形 ABCD 的对角线，点 E在边 AB 上，且 AE = 2BE，点 F 在边 CB 上，CF= 2BFO为 AC的中点，连结 EF、OE、OF （1）EF 与 AC 的数量关系为_ （2）OEF与ABC的面积比为_ 【答案】【定理证明】 证明见解析；【定理应用】（1） EF与 AC的数量关系为 1 3 EFAC；（2）OEF与ABC 的面积比为2:9 【分
17、析】 定理证明： 先根据相似三角形的判定与性质可得 1 , 2 DEAD ADEABC BCAB ， 再根据平行线的判定即 可得证； 定理应用： （1）先根据线段的比例关系可得 1 3 BEBF BABC ，再根据相似三角形的判定与性质即可得； （2）如图（见解析） ，先根据三角形中位线定理可得 11 , 22 OMBC ONAB，设,BEa BFb，再根 据三角形的面积公式分别求出OEF与ABC的面积，由此即可得出答案 【详解】 定理证明：点 D、E分别是 AB、AC的中点， 1 2 AEAD ACAB ， 在ADE和ABC中， 1 2 AEAD ACAB AA ， ADEABC， 1 ,
18、2 DEAD ADEABC BCAB ， /DE BC，且 1 2 DEBC； 定理应用： （1）2,2AEBE CFBF， 1 3 BEBF BABC ， 在BEF和BAC中， BEBF BABC BB ， BEFBAC， 1 3 EFBF ACBC ， 即 1 3 EFAC； （2）如图，过点 O作OMAB于点 M，作ONBC于点 N， 四边形 ABCD 是矩形， 90B，即ABBC， /,/OM BC ON AB ， 点 O 是 AC的中点， OM、ON是ABC的两条中位线， 11 , 22 OMBC ONAB， 设,BEa BFb，则 33 2 ,3 ,2 ,3 , 22 AEa AB
19、a CFb BCb OMb ONa， 11 22 BEF SBE BFab， 13 22 AOE SAE OMab， 13 22 COF SCF ONab， 19 22 ABC SAB BCab， OEFABCBEFAOECOF SSSSSab， 2 9 9 2 OEF ABC Sab S ab ， 即OEF与ABC的面积比2:9 【点睛】 本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，较难的是题（2） ，通过 作辅助线，运用到三角形中位线定理是解题关键 10如图，在ABC中，点 ,E F分别在,AB AC上，且 AEAB AFAC （1）求证：AEFABC； （2）
20、若点D在BC上，AD与EF交于点G，求证： EGFG BDCD 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【分析】 （1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2） 根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得 EFBC， 于是可得 AEGABD， AGFADC， 再根据相似三角形的性质即可推出结论 【详解】 解： （1）在 AEF和 ABC中， EAFBAC， AEAB AFAC ， AEFABC； （2）AEFABC， AEF=ABC， EFBC， AEGABD， AGFADC， EGAG BDAD , FGAG CDAD ， EGFG BDCD 【点睛】 本题考查了相
21、似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键 11陕西省西安市罗汉洞村观音禅寺内有一棵千年银杏树，据传是当年唐太宗李世民亲手裁种，距今已有 1400多年历史，已被国家列为古树名木保护名录小华是一位数学爱好者，想利用所学的知识测量这棵银 杏树的高度阳光明媚的一天，小华站在点 D处利用测倾器测得银杏树顶端 A 的仰角为 39 ，然后着 DM 方 向走了 19 米到达点 F 处，此时银杏树的影子顶端与小华的影子顶端恰好重合，小华身高 EF1.7米，测得 FG3 米，测倾器的高度 CD0.8米，已知 ABBG，CDBG，EFBG请你根据以上信息，计算银杏 树 AB的高度
22、 （参考数据：sin390.6，cos390.8，tan390.8） 【答案】40.8米 【分析】 由题意过 C作 CHAB 于 N，则四边形 BDCN是矩形，根据矩形的性质得到 CNBD，BNCD08， 设 BDCNx，则 BG22+x，根据三角函数的定义得到 ANCNtan3908x，求得 AB08x+08， 根据相似三角形的性质求出 x，即可得到结果 【详解】 解：过 C 作 CHAB于 N，如图所示： 则四边形 BDCN是矩形， CNBD，BNCD08， 设 BDCNx， 则 BGBD+DF+FGx+19+322+x， 小华站在点 D处利用测倾器测得银杏树顶端 A 的仰角为 39 ，
