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本文(2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二(上)期中数学试卷(理科)含详细解答)为本站会员(hua****011)主动上传,七七文库仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。 若此文所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知七七文库(发送邮件至373788568@qq.com或直接QQ联系客服),我们立即给予删除!

2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二(上)期中数学试卷(理科)含详细解答

1、2019-2020 学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二(上)期中数学试卷(理科)一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)设 xR,则“x25x0”是“|x1|1”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 (5 分)已知,且,则( ) A B C Dx1,y1 3 (5 分)已知椭圆 C:,直线 l:x+mym(mR) ,l 与 C 的公共点个数 为( ) A0 个 B

2、1 个 C2 个 D0 或 1 或 2 4 (5 分)已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是( ) A B  C D 5 (5 分)已知拋物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线的上焦点,则 a( ) A4 B8 C8 D8 6 (5 分)已知,则向量与 的夹角是( ) A90 B60 C30 D0 7 (5 分)下列命题正确的是( ) (1)命题“xR,2x0”的否定是“x0R,” ; (2)l 为直线, 为两个不同的平面,若 l,则 l; (3)给定命题 p,q,若“pq 为真命题” ,则p 是假命题; 第

3、 2 页(共 21 页) (4) “”是“”的充分不必要条件 A (1) (4) B (2) (3) C (3) (4) D (1) (3) 8 (5 分)已知命题 p: “关于 x 的方程 x24x+a0 有实根” ,若非 p 为真命题是 a3m+1 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是( ) A (1,+) B1,+) C (,1) D (,1 9 (5 分)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,动点 P 在 ABCD 内,且到直线 AA1, BB1的距离之和等于,则PAB 的面积最大值是( ) A B1 C D2 10 (5 分)设椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点

4、分别为 F1、F2,其焦距为 2c, 点 Q(c, )在椭圆的外部,点 P 是椭圆 C 上的动点,且恒 成立,则椭圆离心率的取值范围是( ) A B C D 11 (5 分)设点 P 是双曲线1(a,b0)上异于实轴端点上的任意一点,F1, F2分别是其左右焦点,O 为中心,则此双曲线的离心率为 ( ) A B C D3 12 (5 分)如图,C,M,N 分别是 BC,AB 的中点,将BMN 沿直 线 MN 折起,使二面角 B'MNB 的大小为,则 B'N 与平面 ABC 所成角的正切值是 ( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小

5、题 5 分,共分,共 20 分分. 第 3 页(共 21 页) 13 (5 分)命题“已知不共线向量,若,则 0”的等价命题 为   14 (5 分)在空间四边形 ABCD 中,连接 AC、BD,若BCD 是正三角形,且 E 为其中心, 则+的化简结果为   15 (5 分)已知 p:x2x6 或 x2x6,q:xZ若“p 且 q”与“非 q”同时为假命 题,则 x 的值的集合为   16 (5 分)已知过抛物线 y24x 的焦点 F,且斜率为的直线与抛物线交于 A、B 两点, 则   三、解答题:本题共三、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分

6、分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17设命题 p:方程表示双曲线;命题 q:斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2, 1) ,且与抛物线 y24x 有两个不同的公共点若 pq 是真命题,求 k 的取值范围 18如图,四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形,则棱 SB 垂直于底面 ()求证:平面 SBD平面 SAC; ()若 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为,求 SB 的长 19设命题 p:函数 f(x)lg(ax2x+16a)的定义域为 R;命题 q:不等式 3x9xa 对 任意 xR 恒成立 ()如果 p 是真命题,求

7、实数 a 的取值范围; ()如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围 20如图所示,曲线 C 由部分椭圆 C1:+1(ab0,y0)和部分抛物线 C2:y x2+1 (y0) 连接而成, C1与 C2的公共点为 A, B, 其中 C1所在椭圆的离心率为,  第 4 页(共 21 页) (1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2分别交于点 P,Q(P,Q,A,B 中任意两点均不重合) , 若 APAQ,求直线 l 的方程 21如图,直线 AQ平面 ,直线 AQ平行四边形 ABCD,四棱锥 PABCD 的顶点 P 在 平面

