1、专题专题 10 10 手拉手模型手拉手模型 一、单选题一、单选题 1如图，在 OAB 和 OCD 中，OAOB，OCOD，OAOC，AOBCOD40 ，连接 AC，BD 交于点 M，连接 OM下列结论：ACBD；AMB40 ；OM 平分BOC；MO 平分BMC其 中正确的个数为（ ） A B C D 【答案】D 【分析】 由SAS证明AOCBOD得出OCAODB，ACBD，正确； 由全等三角形的性质得出OACOBD， 由三角形的外角性质得：AMBOACAOBOBD， 得出40AMBAOB，正确； 作OGMC于G，OHMB于H，如图所示：则90OGCOHD，由AAS证明 ()OCGODH AAS
2、DD ，得出OGOH，由角平分线的判定方法得出MO平分BMC，正确； 由AOBCOD，得出当DOMAOM时，OM才平分BOC，假设DOMAOM，由 AOCBOD得出COMBOM?，由MO平分BMC得出CMOBMO，推出 COMBOMDD， 得O B O C， 而O A O B， 所以OAOC， 而O A O C， 故错误； 即可得出结论 【详解】 解：40AOBCOD， AOBAODCODAOD， 即AOCBOD， 在AOC和BOD中， OAOB AOCBOD OCOD = ? = ， ()AOCBOD SAS ， OCAODB，ACBD，正确； OACOBD， 由三角形的外角性质得：AMBO
3、ACAOBOBD， 40AMBAOB，正确； 作OGMC于G，OHMB于H，如图 2所示： 则90OGCOHD， 在OCG和ODH中， OCAODB OGCOHD OCOD ? ? ? = ， ()OCGODH AAS ， OGOH， MO平分BMC，正确； AOBCOD， 当 DOMAOM时，OM才平分BOC， 假设DOMAOM AOCBOD， COMBOM ?， MO平分BMC， CMOBMO ?， 在COM和BOM中， COMBOM OMOM CMOBMO ? ? = ? ， ()COMBOM ASA DD ， OBOC， OAOB OAOC 与OAOC矛盾， 错误； 综上所述，正确的是
4、； 故选：D 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题 的关键 2如图，AB=AD，AC=AE，DAB=CAE=50 ，以下四个结论：ADCABE；CD=BE； DOB=50 ；点 A在DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】D 【分析】 根据全等三角形的判定及角平分线的性质即可依次判断 【详解】 DAB=CAE DAB+BAC=CAE+BAC DAC=EAB AB=AD，AC=AE ADCABE CD=BE，故正确； ADCABE ADC =ABE 设 AB与 CD交于 G点， AGD =BG
5、C DOB=DAB=50 ,故正确； 过点 A作 AFCD 于 F点，过点 A 作 AHBE于 H点， 则 AF、AH分别是 ADC与 ABE边上的高 ADCABE AF=AH 点 A在DOE的平分线上，正确 故选 D 【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知角平分线的性质与判定 3如图，ACD和AEB都是等腰直角三角形， 90CADEAB ，四边形ABCD是平行四边形， 下列结论中错误的是（ ） AACE以点A为旋转中心，逆时针方向旋转90 后与ADB重合 BACB以点A为旋转中心，顺时针方向旋转270 o后与 DAC重合 C沿AE所在直线折叠后，ACE 与ADE重合
6、D沿AD所在直线折叠后， ADB与ADE重合 【答案】3B 【分析】 本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断 【详解】 解：A根据题意可知 AE=AB，AC=AD，EAC=BAD=135 ， EACBAD，旋转角EAB=90 ，正确； B因为平行四边形是中心对称图形，要想使 ACB和 DAC 重合， ACB 应该以对角线的交点为旋转中 心，顺时针旋转 180 ，即可与 DAC 重合，错误； C根据题意可EAC=135 ，EAD=360 EACCAD=135 ，AE=AE，AC=AD， EACEAD，正 确； D根据题意可知BAD=135 ，EAD=360 BADBAE=135 ，
7、AE=AB，AD=AD， EADBAD， 正确 故选 B 【点睛】 本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点 二、填空题二、填空题 4如图，点 B、C、E在同一条直线上，ABC与CDE都是等边三角形，下列结论：AE=BD； DGCEFC；线段 AE和 BD所夹锐角为 80 ；FGBE其中正确的是_ （填序号） 【答案】 【分析】 利用等边三角形的性质证明BCDACE可判断，利用BCDACE，可得,BDCAEC 利用 三角形的外角的性质可得60 ,AHB 从而可判断， 再结合等边三角形的性质证明DGCEFC可 判断， 由DGCEFC可得：CGCF，结合6
