1、2019-2020 学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 （5 分）已知，且，则（ ） A B C Dx1，y1 3 （5 分）已知椭圆 C：，直线 l：x+mym（mR） ，l 与 C 的公共点个数 为（ ） A0 个 B
2、1 个 C2 个 D0 或 1 或 2 4 （5 分）已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是（ ） A B C D 5 （5 分）已知拋物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线的上焦点，则 a（ ） A4 B8 C8 D8 6 （5 分）已知，则向量与 的夹角是（ ） A90 B60 C30 D0 7 （5 分）下列命题正确的是（ ） （1）命题“xR，2x0”的否定是“x0R，” ； （2）l 为直线， 为两个不同的平面，若 l，则 l； （3）给定命题 p，q，若“pq 为真命题” ，则p 是假命题； 第
3、 2 页（共 21 页） （4） “”是“”的充分不必要条件 A （1） （4） B （2） （3） C （3） （4） D （1） （3） 8 （5 分）已知命题 p： “关于 x 的方程 x24x+a0 有实根” ，若非 p 为真命题是 a3m+1 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，1 9 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，动点 P 在 ABCD 内，且到直线 AA1， BB1的距离之和等于，则PAB 的面积最大值是（ ） A B1 C D2 10 （5 分）设椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点
4、分别为 F1、F2，其焦距为 2c， 点 Q（c， ）在椭圆的外部，点 P 是椭圆 C 上的动点，且恒 成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D 11 （5 分）设点 P 是双曲线1（a，b0）上异于实轴端点上的任意一点，F1， F2分别是其左右焦点，O 为中心，则此双曲线的离心率为 （ ） A B C D3 12 （5 分）如图，C，M，N 分别是 BC，AB 的中点，将BMN 沿直 线 MN 折起，使二面角 B'MNB 的大小为，则 B'N 与平面 ABC 所成角的正切值是 （ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小
5、题 5 分，共分，共 20 分分. 第 3 页（共 21 页） 13 （5 分）命题“已知不共线向量，若，则 0”的等价命题 为 14 （5 分）在空间四边形 ABCD 中，连接 AC、BD，若BCD 是正三角形，且 E 为其中心， 则+的化简结果为 15 （5 分）已知 p：x2x6 或 x2x6，q：xZ若“p 且 q”与“非 q”同时为假命 题，则 x 的值的集合为 16 （5 分）已知过抛物线 y24x 的焦点 F，且斜率为的直线与抛物线交于 A、B 两点， 则 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分
6、分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17设命题 p：方程表示双曲线；命题 q：斜率为 k 的直线 l 过定点 P（2， 1） ，且与抛物线 y24x 有两个不同的公共点若 pq 是真命题，求 k 的取值范围 18如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，则棱 SB 垂直于底面 （）求证：平面 SBD平面 SAC； （）若 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为，求 SB 的长 19设命题 p：函数 f（x）lg（ax2x+16a）的定义域为 R；命题 q：不等式 3x9xa 对 任意 xR 恒成立 （）如果 p 是真命题，求
7、实数 a 的取值范围； （）如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围 20如图所示，曲线 C 由部分椭圆 C1：+1（ab0，y0）和部分抛物线 C2：y x2+1 （y0） 连接而成， C1与 C2的公共点为 A， B， 其中 C1所在椭圆的离心率为， 第 4 页（共 21 页） （1）求 a，b 的值； （2）过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q（P，Q，A，B 中任意两点均不重合） ， 若 APAQ，求直线 l 的方程 21如图，直线 AQ平面 ，直线 AQ平行四边形 ABCD，四棱锥 PABCD 的顶点 P 在 平面
