1、专题专题 07 07 双等腰旋转模型双等腰旋转模型 一、单选题一、单选题 1如图，在 ABC中，AD是 BC 边上的高，BAF=CAG=90 ，AB=AF，AC=AG连接 FG，交 DA的 延长线于点 E，连接 BG，CF 则下列结论：BG=CF；BGCF；EAF=ABC；EF=EG，其中 正确的有（ ） A B C D 【答案】D 【分析】 由题意易得FACBAG，根据全等三角形的性质可进行分析排除 【详解】 解：BAF=CAG=90 ，BAG=BAC+GAC，FAC=FAB+BAC， BAG=FAC，AB=AF，AC=AG， FACBAG， BG=FC，AGB=ACF，故正确； AGC=A
2、GB+BGC，GCF=ACF+GCA，GCA=AGC， BGC+FCG=AGC-AGB+GCA+ACF=90 ， BGCF，故正确； FAE+BAD=90 ，ADBC， BAD+ABD=90 ，FAE=ABD，故正确； 如图，设 GH与 FC 交于 H点，连接 EH，由易得FHE=EHF，所以 EF=EH， 即 EF=EH=EG，故正确； 故选 D 【点睛】 本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键 2如图，ACD和AEB都是等腰直角三角形， 90CADEAB ，四边形ABCD是平行四边形， 下列结论中错误的是（ ） AACE以点A为旋转中心，逆时针
3、方向旋转90 后与ADB重合 BACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270 o后与 DAC重合 C沿AE所在直线折叠后，ACE 与ADE重合 D沿AD所在直线折叠后， ADB与ADE重合 【答案】B 【分析】 本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断 【详解】 解：A根据题意可知 AE=AB，AC=AD，EAC=BAD=135 ， EACBAD，旋转角EAB=90 ，正确； B因为平行四边形是中心对称图形，要想使 ACB和 DAC 重合， ACB 应该以对角线的交点为旋转中 心，顺时针旋转 180 ，即可与 DAC 重合，错误； C根据题意可EAC=135 ，EAD=360 EA
4、CCAD=135 ，AE=AE，AC=AD， EACEAD，正 确； D根据题意可知BAD=135 ，EAD=360 BADBAE=135 ，AE=AB，AD=AD， EADBAD， 正确 故选 B 【点睛】 本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点 3 如图， 在等腰Rt ABC中，90BAC， 3AB ， 点D在BC上， 以AD为边向右作等腰Rt ADE， 90DAE，连接BE，若30EBC，则BD的长为（ ） A2 B2 3 C 6 D4 【答案】C 【分析】 连接 CE，根据题意可证得ABDACE，所以,45BDCEACEABC ，所以90EC
5、B， 在等腰Rt ABC，根据3AB ，可求出 3 2BC ，在Rt BCEV中，30EBC，所以2BECE，设 CEx，则2BEx，根据勾股定理可得出关于x的方程，解出即可得出答案. 【详解】 解：如图，连接 CE， 90BACBADDAC， 90DAECAEDAC， BADCAE， 在ABD与ACE中， ABAC BADCAE ADAE ABDACE SAS， ,45BDCEACEABC ， 45ACB， 90ECB； 在等腰Rt ABC， 3ABAC， 3 2BC ， 在Rt BCEV中，30EBC 2BECE， 设CEx，则2BEx， 2 2 2 3 22xx 解得：6x ， 6BDC
6、E ； 故选：C. 【点睛】 本题考查全等三角形以及勾股定理解特殊直角三角形；题中如果出现两个等腰三角形，顶角相等且重合， 则可以考虑手拉手证明全等三角形，题中如果出现等腰直角三角形或者含有30的直角三角形，可利用这两 种特殊三角形边之间的关系，已知一边长度，即可求出其他两条边的长度. 4在 Rt ABC 中，AC=BC，点 D为 AB 中点GDH=90 ，GDH绕点 D旋转，DG，DH 分别与边 AC， BC 交于 E，F两点下列结论：AE+BF= 2 2 AB；AE2+BF2=EF2；S四边形CEDF= 1 2 S ABC；DEF 始终为等腰直角三角形其中正确的是( ) A B C D 【