8、上,ADDB,ACBDO,OPAQ,AQ2,M,N 分别 是 AQ 与 CD 的中点 (1)求证:MN平面 QBC; (2)求二面角 MCBQ 的余弦值 22已知ABC 中,B(1,0) ,C(1,0) ,AB6,点 P 在 AB 上,且BACPCA  (1)求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若,过点 C 的直线与 E 交于 M,N 两点,与直线 x9 交于点 K,记 QM, QN,QK 的斜率分别为 k1,k2,k3,试探究 k1,k2,k3的关系,并证明 第 5 页(共 21 页) 2019-2020 学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高二学年江西省抚州市临川一中、临

9、川一中实验学校高二 (上)期中数学试卷(理科)(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)设 xR,则“x25x0”是“|x1|1”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件  C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】解:x25x0,0x5, |x1|1,0x2, 0x5 推不出 0x2

10、, 0x20x5, 0x5 是 0x2 的必要不充分条件, 即 x25x0 是|x1|1 的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,是一道基础题 2 (5 分)已知,且,则( ) A B C Dx1,y1 【分析】根据已知条件分别求出、的坐标,利用空间向量共线的充要条件, 即可求出结果 【解答】解:, (1+2x,4,4y) ,(2x,3,22y) , , ,解得 故选:B 第 6 页(共 21 页) 【点评】此题考查空间向量共线的充要条件,以及运算能力,属基础题 3 (5 分)已知椭圆 C:,直线 l:x+mym(mR) ,l 与 C 的公共点个数 为(

11、) A0 个 B1 个 C2 个 D0 或 1 或 2 【分析】判断直线系经过的定点与椭圆的位置关系,然后判断公共点的个数 【解答】解:直线 l:x+mym(mR) ,恒过定点(,1) , 定点(,1)在椭圆 C:的外面, 所以直线 l:x+mym(mR)与 C 的公共点个数可能为 0 或 1 或 2 故选:D 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,是基本知识的考查,基础题 4 (5 分)已知 A、B、C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定定点 M 与点 A、B、C 一定共面的是( ) A B  C D 【分析】由共面向量定理可得:若定点 M 与点 A

12、、B、C 一定共面,则存在实数 x,y, 使得,即+y,即可判断出 【解答】解:由共面向量定理可得:若定点 M 与点 A、B、C 一定共面,则存在实数 x, y,使得, 化为+y, AC中的系数不满足和为 1,而 B 的可以化为:,因此 OM 平行与平面 ABC,不满足题意,舍去 而 D 中的系数:1,可得定点 M 与点 A、B、C 一定共面 故选:D 【点评】本题考查了共面向量定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 第 7 页(共 21 页) 5 (5 分)已知拋物线 x2ay 的焦点恰好为双曲线的上焦点,则 a( ) A4 B8 C8 D8 【分析】 利用抛物线的方程及双曲线的方程求出

13、抛物线的焦点坐标和双曲线的焦点坐标, 列出方程求出 a 【解答】解:抛物线 x2ay(a0)的焦点为(0,) , 双曲线的焦点为(0,2) , a0, 2, a8, 故选:B 【点评】本题考查由圆锥曲线的方程求圆锥曲线中的参数、圆锥曲线的共同特征等基础 知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于基本知识的考查 6 (5 分)已知,则向量与 的夹角是( ) A90 B60 C30 D0 【分析】根据向量的坐标即可求出,从而得出,这样 即可得出与的夹角 【解答】解:, , , 与的夹角为 90 故选:A 【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件,向量夹角的定 义,考查了计

14、算能力,属于基础题 7 (5 分)下列命题正确的是( ) 第 8 页(共 21 页) (1)命题“xR,2x0”的否定是“x0R,” ; (2)l 为直线, 为两个不同的平面,若 l,则 l; (3)给定命题 p,q,若“pq 为真命题” ,则p 是假命题; (4) “”是“”的充分不必要条件 A (1) (4) B (2) (3) C (3) (4) D (1) (3) 【分析】根据全称命题的否定是特称命题,判断(1)正确; 根据空间中的直线与平面的位置关系,判断(2)错误; 根据复合命题的真假性,判断 p 是真命题,p 是假命题, (3)正确; 根据充分与必要条件判断(4)错误 【解答】解