23、ACN39 ， 在 Rt ACN中，ANCNtan3908x， ABAN+BN08x+08， ABBG，EFBG， EFAB， EFGABG， EF AB FG BG ，即 1.7 0.80.8x 3 22x ， 解得：x50， AB0.8 50 08 40.8（米） 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题 12如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4,3） ，抛物线 2 3 8 yxbxc 与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于CE，两点. （1）
24、求抛物线的表达式； （2） 点P从点C出发， 在线段CB上以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动， 与此同时， 点Q从点A出发， 在线段AC上以每秒 5 3 个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接 DPDQPQ、 ，设运动时间为t（秒）. 当t为何值时， DPQ得面积最小？ 是否存在某一时刻t，使 DPQ 为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1） 2 33 3 84 yxx ； （2） 3 2 t ； 12345 3172417145 ,3, 26176 ttttt 【分析】 （1） 根据点 B 的坐标可得出点 A， C的
25、坐标， 代入抛物线解析式即可求出 b， c的值， 求得抛物线的解析式； （2）过点 Q、P 作 QFAB、PGAC，垂足分别为 F、G，推出 QFACBA， CGPCBA，用含 t的式子表示 OF，PG，将三角形的面积用含 t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；由于 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可 【详解】 解： （1）由题意知：A(0,3),C(4,0)， 抛物线经过 A、B两点， 3 3 1640 8 c bc ，解得， 3 4 3 b c ， 抛物线的表达式为： 2 33 3 84 yxx (2) 四边形 ABCD是
26、矩形， B=90O， AC2=AB2+BC2=5； 由 2 33 33 84 xx，可得 12 0,2xx，D（2,3） 过点 Q、P作 QFAB、PGAC，垂足分别为 F、G， FAQ=BAC， QFA=CBA， QFACBA AQQF ACBC ， 53 35 AQ QFBCtt AC 同理： CGPCBA， PGCP ABAB CP PGAB AB ， 4 5 PGt， 11541 62(5)2 (3) 22352 DPQABCQADPQCPBD SSSSStttt 222 2293233 23(3)3() 3342322 ttttt 当 3 2 t 时， DPQ 的面积最小.最小值为
27、3 2 由图像可知点 D 的坐标为(2,3)，AC=5,直线 AC 的解析式为： 3 y3 4 x 三角形直角的位置不确定，需分情况讨论： 当DPG90时，根据勾股定理可得出： 2222 225555 2t3t343423 3434 tttt ， 整理，解方程即可得解； 当DGP90时，可知点 G 运动到点 B 的位置，点 P 运动到 C 的位置，所需时间为 t=3； 当PDG90时,同理用勾股定理得出： 2222 225555 2t3t343423 3434 tttt ； 整理求解可得 t 的值 由此可得出 t的值为： 1 3 2 t , 2 3t , 3 17 6 t , 4 24 17
28、t , 5 17145 6 t 【点睛】 本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键 13 （1）如图 1，在 ABC中，点 D，E，Q分别在 AB，AC，BC上，且 DEBC，AQ交 DE 于点 P，求 证： DPEP BQCQ ； （2） 如图，在 ABC 中，BAC=90 ，正方形 DEFG 的四个顶点在 ABC的边上，连接 AG，AF分别交 DE 于 M，N两点 如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN的长； 如图 3，求证 MN2=DM EN 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 9 ；证明见解析 【分析】 （1）易证明 ADPABQ