7、答案】D 【分析】 连接 CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出 ADECDF，就可以得出 AE=CF，进而得出 CE=BF， 就有 AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论 【详解】 连接 CD，AC=BC，点 D为 AB 中点，ACB=90 ， AD=CD=BD= 1 2 ABA=B=ACD=BCD=45 ，ADC=BDC=90 ADE+EDC=90 ， EDC+FDC=GDH=90 ， ADE=CDF 在 ADE 和 CDF中， ADCB ADCD ADECDF ADECDF（ASA） ， AE=CF，DE=DF，S ADE=S CDF AC=BC， AC-AE=BC-CF， CE=B
8、F AC=AE+CE， AC=AE+BF= 2 2 AB DE=DF，GDH=90 ， DEF始终为等腰直角三角形 CE2+CF2=EF2， AE2+BF2=EF2 S四边形CEDF=S EDC+S EDF， S四边形CEDF=S EDC+S ADE= 1 2 S ABC 正确的有 故选 D 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解题关键 是证明 ADECDF 5 如图，/ABCD，BAC 与ACD的平分线相交于点G，EGAC于点E，F为AC中点，GHCD 于H，FGCFCG下列说法正确的是( ) AGCG； BAGCGE； AFGGFC
9、 SS ； 若:2:7EGHECH， 则150AFG A B C D 【答案】C 【分析】 根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GACGCA从而根据三角形的内角和定理得到 90AGC，即可判断正确性；根据等角的余角相等可知CGEGAC，再由角平分线的定义与 等量代换可知BAGCGE， 即可判断正确性； 通过面积的计算方法， 由等底等高的三角形面积相等， 即可判断正确性；通过角度的和差计算先求出EGHECH，的度数，再求出50EGF，再由三 角形内角和定理及补角关系即可判断是否正确 【详解】 中，ABCD， 180BACACD， BAC与DCA 的平分线相交于点 G， 11 12 18
10、090 22 GACGCABACACD ， 180GACGCAAGC， 90AGC AGCG， 则正确； 中，由得 AGCG， EGAC，FGCFCG， 根据等角的余角相等得CGEGAC， AG平分BAC ， =BAGGAC， BAGCGE， 则正确； 中， 根据三角形的面积公式， F为AC中点， AF=CF， AFG与GFC等底等高， AFGGFC SS ， 则正确； 中，根据题意，得：在四边形 GECH 中，180EGHECH， 又: 2:7EGHECH， 27 18040180140 99 EGHECH， CG平分ECH， 1 70 2 FCGECH， 根据直角三角形的两个锐角互余，得2
11、0EGC. FGCFCG， 70FGCFCG， 50EGFFGCECG， EGAC， 9040GFEEGF， 18018040140AFGGFE，则错误. 故正确的有， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角 平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算 是解决本题的关键. 二、解答题二、解答题 6如图，已知 CACB，CFCE，ACBFCE90 ，且 A、F、E三点共线，AE与 CB 交于点 D （1）求证：AF2+AE2AB2 （2）若 AC17，BE3，则 CE 【答
12、案】 （1）见解析； （2） 2 【分析】 （1）如图 1中，欲证明 AFBE，只要证明 ACFBCE即可 （2）如图 1中，由 ACFBCE，推出AFCCEB，由CFECEF45 ，推出AFCCEB 135 ，推出AEB90 ，由 ACBC17，推出 BC 2AC34，在 Rt AEB中，AE 22 3495ABBE ，推出 EF2，由此即可解决问题 【详解】 （1）证明：如图中， ACBFCE90 ， ACFBCE， 在 ACF和 BCE中， CACB ACFBCE CFCE ， ACFBCE（SAS） ， AFBE， CAFCBE， CAE+EAB+ABC90 ， EAB+ABC+CBE