15、:对于(1) ,根据全称命题的否定是特称命题知, 命题“xR,2x0”的否定是“x0R,” ,所以(1)正确; 对于(2) ,l 为直线, 为两个不同的平面, 当 l, 时,有 l 或 l,因此(2)错误; 对于(3) ,根据复合命题的真假性知,当“pq 为真命题”时, p、q 都是真命题,所以p 是假命题,所以(3)正确; 对于(4) ,sin时 不成立,时 sin成立, 所以“”是“”的必要不充分条件,因此(4)错误; 综上,正确的命题序号是(1) (3) 故选:D 【点评】本题考查了命题真假的判断问题,主要是全称命题与特称命题的定义,复合命 题以及空间中直线与平面的位置关系应用问题,是基

16、础题 8 (5 分)已知命题 p: “关于 x 的方程 x24x+a0 有实根” ,若非 p 为真命题是 a3m+1 的充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是( ) A (1,+) B1,+) C (,1) D (,1 【分析】根据方程有解,求出 a 范围,结合非 p 是 a3m+1 的充分不必要条件,转化为 不等式关系进行求解即可 【解答】解:若方程 x24x+a0 有实根,则判别式164a0 得 a4,即 p:a4,  非 p:a4, 第 9 页(共 21 页) 若非 p 为真命题是 a3m+1 的充分不必要条件, 则 43m+1,得 m1, 即实数 m 的取值范围是(,1)

17、, 故选:C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据方程有解求出命题 p 的等价条 件是解决本题的关键比较基础 9 (5 分)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中,动点 P 在 ABCD 内,且到直线 AA1, BB1的距离之和等于,则PAB 的面积最大值是( ) A B1 C D2 【分析】 PAB 的 AB 边上的高, 当 PAPB 时最大, 这时 PAPB, 即可求出PAB 的面积最大值 【解答】解:AA1和 BB1都面 ABCD, P 到直线 AA1,BB1的距离就是 PA 和 PB, PA+PB2, PAB 的 AB 边上的高,当 PAPB 时最大,这时 P

18、APB, 最大的高, 最大面积2 故选:C 【点评】本题考查PAB 的面积最大值,考查点到直线距离的计算,属于中档题 10 (5 分)设椭圆 C:+1(ab0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其焦距为 2c, 点 Q(c, )在椭圆的外部,点 P 是椭圆 C 上的动点,且恒 成立,则椭圆离心率的取值范围是( ) A B C D 【分析】Q(c, )在椭圆的外部,求出 a,b 的范围,又根据|PF1|+|PQ|2a+|PQ|PF2| 2a+|QF2|,求出 a,c 的范围,代入即可 【解答】解:点 Q(c,)在椭圆的外部,所以,即 a22b2, 第 10 页(共 21 页) 所以 e, 由恒成立

19、, |PF1|+|PQ|2a+|PQ|PF2|2a+|QF2|2a+3c,即 a, 所以又 e1, 故选:C 【点评】考查椭圆中的恒成立问题,几何法求出 a,b,c 的关系,中档题 11 (5 分)设点 P 是双曲线1(a,b0)上异于实轴端点上的任意一点,F1, F2分别是其左右焦点,O 为中心,则此双曲线的离心率为 ( ) A B C D3 【分析】可得cosPOF1, 结 合可 得 2c利用 PF2PF12a即可求解 【解答】解:如图,cosPOF1 +可得 又 由可得2c PF2PF12a 4a22c23c27a2, e 故选:A 第 11 页(共 21 页) 【点评】本题考查了双曲线

20、的离心率,考查了余弦定理及运算能力,考查了转化思想, 属于中档题 12 (5 分)如图,C,M,N 分别是 BC,AB 的中点,将BMN 沿直 线 MN 折起,使二面角 B'MNB 的大小为,则 B'N 与平面 ABC 所成角的正切值是 ( ) A B C D 【分析】C,先得到BND 就为斜线 BN 与平面 ABC 所成的 角设为 , 设 BC2, AC, BMB'M1, DMB'Mcos60, B'DB'Msin60 ,又 MN,所以 DN,所以 tan,解出即可 【解答】解:C,M、N 分别是 BC、AB 的中点, 将BMN 沿直线 MN