8、0 ,ACD可得60CFG，从而可判断 【详解】 解：如图，记AE与BD的交点为H， ABC与CDE都是等边三角形， AC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60 点 B、C、E在同一条直线上， ACD=60 ， BCD=ACE=120 在BCD和ACE中， BCAC BCDACE CDCE BCDACE， ,BDAE 所以结论正确； BCDACE， BDC=CEA， AHB=DBE+BEA=DBE+BDC=180BCD=60 ， 所以错误； 在GCD和FCE中， GCDDCE CECD CDBCEA ， GCDFCE， 所以正确； GCDFCE， CG=CF，ACD=60 ， GFC=60，
9、 又DCE=60 ， GFC=DCE， GFBC，所以正确 故答案为： 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，平行线的判定，解决本题的关键是找到 判定三角形全等的条件 5 如图， C 为线段 AE 上一动点 （不与点 A， E 重合） ， 在 AE 同侧分别作等边三角形 ABC 和等边三角形 CDE， AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下结论：PQ/AE；AOE 120 ；CO 平分BCD；CPQ 是等边三角形，OC+BOAO 恒成立的是_ 【答案】 【分析】 由“SAS ”可证ACD BCE ，可得C
10、BEDAC，由“ASA”可得CPCQ，利用全等三角形的性质 依次判断可求解 【详解】 解：等边ABC和等边CDE， ACBC，CDCE，60ACBDCE， ACBBCDDCEBCD，即 ACDBCE， 在ACD与BCE中， ACBC ACDBCE CDCE ， ()ACDBCE SAS ， CBEDAC ， 又60ACBDCE， 60BCD，即ACPBCQ ， 又ACBC， ()CQBCPA ASA ， CPCQ， 又 60PCQ， PCQ 为等边三角形，故正确； 60PQCDCE， / /PQAE，故正确； 60DACAEBDACADCDCE， 120AOE，故正确； 如图，在AP上截取NO
11、Q，连接CN， CQBCPA ， CPCQ ， CPNCQO ， BQAN ， ()CPNCQO SAS ， CNCO，BCNOCQ， ACNBCO ，60NCO， 又ACBC， ()ACNBCO SAS ， BOAN， 60NCO，COCN， NCO是等边三角形， NOCO， AOANNOBOCO，故正确； OC不一定垂直AE， ACO不一定等于ECO， BCO不一定等于DCO， CO不一定平分BCD，故错误； 故答案为： 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行 线的判定与性质，能熟练应用相关性质是解题的关键 三、解答题三、解答
12、题 6如图，点 C是线段 AB上任意一点（点 C 与点 A，B 不重合） ，分别以 AC，BC为边在直线 AB 的同侧作 等边三角形 ACD和等边三角形 BCE，AE与 CD相交于点 M，BD与 CE 相交于点 N连接 MN 证明： （1） ACEDCB； （2） ACMDCN； （3）MNAB 【答案】 （1）见解析（2）见解析（3）见解析 【分析】 （1）由等边三角形的性质得出 ACCD，BCCE，ACDBCE60 ，得出DCBACE，由 SAS 即可得出 ACEDCB； （2）由全等三角形的性质得出EACBDC，再证出ACDDCE，由 ASA 证明 ACMDCN即 可； （3）由全等三角
13、形的性质得出 CMCN，证出 MCN是等边三角形，得出MNCNCB60 ，即可得 出结论 【详解】 （1）ACD 和 BCE是等边三角形， ACCD，BCCE，ACDBCE60 ， ACDDCEBCEDCE，DCBACE， 在 ACE与 DCB 中， ACCD DCBACE BCCE ， ACEDCB（SAS） ； （2）由（1）得： ACEDCB， EACBDC， ACDBCE60 ， DCE60 ， ACDDCE， 在 ACM与 DCN 中， EACBDC ACDC ACDBCE ， ACMDCN（ASA） （3）由（2）得： ACMDCN， CMCN， 又MCN180606060 ， M
14、CN是等边三角形， MNC60 NCB， MNAB 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质， 证明三角形全等是解决问题的关键 7如图，两个正方形 ABCD与 DEFG，连结 AG，CE，二者相交于点 H （1）证明： ADGCDE； （2）请说明 AG和 CE的位置和数量关系，并给予证明； （3）连结 AE和 CG，请问 ADE 的面积和 CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由 【答案】(1)答案见解析；(2) AG=CE，AGCE；(3) ADE的面积= CDG的面积 【分析】 （1）利用 SAS证明 ADGCDE； （2） 利