13、90 ， AEB90 ， 在 Rt AEB中，BE2+AE2AB2 AF2+AE2AB2， （2）ACFBCE， AFCCEB， CFECEF45 ， AFCCEB135 ， AEB90 ， ACBC17 ， AB 2AC34， 在 Rt AEB中，AE 22 3495ABBE ， AFBE3， EF2， CE 2 2 EF 2 故答案为： 2 【点睛】 本题主要考查等腰直角三角形的性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰直角三角形的 性质、勾股定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键 7如图 1，已知ABC和EFC都是等边三角形，且点 E 在线段 AB 上 （1）过点 E作/EG
14、 BC交 AC于点 G，试判断AEG的形状并说明理由； （2）求证：/BF AC； （3）如图 2，若点 D在射线 CA 上，且EDEC，求证：ABADBF 【答案】 （1）AEG是等边三角形，理由见解析； （2）证明见解析； （3）证明见解析 【分析】 （1）如图（见解析） ，先根据等边三角形的性质可得60BACABCACB，再根据平行线的 性质可得60AEGABC，然后根据等边三角形的判定即可得； （2）先根据等边三角形的性质可得,60ACBC CECFACBECF ，从而可得 ACEBCF，再根据三角形全等的判定定理与性质可得60CBFCAE，从而可得 CBFACB，然后根据平行线的判定
15、即可得证； （3）先根据平行线的性质、三角形全等的性质可得,DAEEBAEFBF ，再根据等腰三角形的性质 可得DACE， 从而可得DBCF， 然后根据三角形的内角和定理可得BEFBCFD， 最后根据三角形全等的判定定理与性质可得ADBE，据此根据线段的和差、等量代换即可得证 【详解】 （1）AEG是等边三角形，理由如下： 如图，过点 E 作/EG BC交 AC 于点 G， ABC是等边三角形， 60BACABCACB， 60AEGABC， AEG是等边三角形； （2）ABC和EFC是等边三角形， ,60ACBC CECFACBECF ， ACBBCEECFBCE，即ACEBCF， 在ACE和
16、BCF中， ACBC ACEBCF CECF ， ()ACEBCF SAS ， 60CBFCAE ， CBFACB， /BF AC； （3）由（2）知，/BF AC，ACEBCF， DAEEBF ，AEBF， EDEC， DACE， 由（2）已证：ACEBCF， DBCF， ABC和EFC是等边三角形， 60ABCEFC， 在BEF中，180120BEFEBCCBFBFECBFBFE， 在BCF中，180120BCFEFCCBFBFECBFBFE， BEFBCFD， 在ADE和BEF中， DAEEBF DBEF AEBF ， ()ADEBEF AAS ， ADBE， ABBEAEADBF 【点
17、睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质 等知识点，较难的是题（3） ，正确找出两个三角形全等的条件是解题关键 8 ABC 中，BAC90 ，ABAC，点 D为直线 BC上一动点（点 D不与 B，C 重合） ，以 AD为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF （1）观察猜想：如图 1，当点 D在线段 BC 上时，AC，CD，CF之间的数量关系为_； （将结论 直接写在横线上） （2）如图 2，当点 D在线段 CB的延长线上时， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，不需证明；若不成 立，请你写出正确结论，并说明理由 【答案】 （1
18、）CD+CF= 2AC； （2）不成立，CD-CF=2AC；理由见解析 【分析】 （1）根据正方形的性质可得DAF=90 ，AD=AF，利用同角的余角相等可得BAD=CAF，利用 SAS可 证明 BAD CAF， 可得 CF=BD， 即可得出 BC=CD+CF， 根据等腰直角三角形的性质可得 BC= 2AC， 进而可得答案； （2）同（1）可证明 BAD CAF，可得 BD=CF，即可得出 CD=BC+CF，根据等腰直角三角形的性质可 得 BC= 2AC，可得 CD-CF=2AC，即可得答案 【详解】 （1）四边形 ADEF是正方形， DAF=90 ，AD=AF， CAF+DAC=90 ， B