21、折起,使二面角 BMNB 的大小为BMB, 取 BM 的中点 D,连 BD,ND, 由于折叠之前 BM 与 CM 都始终垂直于 MN,这在折叠之后仍然成立, 折叠之后平面 BMN 与平面 BMN 所成的二面角即为BMD60, 并且 B在底面 ACB 内的投影点 D 就在 BC 上,BDBC,BDAD,BD面 ABC, BND 就为斜线 BN 与平面 ABC 所成的角设为 , 第 12 页(共 21 页) 设 BC2,AC,BMB'M1,DMB'Mcos60,B'DB'Msin60, 又 MN,所以 DN, 所以 tan, 故选:C 【点评】考查二面角的平面角,线

22、面角等内容,综合性较高,中档题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小小题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)命题“已知不共线向量,若,则 0”的等价命题 为 “已知不共线向量,若 0 或 0,则” 【分析】直接利用原命题的逆否命题的应用求出结果 【解答】解:已知不共线向量,若,则 0”的等价命题为: “已知不共线向量,若 0 或 0,则” 故答案为: “已知不共线向量,若 0 或 0,则” 【点评】本题考查的知识要点:简易逻辑中等价命题的应用,主要考查学生的运算能力 和转换能力及思维能力,属于基础题型 14 (5 分)在空间四边形 ABCD 中,连接 A

23、C、BD,若BCD 是正三角形,且 E 为其中心, 则+的化简结果为 【分析】取 BC 中点,根据等边三角形性质,可得,替换所求式子 中的相关量即可得答案 【解答】解:如图, 取 BC 边中点 F,连接 DF,则, 则+ , 第 13 页(共 21 页) 故答案为 【点评】本题考查平面向量基本定理,数形结合,合理利用等边三角形性质是关键,属 于中档题 15 (5 分)已知 p:x2x6 或 x2x6,q:xZ若“p 且 q”与“非 q”同时为假命 题,则 x 的值的集合为 1,0,1,2 【分析】 “p 且 q”与“非 q”同时为假命题,则 p 为假命题,q 为真命题,等价成关于 x 的不等式

24、组,即可得到 x 的值的集合 【解答】解:依题意,若“p 且 q”与“非 q”同时为假命题, 则 p 为假命题,q 为真命题, 所以,解得2x3 且 xZ, 所以 x 的值的集合为1,0,1,2, 故答案为:1,0,1,2 【点评】本题考查了复合命题的真假,考查了不等式的解法,主要考查了逻辑推理能力 和计算能力,属于基础题 16 (5 分)已知过抛物线 y24x 的焦点 F,且斜率为的直线与抛物线交于 A、B 两点, 则 1 【分析】求得抛物线的焦点坐标和准线方程,以及直线方程,联立抛物线方程,解方程 求得 A,B 的横坐标,再由抛物线的定义可得|AF|,|BF|,|AB|,计算可得所求值 【

25、解答】解:抛物线 y24x 的焦点 F(1,0) ,准线方程为 x1, 过 F 且斜率为的直线方程为 y(x+1) , 代入抛物线方程 y24x,可得 3x2+10x+30, 解得 x3 或 x, 第 14 页(共 21 页) 由抛物线的定义可得|AF|1+34,|BF|1+, |AB|2(3), 则1, 故答案为:1 【点评】本题考查抛物线的定义和方程的应用,考查直线和抛物线方程联立,求交点, 考查方程思想和运算能力,属于基础题 三、解答题:本题共三、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分.解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答本题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17