29、， ACQADP，从而得出 DPEP BQCQ ； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，求出 BC边上的高 2 2 ，根据 ADEABC，求出正方 形 DEFG 的边长 2 3 从而， 由 AMNAGF和 AMN 的 MN边上高 2 6 ， AGF的 GF边上高 2 2 ， GF= 2 3 ，根据 MN：GF等于高之比即可求出 MN； 可得出 BGDEFC， 则 DGEF=CFBG； 又 DG=GF=EF， 得 GF2=CFBG， 再根据 （1） DMMNEN BGGFCF ， 从而得出结论 【详解】 解： （1）在 ABQ和 ADP中， DPBQ， ADPABQ， DPAP BQAQ
30、， 同理在 ACQ和 APE中， EPAP CQAQ ， DPPE BQQC ； （2）作 AQBC于点 Q BC边上的高 AQ= 2 2 ， DE=DG=GF=EF=BG=CF DE：BC=1：3 又DEBC AD：AB=1：3， AD= 1 3 ，DE= 2 3 ， DE边上的高为 2 6 ，MN：GF= 2 6 ： 2 2 ， MN： 2 3 = 2 6 ： 2 2 ， MN= 2 9 故答案为： 2 9 证明：B+C=90 CEF+C=90 ， B=CEF， 又BGD=EFC， BGDEFC， DGBG CFEF ， DGEF=CFBG， 又DG=GF=EF， GF2=CFBG， 由（
31、1）得 DMMNEN BGGFFC ， MN MNDM EN GF GFBG CF ， 2 () MNDM EN GFBG CF ， GF2=CFBG， MN2=DMEN 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大 14矩形 ABCD中，AB8，AD12将矩形折叠，使点 A 落在点 P处，折痕为 DE （1）如图，若点 P恰好在边 BC 上，连接 AP，求 AP DE 的值； （2）如图，若 E 是 AB的中点，EP的延长线交 BC于点 F，求 BF的长 【答案】 （1） 2 3 ； （2）BF3 【分析】 （1）如图中，取 DE的中点 M，连接 PM
32、证明 POMDCP，利用相似三角形的性质求解即可 （2）如图中，过点 P 作 GHBC 交 AB于 G，交 CD于 H设 EG=x，则 BG=4-x证明 EGPPHD， 推出 1 3 EGPGEP PHDHPD ， 推出 PG=2EG=3x， DH=AG=4+x， 在 Rt PHD中， 由 PH2+DH2=PD2， 可得 （3x） 2+（4+x）2=122，求出 x，再证明 EGPEBF，利用相似三角形的性质求解即可 【详解】 解： （1）如图中，取 DE的中点 M，连接 PM 四边形 ABCD是矩形， BADC90 ， 由翻折可知，AOOP，APDE，23，DAEDPE90 ， 在 Rt E
33、PD中，EMMD， PMEMDM， 3MPD， 13+MPD23， ADP23， 1ADP， ADBC， ADPDPC， 1DPC， MOPC90 ， POMDCP， 82 123 POCD PMPD ， 22 23 AOPO DEPM （2）如图中，过点 P作 GHBC交 AB于 G，交 CD于 H则四边形 AGHD是矩形，设 EGx，则 BG 4x AEPD90 ，EGPDHP90 ， EPG+DPH90 ，DPH+PDH90 ， EPGPDH， EGPPHD， 41 123 EGPGEP PHDHPD ， PG2EG3x，DHAG4+x， 在 Rt PHD中，PH2+DH2PD2， （3
34、x）2+（4+x）2122， 解得：x 16 5 （负值已经舍弃） ， BG4 16 5 4 5 ， 在 Rt EGP 中，GP 22 12 5 EPEG， GHBC， EGPEBF， EGGP EBBF ， 1612 55 4BF ， BF3 【点睛】 本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解 决问题，学会利用参数构建方程解决问题 15如图，在Rt ABC中，90ACB， 60BAC，6AC ，AD平分BAC，交边BC于点D， 过点D作CA的平行线，交边AB于点E （1）求线段DE的长； （2） 取线段AD的中点M， 联结BM， 交线段DE