19、AC90 ， BAD+DAC=90 ， BAD=CAF， 在 BAD和 CAF中， ABAC BADCAF ADAF ， BADCAF， CF=BD， CD+CF=CD+BD=BC， BAC=90 ，AB=AC， BC= 2AC， CD+CF= 2AC 故答案为：CD+CF= 2AC （2）不成立，CD-CF= 2AC理由如下： 同（1）可证 BADCAF， CF=BD， CD=BC+BD=BC+CF， BC= 2AC， CD-CF= 2AC 【点睛】 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定 理是解题关键 9（1）问题发现： 如图，ABC与
20、ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求 BEC的度数， 并确定线段BD与CE的数量关系 （2）拓展探究： 如图，ABC与ADE都是等腰直角三角形， 90BACDAE， 且点B，D，E在同一直线上， AFBE于点F，连接CE，求BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系 【答案】 （1）BEC的度数为60，线段BD与CD之间的数量关系是BDCE； （2）BFCEAF 【分析】 （1） 首先根据ABC和ADE均为等边三角形， 可得ABAC ，ADAE，60BACDAE， 60ADEAED，据此判断出BADCAE然后根据全等三角形的判定方法， 判断出ABD ACE，
21、即可判断出BDCE，DBACEA进而判断出BEC的度数为 60 即可； （2）首先根据ABC和ADE均为等腰直角三角形，可得ABAC ，ADAE， 90BACDAE，45ADEAED，据此判断出BADCAE然后根据全等三角形 的判定方法， 判断出ABDACE， 即可判断出,BDCEADBAEC进而判断出BEC 的度 数为 90 即可；最后根据90DAE，ADAE，AFDE，得到AFDFEF于是得到结论 【详解】 解： （1）因为ABC和ADE均为等边三角形， 所以ABAC，ADAE，60BACDAE，60ADEAED， 所以BACDACDAEDAC， 即BADCAE 在ABD和ACE中， AB
22、AC BADCAE ADAE ， 所以ABDACE， 所以BDCE，DBACEA 因为点B，D，E在同一直线上， 所以18060120ADB ， 所以120AEC， 所以1206060BECAECAED 综上可得，BEC的度数为60，线段BD与CD之间的数量关系是BDCE （2）因为ABC和ADE均为等腰直角三角形， 所以ABAC，ADAE，90BACDAE，45ADEAED， 所以BACDACDAEDAC， 即BADCAE 在ABD和ACE中， ABAC BADCAE ADAE ， 所以ABDACE， 所以BDCE，ADBAEC 因为点B，D，E在同一直线上， 所以18045135ADB，
23、所以135AEC， 所以1354590BECAECAED 因为90DAE，ADAE，AFDE， 易证AFDFEF，所以BFBDDFCEAF 10如图，已知 AMCN，B在 MN的垂直平分线上，AMBCNB，MBN90 证明： ABC为等 腰直角三角形 【答案】见解析 【分析】 由题意先证明 ABMCBN （SAS） 的长 ABCB， ABMCBN， 则CBN+ABNABM+ABN MBN90 ，即ABC90 ，即可得出结论 【详解】 证明：点 B 在 MN的垂直平分线上， BMBN， 在 ABM和 CBN中， AMCN AMBCNB BMBN ， ABMCBN（SAS） ， ABCB，ABMC
24、BN， CBN+ABNABM+ABNMBN90 ， 即ABC90 ， ABC 为等腰直角三角形 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定以及线段垂直平分线的性质，由题意先证明三 角形全等是解题的关键 11如图，ABC是等腰直角三角形， 90 ,ACB分别以,AB AC为直角边向外作等腰直角 ABD和 等腰直角,ACE GV为BD的中点，连接,CG BE,CD BE与CD交于点F （1）证明：四边形ACGD是平行四边形； （2）线段BE和线段CD有什么数量关系，请说明理由； （3）已知2,BC 求EF的长度(结果用含根号的式子表示) 【答案】 （1）见解析； （2）BE=C