26、设命题 p:方程表示双曲线;命题 q:斜率为 k 的直线 l 过定点 P(2, 1) ,且与抛物线 y24x 有两个不同的公共点若 pq 是真命题,求 k 的取值范围 【分析】分别求出 p,q 为真时,k 的取值范围,再利用 pq 为真命题,即可求 k 的取值 范围 【解答】解:命题 p 真,则(2+k) (3k+1)0,解得 k2 或,(3 分) 命题 q 为真,由题意,设直线 l 的方程为 y1k(x+2) ,即 ykx+2k+1,(4 分) 联立方程组,整理得 ky24y+4(2k+1)0,(5 分) 要使得直线与抛物线有两个公共点,需满足,(7 分) 解得且 k0(9 分) 若 pq

27、是真命题,则,即 所以 k 的取值范围为(12 分) 【点评】本题考查复合命题的真假研究,解题的关键是求出 p,q 为真时,k 的取值范围  18如图,四棱锥 SABCD 的底面是边长为 1 的正方形,则棱 SB 垂直于底面 ()求证:平面 SBD平面 SAC; ()若 SA 与平面 SCD 所成角的正弦值为,求 SB 的长 第 15 页(共 21 页) 【分析】 ()连结 AC,BD,证明 ACBD,ACSB,得出 AC面 SBD,即可证明平 面 SAC平面 SBD; ()将四棱锥补成正四棱柱 ABCDASCD,连结 AD,作 AEAD 于 E, 连结 SE, 证明 AE面 SCD

28、,得出ASE 为 SA 与平面 SCD 所成角的平面角,利用直角三角形的边 角关系求出 SB 的长 【解答】 ()证明:连结 AC,BD,如图 1 所示; 四边形 ABCD 是正方形,ACBD, SB底面 ABCD,ACSB, AC面 SBD, 又由 AC面 SAC,面 SAC面 SBD ()解:将四棱锥补成正四棱柱 ABCDASCD, 连结 AD,作 AEAD 于 E,连结 SE,如图 2 所示; 由 SACD,知平面 SCD 即为平面 SCDA, CD侧面 ADDA,CDAE, 又 AEAD,AE面 SCD, ASE 即为 SA 与平面 SCD 所成角的平面角, 设 SBx, 在直角ABS

29、 中,由勾股定理得 SA; 在直角SAE 中,得 AE; 在直角DAA中,ADAEADAA, 即1x; 第 16 页(共 21 页) 解得 x2 或 x; SB 的长为 2 或 【点评】本题考查了空间中的垂直关系证明问题,也考查了直线与平面所成的角计算问 题,是中档题 19设命题 p:函数 f(x)lg(ax2x+16a)的定义域为 R;命题 q:不等式 3x9xa 对 任意 xR 恒成立 ()如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; ()如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围 【分析】 ()命题 p 是真命题,有 a0,0,即求解即可 ()命题 q

30、 是真命题,不等式 3x9xa 对一切 xR 均成立,设 y3x9x,令 t3x 0,则 ytt2,t0,通过函数的最值求解 a 的范围,利用复合命题的真假关系求解 即可 【解答】解: ()命题 p 是真命题,则 ax2x+16a0 恒成立,得到 a0,164a2 0,即 a,或 a(舍去) , 所以 a 的取值范围为 ()命题 q 是真命题,不等式 3x9xa 对一切 xR 均成立, 第 17 页(共 21 页) 设 y3x9x,令 t3x0,则 ytt2,t0, 当时,所以 命题“pq”为真命题, “pq”为假命题,则 p,q 一真一假 即有或 a, 综上,实数 a 的取值范围 【点评】本

31、题考查命题的真假的判断与应用,换元法以及二次函数的性质的应用,是基 本知识的考查 20如图所示,曲线 C 由部分椭圆 C1:+1(ab0,y0)和部分抛物线 C2:y x2+1 (y0) 连接而成, C1与 C2的公共点为 A, B, 其中 C1所在椭圆的离心率为,  (1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2分别交于点 P,Q(P,Q,A,B 中任意两点均不重合) , 若 APAQ,求直线 l 的方程 【分析】 (1)在抛物线的方程中,令 y0,解得 b1,再由离心率公式和 a,b,c 的关 系,可得 a; (2)求得椭圆的方程,令直线的方程为 xmy+1