8、上，ADDB，ACBDO，OPAQ，AQ2，M，N 分别 是 AQ 与 CD 的中点 （1）求证：MN平面 QBC； （2）求二面角 MCBQ 的余弦值 22已知ABC 中，B（1，0） ，C（1，0） ，AB6，点 P 在 AB 上，且BACPCA （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若，过点 C 的直线与 E 交于 M，N 两点，与直线 x9 交于点 K，记 QM， QN，QK 的斜率分别为 k1，k2，k3，试探究 k1，k2，k3的关系，并证明 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二学年江西省抚州市临川一中、临
9、川一中实验学校高二 （上）期中数学试卷（理科）（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 （5 分）设 xR，则“x25x0”是“|x1|1”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】解：x25x0，0x5， |x1|1，0x2， 0x5 推不出 0x2
10、， 0x20x5， 0x5 是 0x2 的必要不充分条件， 即 x25x0 是|x1|1 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题 2 （5 分）已知，且，则（ ） A B C Dx1，y1 【分析】根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件， 即可求出结果 【解答】解：， （1+2x，4，4y） ，（2x，3，22y） ， ， ，解得 故选：B 第 6 页（共 21 页） 【点评】此题考查空间向量共线的充要条件，以及运算能力，属基础题 3 （5 分）已知椭圆 C：，直线 l：x+mym（mR） ，l 与 C 的公共点个数 为（
11、） A0 个 B1 个 C2 个 D0 或 1 或 2 【分析】判断直线系经过的定点与椭圆的位置关系，然后判断公共点的个数 【解答】解：直线 l：x+mym（mR） ，恒过定点（，1） ， 定点（，1）在椭圆 C：的外面， 所以直线 l：x+mym（mR）与 C 的公共点个数可能为 0 或 1 或 2 故选：D 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，是基本知识的考查，基础题 4 （5 分）已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，下列条件中能确定定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是（ ） A B C D 【分析】由共面向量定理可得：若定点 M 与点 A
12、、B、C 一定共面，则存在实数 x，y， 使得，即+y，即可判断出 【解答】解：由共面向量定理可得：若定点 M 与点 A、B、C 一定共面，则存在实数 x， y，使得， 化为+y， AC中的系数不满足和为 1，而 B 的可以化为：，因此 OM 平行与平面 ABC，不满足题意，舍去 而 D 中的系数：1，可得定点 M 与点 A、B、C 一定共面 故选：D 【点评】本题考查了共面向量定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 7 页（共 21 页） 5 （5 分）已知拋物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线的上焦点，则 a（ ） A4 B8 C8 D8 【分析】 利用抛物线的方程及双曲线的方程求出
13、抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标， 列出方程求出 a 【解答】解：抛物线 x2ay（a0）的焦点为（0，） ， 双曲线的焦点为（0，2） ， a0， 2， a8， 故选：B 【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求圆锥曲线中的参数、圆锥曲线的共同特征等基础 知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基本知识的考查 6 （5 分）已知，则向量与 的夹角是（ ） A90 B60 C30 D0 【分析】根据向量的坐标即可求出，从而得出，这样 即可得出与的夹角 【解答】解：， ， ， 与的夹角为 90 故选：A 【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，向量夹角的定 义，考查了计