25、D，理由见解析； （3）EF= 3 10 5 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质易得 BD=2BC，因为 G 为 BD的中点，可得 BG=BC，由CGB=45 ， ADB=45得 ADCG，由CBD+ACB=180 ，得 ACBD，得出四边形 ACGD为平行四边形； （2）利用全等三角形的判定证得 DACBAE， 由全等三角形的性质得 BE=CD； 首先证得四边形 ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得 BCECAD，易得CBE=ACD，由ACB=90 ，易 得CFB=90 ，得出结论 （3）先证明 DBF是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案 【详解】 解：
26、（1）ABC和 ABD都是等腰直角三角形 CAB=ABD= 45 ，BD= 2AB=22 BC=2BC=2AC ACBD 又G为 BD的中点， BD=2DG， AC=DG，ACDG 四边形 ACGD为平行四边形； （2）BE=CD，理由如下 AEC和 ABD都是等腰直角三角形 AE=AC，AB=AD EAB=EAC+CAB=90 +45 =135 ， CAD=DAB+BAC=90 +45 =135 ， EAB=CAD， 在 DAC与 BAE中， ADAB CADEAB ACAE ， DACBAE， BE=CD； （3） DACBAE AEB=ACD 又EAC=90 EFC=DFB=90 DBF
27、是直角三角形 BC= 2， BD=2 2， 根据勾股定理得 CD= 10， 11 22 CD BFBC BD 1 2 10 BF= 1 2 2 2 2 BF= 2 10 5 EF=BE-BF=CD-BF= 10 2 10 5 = 3 10 5 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理 是解答此题的关键 12如图，BE是O的直径，弦AC交BE于点D，连接AB，AE，若 45BAC，求证： 2ABAEAC 【答案】见解析 【分析】 根据题意， 连接OC，BC，CE， 过点C作AC的垂线交AE的延长线于点G， 通过圆周角， 圆心角， 弧，
28、 弦之间的关系求证ABCGEC，进而得到ACG为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的性质即 可得解 【详解】 证明：如图，连接OC，BC，CE，过点C作AC的垂线交AE的延长线于点G， 2BOCBAC ，45BAC， 90BOC， BE是O的直径， 90COE，90BCE， ) BCCE ， BCCE， 90BCAACE，90ECGACE， BCAECG， 在ABC和GEC中， BCAECG BCCE ABCGEC ， ABCGEC ASA， ABEG，45GBAC， 45CAGG， ACG为等腰直角三角形， 2AGAC ， 2ABAEGEAEAGAC 【点睛】 本题主要考查了圆周角定理，圆
29、心角，弧，弦之间的关系，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的 性质等，熟练掌握圆与三角形的综合求证方法是解决本题的关键 13已知 Rt OAB 和 Rt OCD 的直角顶点 O重合，AOB=COD=90 ，且 OA=OB，OC=OD （1）如图 1，当 C、D 分别在 OA、OB上时，AC与 BD的数量关系是 AC BD（填“”，“”或“=”）AC 与 BD的位置关系是 AC BD（填“”或“”） ； （2）将 Rt OCD绕点 O顺时针旋转，使点 D在 OA上，如图 2，连接 AC，BD，求证：AC=BD； （3）现将 Rt OCD绕点 O顺时针继续旋转，如图 3，连接 AC，BD，猜想