15、用 ADGCDE得到 AG=CE， DAG=DCE， 利用DAG+AMD=90 得到DCE+CMG=90 ， 即可推出 AGCE； （3） ADE的面积= CDG的面积， 作GPCD于P， ENAD交AD的延长线于N， 证明 DPGDNE， 得到 PG=EN，再利用三角形的面积公式分别表示出 ADE的面积， CDG的面积，即可得到结论 ADE 的面积= CDG的面积. 【详解】 （1）四边形 ABCD与 DEFG 都是正方形， AD=CD，DG=DE，ADC=EDG=90 ， ADC+CDG=EDG+CDG， ADG=CDE， ADGCDE（SAS） ， （2）AG=CE，AGCE， ADGC
16、DE， AG=CE，DAG=DCE， DAG+AMD=90 ，AMD=CMG， DCE+CMG=90 ， CHA=90 ， AGCE； （3） ADE的面积= CDG的面积， 作 GPCD于 P，ENAD交 AD 的延长线于 N，则DPG=DNE=90 ， GDE=90 ， EDN+GDN=90 ， PDG+GDN=90 ， EDN=PDG， DE=DG， DPGDNE， PG=EN， ADE 的面积= 1 2 AD EN， CDG的面积= 1 2 CD GP， ADE 的面积= CDG的面积. 【点睛】 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形
17、全等 的条件是解题的关键. 8在 ABC中，BAC=90 ，AC=AB，点 D 为直线 BC上的一动点，以 AD为边作 ADE（顶点 ADE 按逆时针方向排列） ，且DAE=90 ，AD=AE，连接 CE （1）如图 1，若点 D在 BC边上（点 D与 BC不重合） ， 求证： ABDACE； 求证： 222 DEBDCD （2）如图 2，若点 D在 CB的延长线上，若 DB=5，BC=7，则 ADE的面积为_ （3）如图 3，若点 D在 BC的延长线上，以 AD 为边作等腰 Rt ADE，DAE=90 ，连结 BE，若 BE=10， BC=6，则 AE的长为_ 【答案】 （1）见解析；见解析
18、； （2）169 4 ； （3）34 【分析】 （1）根据BAC=DAE，推出BAD=CAE，再结合 AB=AC，AD=AE，即可证明 ABDACE， 根据ABD=ACE，可得ABD+ACB=ACE+ACB=BCE，根据 BD=CE，即可证明结论； （2）过点 A作 AFDE 于点 F，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质，易得 AF 1 2 DE，利用全等 三角形的判定定理可得 ABDACE， 由全等三角形的性质可得ADBAEC， DBEC， 易得 EC5， DC12，利用勾股定理可得 DE的长，利用三角形的面积公式可得结论； （3）根据 Rt BCE中，BE10，BC6，求得 CE 22
19、 10 -6 8，进而得出 CD862，在 Rt DCE 中，求得 DE 22 28 = 68，最后根据 ADE 是等腰直角三角形，即可得出 AE 的长 【详解】 （1）BAC=DAE， BAD=CAE， 又AB=AC，AD=AE， ABDACE， ABDACE， ABD=ACE，BD=CE， ABD+ACB=ACE+ACB=DCE=90 ， 22222 DECDCECDBD； （2）过点 A作 AFDE于点 F ADAE， 点 F是 DE的中点， DAE90 ， AF 1 2 DE， 同理可证 ABDACE， ADBAEC，DBEC， DB5，BC7， EC5，DC12， DAE90 ， A
20、DEAED90 ， ADCCDEAED90 ， AECAEDCDE90 ， 即CEDCDE90 ， ECD90 ， DE2CE2CD225144169， DE0， DE13， AF 13 2 ， ADE 的面积为 1 2 DEAF 1 2 1313 2 169 4 ； （3）由（1）可知： ABDACE， BDCE，ABDACE， BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=90 ， Rt BCE 中，BE10，BC6， CE 22 10 -6 8， BDCE8， CD862， Rt DCE 中，DE 22 28 = 68， ADE 是等腰直角三角形， AE 2 DE 68 2 = 34 【点睛】
21、 本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，还有等腰三角形的性质等，综合利用定理，作出恰当 的辅助线是解答此题的关键 9如图，在ABC中，以 AB，AC 为边向外作等边ABF和等边 ACE，连结 BE，CF交于点 O 求证： （1）AEBACF； （2）AO平分EOF 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【分析】 （1）先根据等边三角形的性质可得,60ABAF AEACCAEBAF ，再根据角的和差可得 BAEFAC，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）如图（见解析） ，先根据三角形全等的性质可得, AEBACF SSBECF，再根据三角形的面积公式 可得ADAG，由