14、算能力，属于基础题 7 （5 分）下列命题正确的是（ ） 第 8 页（共 21 页） （1）命题“xR，2x0”的否定是“x0R，” ； （2）l 为直线， 为两个不同的平面，若 l，则 l； （3）给定命题 p，q，若“pq 为真命题” ，则p 是假命题； （4） “”是“”的充分不必要条件 A （1） （4） B （2） （3） C （3） （4） D （1） （3） 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，判断（1）正确； 根据空间中的直线与平面的位置关系，判断（2）错误； 根据复合命题的真假性，判断 p 是真命题，p 是假命题， （3）正确； 根据充分与必要条件判断（4）错误 【解答】解
15、：对于（1） ，根据全称命题的否定是特称命题知， 命题“xR，2x0”的否定是“x0R，” ，所以（1）正确； 对于（2） ，l 为直线， 为两个不同的平面， 当 l， 时，有 l 或 l，因此（2）错误； 对于（3） ，根据复合命题的真假性知，当“pq 为真命题”时， p、q 都是真命题，所以p 是假命题，所以（3）正确； 对于（4） ，sin时 不成立，时 sin成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，因此（4）错误； 综上，正确的命题序号是（1） （3） 故选：D 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，主要是全称命题与特称命题的定义，复合命 题以及空间中直线与平面的位置关系应用问题，是基
16、础题 8 （5 分）已知命题 p： “关于 x 的方程 x24x+a0 有实根” ，若非 p 为真命题是 a3m+1 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围是（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，1 【分析】根据方程有解，求出 a 范围，结合非 p 是 a3m+1 的充分不必要条件，转化为 不等式关系进行求解即可 【解答】解：若方程 x24x+a0 有实根，则判别式164a0 得 a4，即 p：a4， 非 p：a4， 第 9 页（共 21 页） 若非 p 为真命题是 a3m+1 的充分不必要条件， 则 43m+1，得 m1， 即实数 m 的取值范围是（，1）
17、， 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据方程有解求出命题 p 的等价条 件是解决本题的关键比较基础 9 （5 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，动点 P 在 ABCD 内，且到直线 AA1， BB1的距离之和等于，则PAB 的面积最大值是（ ） A B1 C D2 【分析】 PAB 的 AB 边上的高， 当 PAPB 时最大， 这时 PAPB， 即可求出PAB 的面积最大值 【解答】解：AA1和 BB1都面 ABCD， P 到直线 AA1，BB1的距离就是 PA 和 PB， PA+PB2， PAB 的 AB 边上的高，当 PAPB 时最大，这时 P
18、APB， 最大的高， 最大面积2 故选：C 【点评】本题考查PAB 的面积最大值，考查点到直线距离的计算，属于中档题 10 （5 分）设椭圆 C：+1（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，其焦距为 2c， 点 Q（c， ）在椭圆的外部，点 P 是椭圆 C 上的动点，且恒 成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D 【分析】Q（c， ）在椭圆的外部，求出 a，b 的范围，又根据|PF1|+|PQ|2a+|PQ|PF2| 2a+|QF2|，求出 a，c 的范围，代入即可 【解答】解：点 Q（c，）在椭圆的外部，所以，即 a22b2， 第 10 页（共 21 页） 所以 e， 由恒成立