30、 AC与 BD 的数量关系和位置关 系，并给出证明 【答案】 （1）=； （2）见解析 （3）AC=BD且 ACBD；证明见解析 【分析】 （1）根据等式的性质可得 AC与 BD的数量关系，根据AOB=COD=90 ，可证 AC 与 BD 的位置关系； （2）证明 OCAODB，即可得到 AC=BD； （3）证明 OCAODB，可得 AC=BD，BDO=ACO，进而可证DEF=90 【详解】 解： （1）OA=OB，OC=OD OA-OC=OB-OD， AC=BD AOB=COD=90 ， AOBO， C、D 分别在 OA、OB上， ACBD； （2）在 OCA 和 ODB中， 90 OCOD
31、 COABOD AOBO ， OCAODB， AC=BD； （3）AC=BD，ACBD 理由： AOB=COD=90 ， AOB+AOD=COD+AOD， AOC=BOD， 在 OCA和 ODB中， OCOD COABOD AOBO ， OCAODB， AC=BD，BDO=ACO， ACO+CFO=90 ，CFO=DFE， BDO+DFE=90 ， DEF=180 -90 =90 ， ACBD 【点睛】 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握全等三角形的判 定方法（即 SSS、SAS、ASA、AAS和 HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、
32、对应角相 等）是解题的关键 14如图，O是ABC的外接圆，AC是 O的直径，点B是半圆ABC的中点，点D是ADC上一动 点（不与点A、C重合） ，连接BD交AC于点G 图 1 图 2 （1）如图 1，过点B作/BFAC，交DA延长线于点F，求证：BF与O相切； （2）若10AC ，6AD，求CG的长； （3） 如图 2， 把D B C沿直线BC翻折得到EBC， 连接AE， 当点D在ADC运动时， 探究线段AE、BD、 CD之间的数量关系，并说明理由 【答案】 （1）详见解析； （2） 40 7 ； （3） 222 2AEDBCD，详见解析 【分析】 （1）连接OB，求出OBAC，根据/BFAC
33、得到90FBO，问题得证； （2）作GHCD交CD于点H，证明DHGH，求出 CD=8，根据 3 tan 4 ACD ， 在Rt CGH中，设3GHa，则3DHa，4CHa，求出 32 7 CH ， 24 7 GH ,根据勾股定理即可 求出 CG； （3）作BMBE，使得BMBE，连接EM，CM证明ABECBM，得到AECM，证明 90CEM，得到 222 CMEMEC，根据数量关系进行代换即可得到 222 2AEDBCD 【详解】 证明： （1）连接OB， O是ABC的外接圆，AC是O的直径，点B是半圆ABC的中点， 45BACACB，OBAC 45ABO /BFAC 45ABF 90FBO
34、 BF与O相切； 解： （2）作GHCD交CD于点H， 点B是半圆周ABC的中点， ADBCDB AC是O的直径 90ADC 45CDB DHGH 在Rt ACD中，10AC ，6AD， 8CD 3 tan 4 ACD 在Rt CGH中，设3GHa，则3DHa，4CHa 348aa， 8 7 a ， 在Rt CGH中，设3GHa，则3DHa，4CHa ， 32 7 CH ， 24 7 GH 在Rt CGH中， 22 243240 777 CG 图 1 （3）结论： 222 2AEDBCD 作BMBE，使得BMBE，连接EM，CM 90ABCEBM， ABECBM， BABC，BEBM， ABE
35、CBM (SAS)， AECM， 45BECBDCBEM 90CEM， 222 CMEMEC， 222 22EMBEBD ，ECCD， 222 2AEDBCD 图 2 【点睛】 本题为圆的综合题目，考查了圆的性质，切线的判定，利用三角函数求线段的长，勾股定理等知识，综合 性较强解第（2）步关键是添加适当辅助线 GH,构造了等腰直角三角形 DHG和三边比为 3:4:5的直角三角 形 CGH；解（3）步关键是构造旋转全等，将三条线段转化在同一直角三角形 CEM中，得出数量关系后再 进行线段的代换 15在 Rt ABC中,AB=AC,D 为 BC边上一点(不与点 B,C重合),将线段 AD绕点 A