22、此即可得证 【详解】 （1）ABF和ACE都是等边三角形， ,60ABAF AEACCAEBAF ， CAEBACBAFBAC，即BAEFAC， 在AEB和ACF中， ABAF BAEFAC AEAC ， ()AEBACF SAS ； （2）如图，过点 A作ADBE于点 D，作AGCF于点 G，连接 AO， 由（1）已证：AEBACF， , AEBACF SSBECF， 11 22 BE ADCF AG， ADAG， 点 A 在 EOF的角平分线上， 即 AO平分EOF 【点睛】 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识点，熟练掌握 三角形全等的判定定理
23、与性质是解题关键 10如图，ABC中，ACBC，DCE中，DCEC ，且DCEACB，当把两个三角形如图 放置时，有ADBE （不需证明） （1）当把DCE绕点C旋转到图的情况，其他条件不变，AD和BE还相等吗？请在图中选择 一种情况进行证明； （2）若图中AD和BE交于点P，连接PC，求证：PC平分BPD 【答案】 （1）相等，证明见解析； （2）证明见解析 【分析】 （1）利用 SAS证出 DCAECB，即可证出结论； （2）过点 C作 CMAD于 M，CNBE 于 N，利用 SAS 证出 DCAECB，从而得出 CM=CN，然后 利用角平分线的判定定理即可证出结论 【详解】 解： （1）
24、相等，证明图如下 DCEACB DCEACEACBACE DCAECB 在 DCA和 ECB 中 ACBC DCAECB DCEC DCAECB ADBE； （2）过点 C作 CMAD于 M，CNBE 于 N DCEACB DCEACEACBACE DCAECB 在 DCA和 ECB 中 ACBC DCAECB DCEC DCAECB CM=CN CMAD，CNBE PC平分BPD 【点睛】 此题考查的是全等三角形的判定及性质和角平分线的判定，掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判 定是解题关键 11如图 1，点P是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AP、PB为边在线段AB的同旁做等边
25、 三角形APC和等边三角形PBD，连接AD和 BC 相交于点 Q， （1）求证：ADBC （2）求DQB的度数 （3）如图 2所示，APC和PBD仍为等边三角形，但PA和PB不在同一条直线上，ADBC是否 成立，DQB的度数与图 1 是否相等，请直接写出结论 【答案】 （1）见解析； （2）60 ； （3）成立，相等 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到 PA=PC，APC=60 ，PB=PD，BPD=60 ，于是得到APD=CPB， 证得 APDCPB，即可证明 AD= BC； （2）由 APDCPB，再根据三角形的外角的性质即可求解； （2）根据等边三角形的性质得到 PA=PC，APC
26、=60 ，PB=PD，BPD=60 ，于是得到APD=CPB， 证得 APDCPB，即可证明 AD= BC，再根据三角形的外角的性质即可求得AQC=60 【详解】 （1）APC是等边三角形， PA=PC，APC=60 ， BDP 是等边三角形， PB=PD，BPD=60 ， APC=BPD， APD=CPB， 在 APD与 CPB中， APPC APDCPB PDPB ， APDCPB(SAS)， AD= BC； （2）由（1）得： APDCPB， PAD=PCB， QAP+QAC+ACP=120 ， QCP+QAC+ACP=120 ， AQC=180 -120 =60 ； （3）AD= BC
27、成立，AQC=60 ， 理由如下： APC是等边三角形， PA=PC，APC=60 ， BDP 是等边三角形， PB=PD，BPD=60 ， APC=BPD， APD=CPB， 在 APD与 CPB中， APPC APDCPB PDPB ， APDCPB(SAS)， AD= BC； PAD=PCB， QAP+QAC+ACP=120 ， QCP+QAC+ACP=120 ， AQC=180 -120 =60 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，正 确证明两个三角形全等是解题的关键 12B，C，D三点在一条直线上， ABC 和 ECD是