19、， |PF1|+|PQ|2a+|PQ|PF2|2a+|QF2|2a+3c，即 a， 所以又 e1， 故选：C 【点评】考查椭圆中的恒成立问题，几何法求出 a，b，c 的关系，中档题 11 （5 分）设点 P 是双曲线1（a，b0）上异于实轴端点上的任意一点，F1， F2分别是其左右焦点，O 为中心，则此双曲线的离心率为 （ ） A B C D3 【分析】可得cosPOF1， 结 合可 得 2c利用 PF2PF12a即可求解 【解答】解：如图，cosPOF1 +可得 又 由可得2c PF2PF12a 4a22c23c27a2， e 故选：A 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查了双曲线
20、的离心率，考查了余弦定理及运算能力，考查了转化思想， 属于中档题 12 （5 分）如图，C，M，N 分别是 BC，AB 的中点，将BMN 沿直 线 MN 折起，使二面角 B'MNB 的大小为，则 B'N 与平面 ABC 所成角的正切值是 （ ） A B C D 【分析】C，先得到BND 就为斜线 BN 与平面 ABC 所成的 角设为 ， 设 BC2， AC， BMB'M1， DMB'Mcos60， B'DB'Msin60 ，又 MN，所以 DN，所以 tan，解出即可 【解答】解：C，M、N 分别是 BC、AB 的中点， 将BMN 沿直线 MN
21、折起，使二面角 BMNB 的大小为BMB， 取 BM 的中点 D，连 BD，ND， 由于折叠之前 BM 与 CM 都始终垂直于 MN，这在折叠之后仍然成立， 折叠之后平面 BMN 与平面 BMN 所成的二面角即为BMD60， 并且 B在底面 ACB 内的投影点 D 就在 BC 上，BDBC，BDAD，BD面 ABC， BND 就为斜线 BN 与平面 ABC 所成的角设为 ， 第 12 页（共 21 页） 设 BC2，AC，BMB'M1，DMB'Mcos60，B'DB'Msin60， 又 MN，所以 DN， 所以 tan， 故选：C 【点评】考查二面角的平面角，线
22、面角等内容，综合性较高，中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小小题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题“已知不共线向量，若，则 0”的等价命题 为 “已知不共线向量，若 0 或 0，则” 【分析】直接利用原命题的逆否命题的应用求出结果 【解答】解：已知不共线向量，若，则 0”的等价命题为： “已知不共线向量，若 0 或 0，则” 故答案为： “已知不共线向量，若 0 或 0，则” 【点评】本题考查的知识要点：简易逻辑中等价命题的应用，主要考查学生的运算能力 和转换能力及思维能力，属于基础题型 14 （5 分）在空间四边形 ABCD 中，连接 A
23、C、BD，若BCD 是正三角形，且 E 为其中心， 则+的化简结果为 【分析】取 BC 中点，根据等边三角形性质，可得，替换所求式子 中的相关量即可得答案 【解答】解：如图， 取 BC 边中点 F，连接 DF，则， 则+ ， 第 13 页（共 21 页） 故答案为 【点评】本题考查平面向量基本定理，数形结合，合理利用等边三角形性质是关键，属 于中档题 15 （5 分）已知 p：x2x6 或 x2x6，q：xZ若“p 且 q”与“非 q”同时为假命 题，则 x 的值的集合为 1，0，1，2 【分析】 “p 且 q”与“非 q”同时为假命题，则 p 为假命题，q 为真命题，等价成关于 x 的不等式
24、组，即可得到 x 的值的集合 【解答】解：依题意，若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题， 则 p 为假命题，q 为真命题， 所以，解得2x3 且 xZ， 所以 x 的值的集合为1，0，1，2， 故答案为：1，0，1，2 【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了不等式的解法，主要考查了逻辑推理能力 和计算能力，属于基础题 16 （5 分）已知过抛物线 y24x 的焦点 F，且斜率为的直线与抛物线交于 A、B 两点， 则 1 【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程，以及直线方程，联立抛物线方程，解方程 求得 A，B 的横坐标，再由抛物线的定义可得|AF|，|BF|，|AB|，计算可得所求值 【
25、解答】解：抛物线 y24x 的焦点 F（1，0） ，准线方程为 x1， 过 F 且斜率为的直线方程为 y（x+1） ， 代入抛物线方程 y24x，可得 3x2+10x+30， 解得 x3 或 x， 第 14 页（共 21 页） 由抛物线的定义可得|AF|1+34，|BF|1+， |AB|2（3）， 则1， 故答案为：1 【点评】本题考查抛物线的定义和方程的应用，考查直线和抛物线方程联立，求交点， 考查方程思想和运算能力，属于基础题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17