35、于点F， 延长线段BM交边AC于点G， 求 EF DF 的值 【答案】 （1）4； （2） 2 3 【分析】 （1）分别求出 CD，BC，BD，证明BDEBCA，根据相似性质即可求解； （2）先证明DFAG，再证明BEFBAG，根据相似三角形性质求解即可 【详解】 解： （1）AD平分BAC，60BAC， 30DAC 在Rt ACD中，90ACD，30DAC，6AC ，CD2 3 在Rt ACB中，90ACB，60BAC，6AC ，6 3BC 4 3BDBCCD /DE CA， BDEBCA 2 3 DEBD CABC 4DE （2）点M是线段AD的中点，DMAM /DE CA， DFMAGM
36、 DFDM AGAM DFAG /DE CA， BEFBAG 2 3 EFBEBD AGBABC 2 3 EF DF 【点睛】 本题考查了含 30 角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并 根据相似性质解题 16 如图， 在ABC中，ABAC， 以AC为直径的 O交BC于点D， 交AB于点E， 过点D作DFAB， 垂足为F，连接DE （1）求证：直线DF与O相切； （2）若7AE ，6BC ，求AC的长 【答案】 （1）证明见解析； （2）9 【分析】 （1）连接OD，利用ABAC，ODOC，证得/OD AD，易证DFOD，故DF为O的切线； （2）证得B
37、EDBCA，求得BE，利用ACABAEBE求得答案即可 【详解】 证明： 连接 OD AB=AC， B=C， OD=OC， ODC=C， ODC=B， ODAB， DFAB， ODDF， 点 D在O上， 直线 DF与O相切； （2）解：四边形 ACDE是O的内接四边形， AED+ACD=180 ， AED+BED=180 ， BED=ACD， B=B， BEDBCA， BDBE ABBC =， ODAB，AO=CO， 1 3 2 BDCDBC ， 又AE=7， 3 76 BE BE ， BE=2， AC=AB=AE+BE=7+2=9 【点睛】 此题考查了切线的判定，三角形相似的判定与性质，要证
38、某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆 心和这点（即为半径） ，再证垂直即可 17如图，在 ABC 中，AB=4 2，B=45 ，C=60 （1）求 BC边上的高线长 （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC上，连结 EF，沿 EF将 AEF折叠得到 PEF 如图 2，当点 P落在 BC上时，求AEP 的度数 如图 3，连结 AP，当 PFAC时，求 AP的长 【答案】 （1）4;（2）90 ；2 6 【分析】 （1）如图 1中，过点 A作 ADBC于 D解直角三角形求出 AD即可 （2）证明 BE=EP，可得EPB=B=45 解决问题 如图 3中，由（1）可知：AC= 8
39、3 sin603 AD ，证明 AEFACB，推出 AFAE ABAC ，由此求出 AF 即可解决问题 【详解】 解： （1）如图 1，过点 A作 ADBC于点 D， 在 Rt ABD 中，sin45ADAB= 2 4 2 2 =4. （2）如图 2，AEFPEF， AEEP. 又AEBE ， BEEP， EPBB45 ， AEP90 . 如图 3，由（1）可知：在 Rt ADC 中， 8 3 sin603 AD AC . PFAC， PFA90 . AEFPEF， AFEPFE45 ，则AFEB. 又EAFCAB， EAFCAB， AF AB AE AC ，即 4 2 AF 2 2 8 3
40、3 ， AF2 3, 在 Rt AFP中，AFPF，则 AP 2AF2 6. 【点睛】 本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定 和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 三、填空题三、填空题 18如图，P是ABC内一点，过点P分别作直线平行于ABC 各边，形成三个小三角形面积分别为 123 3,12,27SSS，则 ABC S_ 【答案】108 【分析】 根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的 比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可 【详解】 解：过 P