28、等边三角形求证：BE=AD 【答案】证明见解析 【分析】 证简单的线段相等，可通过证线段所在的三角形全等来得出结论观察所求和已知条件，可证 ACDBCE；这两个三角形中，已知的条件有：BC=AC，EC=CD，而ACD和BCE 同为 60 角的补 角，由此可根据 SAS 证得两三角形全等，即可得证 【详解】 解：ABC和 ECD 是等边三角形， ACB=ECD=60 ，BC=AC，EC=CD ACB+ACE=ECD+ACE， 即BCE=ACD 在 BCE和 ACD 中， BCAC BCEACD ECCD BCEACD（SAS） BE=AD 13如图， ABD和 BCE都为等边三角形，连接 AE、
29、CD求证：AEDC 【答案】见解析 【分析】 先由 ABD和 BCE是等边三角形，可知 AB=BD，BE=BC，ABD=CBE，从而得到ABE=CBD， 即可证明 ABEDBC，从而得到结论 【详解】 解：证明：ABD和 BCE 都为等边三角形， AB=BD，BE=BC，ABD=CBE， ABE=CBD， ABEDBC（SAS） ， AE=DC 【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出 ABEDBC是解答此题 的关键 14如图，C 为线段 AE上一动点（不与点 A，E重合） ，在 AE同侧分别作正三角形 ABC和正三角形 CDE （正三角形也叫等边三角形，
30、它的三条边都相等，三个内角都等于 60 ） ，AD与 BE 交于点 O，AD与 BC 交于点 P，BE与 CD交于点 Q，连结 PQ试说明： （1）AD=BE； （2）填空AOE= ； （3）CP=CQ； 【答案】 （1）见解析； （2）120； （3）见解析 【分析】 （1）由于 ABC和 CDE是等边三角形，可知 AC=BC，CD=CE，ACB=DCE=60 ，从而证出 ACDBCE，可推知 AD=BE； （2）由（1）推出CAD=CBE，利用三角形内角和定理可求得BOP=ACP=60 ，从而求得AOE的 度数； （3） 由 ACDBCE 得CBE=DAC， 加之ACB=DCE=60 ，
31、AC=BC， 得到 CQBCPA （ASA） ， 从而证明 CP=CQ 【详解】 （1）ABC 和 CDE为等边三角形， AC=BC，CD=CE，BCA=DCE=60 ， ACD=BCE， 在 ACD与 BCE 中， ACBC ACDBCE CDCE ， ACDBCE(SAS)， AD=BE； （2）ACDBCE， CAD=CBE， APC=BPO， BOP=ACP=60 ， AOE=18060 =120 ， 故答案为：120； （3）ACDBCE， CAD=CBE， ACB=DCE=60 ， BCQ=60 ， 在 CQB和 CPA中， 60 CBQCAP BCAC BCQACP ， CQBC
32、PA（ASA） ， CP=CQ 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，解题的关键是正确寻找全 等三角形解决问题 15如图 1，等边 ABC中，AO是BAC的角平分线，D为 AO上一点，以 CD为一边且在 CD 下方作等 边 CDE，连结 BE （1）求证： ACDBCE； （2）图 2，延长 BE至 Q，P 为 BQ 上一点，连结 CP，CQ 使 CPCQ5，若 BC8时，求 PQ的长 【答案】 （1）见解析； （2）6PQ 【分析】 （1）由题意易得ACBC，CDCE，60ACBDCE，然后根据题意可进行求证； （2）作CHBQ交BQ于H，则2PQH
33、Q，由（1）易得30CBHCAO，然后根据勾股定 理求解即可 【详解】 （1）ABC和 CDE均为等边三角形，ACBC，CDCE， 且60ACBDCE，60ACDDCBDCBBCE， ACDBCE，ACDBCEVV （2）作CHBQ交BQ于H，则2PQHQ， 在RtBHC中，由已知和（1）得30CBHCAO， 4CH ，在RtCHQ中， 2222 543HQCQCH， 26PQHQ 【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质与判定及勾股定理、含 30 角的直角三角形，关键是根据题意得到三角形的 全等，然后根据勾股定理及直角三角形的性质进行求解问题即可 16如图，在ABC和ADE中，BAC=DAE=
34、90 ，点 P 为射线 BD，CE 的交点 （1）问题提出：如图 1，若 AD=AE，AB=AC BD与 CE 的数量关系为 ； BPC的度数为 （2）猜想论证：如图 2，若ADE=ABC=30 ，则（1）中的结论是否成立？请说明理由如果不正确请 写出正确结论 （3）拓展延伸：在（1）的条件中，若 AB=3，AD=1，若把ADE绕点 A旋转，当EAC=90 时，直接写 出 PB的长 【答案】 （1）相等，90 ； （2）结论不成立， 3 BD CE ，结论成立； （3） 3 10 5 或 6 10 5 【分析】 （1）依据等腰三角形的性质得到ABAC，ADAE，依据同角的余角相等得到DABCA