26、设命题 p：方程表示双曲线；命题 q：斜率为 k 的直线 l 过定点 P（2， 1） ，且与抛物线 y24x 有两个不同的公共点若 pq 是真命题，求 k 的取值范围 【分析】分别求出 p，q 为真时，k 的取值范围，再利用 pq 为真命题，即可求 k 的取值 范围 【解答】解：命题 p 真，则（2+k） （3k+1）0，解得 k2 或，（3 分） 命题 q 为真，由题意，设直线 l 的方程为 y1k（x+2） ，即 ykx+2k+1，（4 分） 联立方程组，整理得 ky24y+4（2k+1）0，（5 分） 要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足，（7 分） 解得且 k0（9 分） 若 pq
27、是真命题，则，即 所以 k 的取值范围为（12 分） 【点评】本题考查复合命题的真假研究，解题的关键是求出 p，q 为真时，k 的取值范围 18如图，四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形，则棱 SB 垂直于底面 （）求证：平面 SBD平面 SAC； （）若 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为，求 SB 的长 第 15 页（共 21 页） 【分析】 （）连结 AC，BD，证明 ACBD，ACSB，得出 AC面 SBD，即可证明平 面 SAC平面 SBD； （）将四棱锥补成正四棱柱 ABCDASCD，连结 AD，作 AEAD 于 E， 连结 SE， 证明 AE面 SCD
28、，得出ASE 为 SA 与平面 SCD 所成角的平面角，利用直角三角形的边 角关系求出 SB 的长 【解答】 （）证明：连结 AC，BD，如图 1 所示； 四边形 ABCD 是正方形，ACBD， SB底面 ABCD，ACSB， AC面 SBD， 又由 AC面 SAC，面 SAC面 SBD （）解：将四棱锥补成正四棱柱 ABCDASCD， 连结 AD，作 AEAD 于 E，连结 SE，如图 2 所示； 由 SACD，知平面 SCD 即为平面 SCDA， CD侧面 ADDA，CDAE， 又 AEAD，AE面 SCD， ASE 即为 SA 与平面 SCD 所成角的平面角， 设 SBx， 在直角ABS
29、 中，由勾股定理得 SA； 在直角SAE 中，得 AE； 在直角DAA中，ADAEADAA， 即1x； 第 16 页（共 21 页） 解得 x2 或 x； SB 的长为 2 或 【点评】本题考查了空间中的垂直关系证明问题，也考查了直线与平面所成的角计算问 题，是中档题 19设命题 p：函数 f（x）lg（ax2x+16a）的定义域为 R；命题 q：不等式 3x9xa 对 任意 xR 恒成立 （）如果 p 是真命题，求实数 a 的取值范围； （）如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）命题 p 是真命题，有 a0，0，即求解即可 （）命题 q
30、 是真命题，不等式 3x9xa 对一切 xR 均成立，设 y3x9x，令 t3x 0，则 ytt2，t0，通过函数的最值求解 a 的范围，利用复合命题的真假关系求解 即可 【解答】解： （）命题 p 是真命题，则 ax2x+16a0 恒成立，得到 a0，164a2 0，即 a，或 a（舍去） ， 所以 a 的取值范围为 （）命题 q 是真命题，不等式 3x9xa 对一切 xR 均成立， 第 17 页（共 21 页） 设 y3x9x，令 t3x0，则 ytt2，t0， 当时，所以 命题“pq”为真命题， “pq”为假命题，则 p，q 一真一假 即有或 a， 综上，实数 a 的取值范围 【点评】本
31、题考查命题的真假的判断与应用，换元法以及二次函数的性质的应用，是基 本知识的考查 20如图所示，曲线 C 由部分椭圆 C1：+1（ab0，y0）和部分抛物线 C2：y x2+1 （y0） 连接而成， C1与 C2的公共点为 A， B， 其中 C1所在椭圆的离心率为， （1）求 a，b 的值； （2）过点 B 的直线 l 与 C1，C2分别交于点 P，Q（P，Q，A，B 中任意两点均不重合） ， 若 APAQ，求直线 l 的方程 【分析】 （1）在抛物线的方程中，令 y0，解得 b1，再由离心率公式和 a，b，c 的关 系，可得 a； （2）求得椭圆的方程，令直线的方程为 xmy+1