41、作 BC 的平行线交 AB、AC于点 D、E，过 P 作 AB 的平行线交 AB于点 I、G，过 P 作 AC的平行 线交 AC于点 F、H， DE/BC，IG/AB，FH/AC， 四边形 AFPI、四边形 PHCE、四边形 DBGP 均为平行四边形， FDPIPEPGHABC， 123 31227SSS， FP：IE：PH=1：2：3， AI：IE：EC=1：2：3， AI：IE：EC：AB=1：2：3：6， S ABC：S FDP=36：1， S ABC=36 3=108 故答案为:108 【点睛】 本题考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方 19 已知， 平行四边形ABC
42、D中， 点E是AB的中点， 在直线AD上截取2AFFD， 连接EF，EF交AC 于G，则 AG AC _ 【答案】 2 5 ； 2 7 【分析】 由于 F的位置不确定，需分情况进行讨论， （1）当点 F在线段 AD上时（2）点 F在 AD 的延长线上时两种 情况，然后通过证两三角形相似从而得到 AG和 CG的比，进一步得到 AG和 AC的比 【详解】 解： （1）点 F在线段 AD上时，设 EF与 CD 的延长线交于 H， AB/CD， EAFHDF, HD：AE=DF：AF=1:2， 即 HD= 1 2 AE， AB/CD， CHGAEG， AG：CG=AE：CH， AB=CD=2AE， C
43、H=CD+DH=2AE+ 1 2 AE= 5 2 AE， AG：CG=2：5， AG： （AG+CG）=2： （2+5） ， 即 AG：AC=2：7； （2）点 F在线段 AD的延长线上时，设 EF与 CD 交于 H， AB/CD， EAFHDF， HD：AE=DF：AF=1：2， 即 HD= 1 2 AE， AB/CD， AG：CG=AE：CH AB=CD=2AE， CH=CD-DH=2AE- 1 2 AE= 3 2 AE， AG：CG=2：3， AG： （AG+CG）=2： （2+3） ， 即 AG：AC=2：5 故答案为： 或 【点睛】 本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其
44、中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键， 特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序 20在平面直角坐标系中，已知3,4A ，1,0D ，点C是y轴正半轴上一动点，以AC为直角边构造 直角ABC，另一直角边交x轴负半轴于点B，E为线段BC的中点，则DE的最小值为_ 【答案】19 10 【分析】 根据 AC 为直角边可分CAB=90 和ACB=90 两种情况进行讨论 【详解】 ABC为直角三角形，AC为直角边， 当90CAB时， 90A ，又90COB， A、C、O、B四点共圆，且BC为直径， E为BC中点，则E为圆心，连接AO，则AO为圆的一条弦， 圆心一定在AO的垂直
45、平分线上， 取AO中点F，过F做直线FHAO，则E的运动轨迹为直线FH， 当DEFH时，DE取得最小值， 3,4A ， AO的解析式为 4 3 yx ， 又F为AO中点， 3 ,2 2 F ， 5 2 OF ， FHAO， 13 4 FH AO k k ， FH的解析式可设为 3 4 yxb， 代入 3 ,2 2 F ，得： 9 2 8 b ， 25 8 b ， FH的解析式为 325 48 yx， 令0y ，得 25 6 x ， 25 ,0 6 M ， 25 6 OM ， 又1OD， 19 6 MD ， DEFH， /DE FO， MDEMOF， DEND FOMO ， 19 6 525 2
46、6 OE ， 19519 25210 DE 当90ACB时， B点交于x轴原点处不符合题意，故DE的最小值为19 10 ， 故答案为： 19 10 【点睛】 本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆 的有关性质求解是解题关键 21如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为 1米，继续往前走 2 米到达E处 时，测得影子EF的长为 2米，已知王华的身高是 1.5米，那么路灯A的高度等于_ 【答案】4.5 【分析】 设BC之间的距离为 x米， 根据题意可得DGCDAB，FHEFAB， 即 G CC D A BB D ， HEEF ABBF ， 代入数值解得 x=2，进而求得 AB，即可求得路灯的高度 【详解】 如图，设BC之间的距离为 x米， 根据题意可得GCBF，HEBF， AB CG HE DGCDAB，FHEFAB， GCCD ABBD ， HEEF ABBF ， 即 1.51 1ABx ， 1.52 22ABx ，