35、E， 然后依据“SAS”可证明 ADBAEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BDCE； 由三角形内角和定理可求BPC的度数； （2）先判断出ADBAEC，即可得出结论； （3）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明PEBAEC，最后 依据相似三角形的性质进行证明即可 【详解】 解： （1）ABC和ADE是等腰直角三角形， 90BACDAE， ABAC，ADAE，DABCAE45ABCACB ()ADBAEC SAS BDCE， 故答案为：相等； 18018045()BPCABDABCBCPBCPACE 90BPC 故答案为： 90 （2） （1）中结论不成立， 3
36、 BD CE ；结论成立，理由： 在Rt ABC中，30ABC， 3ABAC ， 在Rt ADE中，30ADE， 3ADAE ， ADAE ABEC ， 90BACDAE ， BADCAE， ADBAEC VV ABDACE； =3 BDAD CEAE ； 18018030()BPCABDABCBCPBCPACE 90BPC （3）解：如图，当点E在AB上时，2BEABAE 90EAC， 2222 1310CEAEAC 同（1）可证ADBAEC DBAECA 又PEBAEC， PEBAEC PBBE ACCE 2 310 PB 3 10 5 PB 如图，当点E在BA延长线上时，4BEABAE
37、90EAC， 10CE 同（1）可证ADBAEC DBAECA BEPCEA， PEBAEC PBBE ACCE 4 310 PB 6 10 5 PB 综上所述，PB的长为 3 10 5 或 6 10 5 【点睛】 本题是三角形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三 角形的性质和判定，证明得PEBAEC是解题的关键 17如图所示，已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC判断线段 EC 与 BF 数量关系和位置关系， 并 给予证明 【答案】EC=BF，ECBF，理由详见解析 【分析】 先由条件可以得出EAC=BAE，再证明 EACBAF就可以得出
38、 EC=BF，再利用角度之间的转化可 得BMD=90 ，即可证明 ECBF 【详解】 解：EC=BF， ECBF 证明如下：AEAB，AFAC， BAE=CAF=90 ， BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF， 在 ABF和 AEC 中， AEAB EACBAF AFAC ， ABFAEC（SAS） ， EC=BF，AEC=ABF， AEAB， BAE=90 ， AEC+ADE=90 ， ADE=BDM（对顶角相等） ， ABF+BDM=90 ， 在 BDM中，BMD=180 -ABF-BDM=180 -90 =90 ， ECBF 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质的运用，
39、垂直的判定的运用 解答时注意证明三角形全等的手拉手模型 18如图，B，C，E三点在一条直线上， ABC和 DCE 均为等边三角形，BD 与 AC 交于点 M，AE与 CD 交于点 N （1）求证：AEBD； （2）连接 MN，求证：MNBE； （3）若把 DCE绕点 C顺时针旋转一个角度， （1）中的结论还成立吗？说明理由 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）成立，理由见解析 【分析】 （1） 根据等边三角形边长相等的性质和各内角为60的性质可求得BCDACE， 根据全等三角形对应 边相等的性质即可求得AEBD （2）CMN是等边三角形，由BCDACE可知CBMCAN，根据ASA可
40、证明 BCMACN，得到CMCN，又60MCN，可知CMN是等边三角形，得到60CMN， 由60ACB，得到CMNACB，所以/BCMN （3）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同 【详解】 解： （1）证明：如图 1中，ABC与DCE都是等边三角形， ACBC，CDCE，60ACBDCE， 180ACBACDDCE， 60ACD，ACBACDACDDCE， 即BCDACE 在BCD和ACE中， BCAC BCDACE CDCE ， BCDACE BDAE （2）证明：如图 1 中，连接MN， BCDACE， CBMCAN 在BCM和ACN中 CBMCAN BCAC ACBACD ， BCM
41、ACN ， CMCN， 60ACBDCE， 60MCN， CMN是等边三角形， 60CMN， 60ACB， CMNACB ， /MNBC （3）成立AEBD；理由如下： 如图 2 中，ABC、DCE均为等边三角形， BCAC，CDCE，60BCADCE， BCAACDDCEACD ， 即BCDACE， 在ACE和BCD中， ACBC BCDACE CDCE ， ()ACEBCD SAS ， AEBD 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用解决本题的关键是证明三角形全 等，属于中考常考题型 19在 ABC中,AB=AC,点 D 是直线 BC上一点(不与 B C重