36、逆时针旋转 90 得到 AE. (1)连接 EC，如图，试探索线段 BC，CD，CE 之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)连接 DE，如图，求证：BD2+CD2=2AD2 (3)如图,在四边形 ABCD中， ABC=ACB=ADC=45 ， 若 BD= 13， CD=1， 则 AD的长为 .(直 接写出答案） 【答案】 （1）BC=DC+EC，理由见解析； （2）见解析； （3） 6 【分析】 （1）根据本题中的条件证出 BADCAE（SAS）, 得到 BD=CE,再根据条件即可证出结果. （2）由（1）中的条件可得DCE=ACE+ACB=90 , 所以 CE2+CD2=ED2,可推出
37、 BD2+CD2= 2 ED ,再根据 勾股定理可得出结果. （3）作 AEAD,使 AE=AD，连接 CE,DE,可推出 BADCAE（SAS）,所以 BD=CE= 13,再根据勾股 定理求得 DE. 【详解】 解： （1）结论：BC=DC+EC 理由：如图中, BAC=DAE=90 , BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE, 在 BAD和 CAE中, ABAC BADCAE ADAE , BADCAE（SAS）; BD=CE, BC=BD+CD=EC+CD, 即：BC=DC+EC. （2）BD2+CD2=2AD2, 理由如下：连接 CE, 由（1）得， BADCAE, BD=C
38、E，ACE=B, DCE=ACE+ACB=90 , CE2+CD2=ED2, 即：BD2+CD2=ED2; 在 Rt ADE中,AD2+AE2=ED2,又 AD=AE, ED2=2AD2; BD2+CD2=2AD2; （3）AD的长为6(学生直接写出答案）. 作 AEAD,使 AE=AD,连接 CE,DE, BAC+CAD=DAE+CAD, 即BAD=CAE, 在 BAD与 CAE中, AB=AC，BAD=CAE，AD=AE. BADCAE（SAS）, BD=CE= 13, ADC=45 ,EDA=45 , EDC=90 , DE2=CE2-CD2=（ 13） 2-12=12, DE=2 3,
39、 DAE=90 ,AD2+AE2=DE2, AD= 6. 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定 理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 16如图， EBF为等腰直角三角形，点 B 为直角顶点， 四边形 ABCD 是正方形 求证： ABECBF； CF与 AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论 【答案】 （1）见解析； （2）CFAE，理由见解析 【分析】 （1） 根据等腰直角三角形的性质得出 BE=BF， EBF=90 ， 再根据正方形的性质得出 AB=BC， ABC=90 ， 根据余
40、角的性质得到EBA=CBF，最后根据 SAS证明结果； （2）延长 CF，交 AE于点 G，根据补角的性质得出AEB+BFG=180 ，再根据四边形内角和得出 EGF+EBF=180 ，从而可得EGF=90 ，即可得到结果. 【详解】 解： （1）EBF为等腰直角三角形， BE=BF，EBF=90 ， 则EBA+FBA=90 ， 四边形 ABCD为正方形， AB=BC，ABC=90 ，则ABF+CBF=90 ， EBA=CBF， 又BE=BF，AB=BC， ABECBF（SAS） ； （2）延长 CF，交 AE于点 G， 由（1）得：CFB=AEB， CFB+BFG=180 ， AEB+BFG
41、=180 ， EGF+EBF=180 ， EBF=90 ， EGF=90 ， CFAE. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和，解题的关键是根据题意证明 ABECBF. 17如图， AOB 和 COD均为等腰直角三角形，AOBCOD90 ，点 C、D分别在边 OA、OB上的 点连接 AD，BC，点 H为 BC中点，连接 OH （1）如图 1，求证：OH 1 2 AD，OHAD； （2）将 COD 绕点 O旋转到图 2所示位置时，中结论是否仍成立？若成立，证明你的结论；若不成立， 请说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）成立，证明见解析 【分析】 （1）