32、,代入椭圆方程和抛物线的方程,求得 P,Q 的坐标,由向量垂直的条件:数量积为 0,解方程可得 m,进而得到所求直线的方 程 【解答】解: (1)在 C2的方程中令 y0 可得 b1, 由及 a2c2b21,得 a, a,b1 (2)由(1)知,上半椭圆 C1的方程为 y2+2x22(y0) 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直, 第 18 页(共 21 页) 设其方程为 xmy+1 (m0) ,并将其代入 C1的方程, 整理得(2m2+1)y2+4my0, 故可解得点 P 的坐标为(,) ,显然 m0, 同理,将 xmy+1 (m0)代入 C2的方程, 整理得 m2y2+y+2my0,

33、得点 Q 的坐标为(,) , APAQ, (+1) (+1)0, 即 8m2+2m0,解得 m,符合 m0, 故直线 l 的方程为 4x+y40 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查直线和椭圆、抛物线的位置关系,注意联立 直线方程,求交点,同时考查向量垂直的条件,属于中档题 21如图,直线 AQ平面 ,直线 AQ平行四边形 ABCD,四棱锥 PABCD 的顶点 P 在 平面 上,ADDB,ACBDO,OPAQ,AQ2,M,N 分别 是 AQ 与 CD 的中点 (1)求证:MN平面 QBC; (2)求二面角 MCBQ 的余弦值 【分析】 (1)利用中位线定理,证明 ONBC,OMQC,再利用面

34、面平行的判定定理, 可知平面 OMN平面 QBC,由于 MN平面 OMN,MN平面 QBC; 第 19 页(共 21 页) (2) 根据题干相关信息以 DA, DB,DZ 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 根据位置关系确定空间内点的坐标,求出平面 MCB 的法向量,平面 QCB 的法向量,根据夹角公式即可求出二面角的平面角的余弦值 【解答】 【答案】 (1)连接 OM,ON,底面 ABCD 为平行四边形, N 是 CD 的中点,O 是 BD 的中点, ONBC, M 是 AQ 的中点,O 是 AC 的中点,OMQC,ONOMO,BCQCC, 平面 OMN平面 QBC,MN平面

35、 OMN,MN平面 QBC; (2)由 AQ平面 ,AQ平行四边形 ABCD 平面 底面 ABCD,OPAQ,OPAQ2, 四边形 PQAO 为矩形,且 PO底面 ABCD,ADDB, 过 D 作 DZOP,以 DA,DB,DZ 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如 图) 由,知 DB2, , 设平面 MCB 的法向量, 则,取 y11,z12,x10,即, 设平面 QCB 的法向量, 第 20 页(共 21 页) 则,取 y21,z22,x20,即, 二面角 MCBQ 的平面角 的余弦值 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查中位线定理、面 面平行的判

36、定、线面平行的判定、利用空间向量求二面角的余弦值等基础知识,考查运 算求解能力,考查数形结合思想,是中档题 22已知ABC 中,B(1,0) ,C(1,0) ,AB6,点 P 在 AB 上,且BACPCA  (1)求点 P 的轨迹 E 的方程; (2)若,过点 C 的直线与 E 交于 M,N 两点,与直线 x9 交于点 K,记 QM, QN,QK 的斜率分别为 k1,k2,k3,试探究 k1,k2,k3的关系,并证明 【分析】 (1)利用已知条件判断 P 的轨迹为椭圆,转化求解即可 (2)如图,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,可设直线 MN 方程为 yk(x1) ,则 K

37、(4, 3k) ,联立直线与椭圆方程,通过韦达定理转化求解斜率关系,证明 k1+k22k3 【解答】解: (1)如图三角形 ACP 中,BACPCA,所以 PAPC, 所以 PB+PCPB+PAAB6, 所以点 P 的轨迹是以 B,C 为焦点,长轴为 4 的椭圆(不包含实轴的端点) , 所以点 P 的轨迹 E 的方程为 (2)k1,k2,k3的关系:k1+k22k3 证明:如图,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 可设直线 MN 方程为 yk(x1) ,则 K(4,3k) , 第 21 页(共 21 页) 由可得(9k2+8)x218k2x+(9k272)0, , , , 因为, 所以:k1+k22k3 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆的定义的应用,考查转化思 想以及计算能力,是难题