42、合)，以 AD为一边在 AD 的右侧作 ADE，使 AD=AE，DAE=BAC，连接 CE (1)如图 1,当点 D 在线段 BC上,如果BAC=90 ，则BCE= 度； (2)如图 2， 说明： ABDACE 说明：CE+DC=BC 设BAC=， BCE= 当点 D在直线 BC上移动， 则 ， 之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论 【答案】 （1）90 ； （2）详见解析； 详见解析； （3）相等或互补 【分析】 （1）要求BCE 的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得 出 ABDACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出
43、结论； （2）根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出 ABDACE 即可； 问要求BCE 的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得 出 ABDACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论； 问在第问的基础上，进行分析解答即可 【详解】 解： （1）90 理由：BAC=DAE， BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE 在 ABD与 ACE中， ABAC BADCAE ADAE ， ABDACE（SAS） ， B=ACE B+ACB=ACE+ACB， BCE=B+ACB， 又BAC=90 BCE=90 ； 故答案为：90
44、（2）BAC=DAE， BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE 在 ABD与 ACE中， ABAC BADCAE ADAE ， ABDACE（SAS） ； BAC=DAE， BAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE 在 ABD与 ACE中， ABAC BADAE ADAE ， ABDACE（SAS） ， B=ACE B+ACB=ACE+ACB， BCE=B+ACB， 又BAC=90 BCE=90 ， +=180； 相等或互补,理由： （1）当点 D在射线 BC 的反向延长线上时，= DAE=BAC， DAB=EAC， 在 ADB 和 AEC中， ADAE DABEAC ABAC
45、， ADBAEC（SAS） ， ABD=ACE， ABD=BAC+ACB，ACE=BCE+ACB， BCE=B+ACB， 又BAC=90 BCE=90 ， +=180 （2）当点 D在线段 BC和 BC延长线上时，是 +=180， 在 BC的反向延长线上时，是 =， 综上所述，+=180或 = 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进 角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键 20如图，DAC、EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M 、N， 求证： （1）AEBD； （2）CMCN； （3）CMN为等边三角形；
46、（4）/MN BC 【答案】 （1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）见解析 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得出 AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60 ，求出ACE=DCB，根据 SAS 推出 ACEDCB 即可； （2） 根据全等三角形的性质得出CAE=CDB， 根据等边三角形的性质得出 AC=DC， ACM=BCE=60 ， 求出DCE=60 ，推出ACM=DCN，根据 ASA 推出 ACMDCN即可； （3）根据有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形推出 CMN为等边三角形，推出 CMN=CNM=DCN=60 ，求出CMN=ACM=60 ，即可得出答案； （4）根据等边三角形的性质得出CMN=ACM=60 ，根据平行线的判定得出即可 【详解】 解：证明： （1）DAC、 EBC均是等边三角形， AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60 ， ACD+DCE=BCE+DCE， 即ACE=DCB， 在 ACE 和 DCB中， ACDC ACEDCB