32、，代入椭圆方程和抛物线的方程，求得 P，Q 的坐标，由向量垂直的条件：数量积为 0，解方程可得 m，进而得到所求直线的方 程 【解答】解： （1）在 C2的方程中令 y0 可得 b1， 由及 a2c2b21，得 a， a，b1 （2）由（1）知，上半椭圆 C1的方程为 y2+2x22（y0） 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直， 第 18 页（共 21 页） 设其方程为 xmy+1 （m0） ，并将其代入 C1的方程， 整理得（2m2+1）y2+4my0， 故可解得点 P 的坐标为（，） ，显然 m0， 同理，将 xmy+1 （m0）代入 C2的方程， 整理得 m2y2+y+2my0，
33、得点 Q 的坐标为（，） ， APAQ， （+1） （+1）0， 即 8m2+2m0，解得 m，符合 m0， 故直线 l 的方程为 4x+y40 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆、抛物线的位置关系，注意联立 直线方程，求交点，同时考查向量垂直的条件，属于中档题 21如图，直线 AQ平面 ，直线 AQ平行四边形 ABCD，四棱锥 PABCD 的顶点 P 在 平面 上，ADDB，ACBDO，OPAQ，AQ2，M，N 分别 是 AQ 与 CD 的中点 （1）求证：MN平面 QBC； （2）求二面角 MCBQ 的余弦值 【分析】 （1）利用中位线定理，证明 ONBC，OMQC，再利用面
34、面平行的判定定理， 可知平面 OMN平面 QBC，由于 MN平面 OMN，MN平面 QBC； 第 19 页（共 21 页） （2） 根据题干相关信息以 DA， DB，DZ 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 根据位置关系确定空间内点的坐标，求出平面 MCB 的法向量，平面 QCB 的法向量，根据夹角公式即可求出二面角的平面角的余弦值 【解答】 【答案】 （1）连接 OM，ON，底面 ABCD 为平行四边形， N 是 CD 的中点，O 是 BD 的中点， ONBC， M 是 AQ 的中点，O 是 AC 的中点，OMQC，ONOMO，BCQCC， 平面 OMN平面 QBC，MN平面
35、 OMN，MN平面 QBC； （2）由 AQ平面 ，AQ平行四边形 ABCD 平面 底面 ABCD，OPAQ，OPAQ2， 四边形 PQAO 为矩形，且 PO底面 ABCD，ADDB， 过 D 作 DZOP，以 DA，DB，DZ 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系（如 图） 由，知 DB2， ， 设平面 MCB 的法向量， 则，取 y11，z12，x10，即， 设平面 QCB 的法向量， 第 20 页（共 21 页） 则，取 y21，z22，x20，即， 二面角 MCBQ 的平面角 的余弦值 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查中位线定理、面 面平行的判
36、定、线面平行的判定、利用空间向量求二面角的余弦值等基础知识，考查运 算求解能力，考查数形结合思想，是中档题 22已知ABC 中，B（1，0） ，C（1，0） ，AB6，点 P 在 AB 上，且BACPCA （1）求点 P 的轨迹 E 的方程； （2）若，过点 C 的直线与 E 交于 M，N 两点，与直线 x9 交于点 K，记 QM， QN，QK 的斜率分别为 k1，k2，k3，试探究 k1，k2，k3的关系，并证明 【分析】 （1）利用已知条件判断 P 的轨迹为椭圆，转化求解即可 （2）如图，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，可设直线 MN 方程为 yk（x1） ，则 K
37、（4， 3k） ，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理转化求解斜率关系，证明 k1+k22k3 【解答】解： （1）如图三角形 ACP 中，BACPCA，所以 PAPC， 所以 PB+PCPB+PAAB6， 所以点 P 的轨迹是以 B，C 为焦点，长轴为 4 的椭圆（不包含实轴的端点） ， 所以点 P 的轨迹 E 的方程为 （2）k1，k2，k3的关系：k1+k22k3 证明：如图，设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 可设直线 MN 方程为 yk（x1） ，则 K（4，3k） ， 第 21 页（共 21 页） 由可得（9k2+8）x218k2x+（9k272）0， ， ， ， 因为， 所以：k1+k22k3 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的定义的应用，考查转化思 想以及计算能力，是难题