42、只要证明 AODBOC（SAS） ，即可解决问题； （2） 如图 2 中， 结论： OH= 1 2 AD， OHAD 延长 OH到 E， 使得 HE=OH， 连接 BE， 证明 BEHCHO （SAS） ，可得 OE=2OH，EBC=BCO，证明 BEOODA（SAS）即可解决问题； 【详解】 （1）OAB 与 OCD为等腰直角三角形，AOBCOD90 OCOD，OAOB 在 AOD与 BOC 中 OAOB AODBOC ODOC AODBOC（SAS） ADOBCO，OADOBC，BCAD 点 H是 BC的中点，AOB90 OHHB 1 2 BC OBHHOBOAD，OH 1 2 AD OA
43、DADO90 ADOBOH90 OHAD （2） （1）中结论成立；如图，延长 OH到 E，使得 HEOH，连接 BE，CE CHBH 四边形 BOCE是平行四边形 BEOC，EBOC，OH 1 2 OE EBOCOB180 COBBOD90 ，BOD190 1COB AOD1180 AODEBO BEOODA EOBDAO，OEAD OH 1 2 AD DAOAOHEOBAOH90 OHAD 【点晴】 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形 三边关系等知识，构造全等三角形解决问题是解题的关键. 18如图 1，在等腰直角三角形ABC中，动点
44、 D在直线 AB（点 A与点 B重合除外）上时，以 CD为一腰 在 CD上方作等腰直角三角形ECD，且90ECD，连接 AE （1）判断 AE 与 BD的数量关系和位置关系；并说明理由 （2）如图 2，若4BD ，P，Q两点在直线 AB上且5EPEQ，试求 PQ的长 （3）在第（2）小题的条件下，当点 D在线段 AB的延长线（或反向延长线）上时，判断 PQ的长是否为定 值分别画出图形，若是请直接写出 PQ的长；若不是请简单说明理由 【答案】 （1）AE=BD 且 AEBD； （2）6； （3）PQ为定值 6，图形见解析 【分析】 （1）由“SAS”可证 ACEBCD，可得 AE=BD，EAC=
45、DBC=45 ，可得 AEBD； （2）由等腰三角形的性质可得 PA=AQ，由勾股定理可求 PA的长，即可求 PQ的长； （3）分两种情况讨论，由“SAS”可证 ACEBCD，可得 AE=BD，EAC=DBC，可得 AEBD，由 等腰三角形的性质可得 PA=AQ，由勾股定理可求 PA的长，即可求 PQ的长 【详解】 解： （1）AE=BD，AEBD， 理由如下：ABC， ECD 都是等腰直角三角形， AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90 ，ABC=CAB=45 ， ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD， ACEBCD（SAS） AE=BD，EAC=DBC=45 ， EAC+CAB
46、=90 ， AEBD； （2）PE=EQ，AEBD， PA=AQ， EP=EQ=5，AE=BD=4， AQ= 22 = 25 16=3EQAE， PQ=2AQ=6； （3）如图 3，若点 D在 AB的延长线上， ABC， ECD都是等腰直角三角形， AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90 ，ABC=CAB=45 ， ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD， ACEBCD（SAS） AE=BD，CBD=CAE=135 ，且CAB=45 ， EAB=90 ， PE=EQ，AEBD， PA=AQ， EP=EQ=5，AE=BD=4， AQ= 22 = 25 16=3EQAE， PQ=2AQ=6； 如图 4，若点 D在 BA的延长线上， ABC， ECD都是等腰直角三角形， AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90 ，ABC=CAB=45 ， ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD， ACEBCD（SAS） AE=BD，CBD=CAE=45 ，且CAB=45 ， EAB=90 ， PE=EQ，AEBD， PA=AQ， EP=EQ=5，AE=BD=4， AQ= 22 = 25 16=3EQAE， PQ=2AQ=6. 【点睛】 本题是三角形综合题， 考查了全等三角形的判定和性质， 等腰三
