1、1.2 椭圆的简单性质椭圆的简单性质 第第 1 课时课时 椭圆的简单性质椭圆的简单性质 一、选择题 1.(2018 全国)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 41 的一个焦点为(2，0)，则 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 2 D.2 2 3 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 得离心率 答案 C 解析 a24228，a2 2，ec a 2 2 2 2 2 . 故选 C. 2.过椭圆x 2 4 y2 31 的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( ) A.8，6 B.4，3 C.2， 3 D.4，2 3 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程研究其他性质
2、答案 B 解析 由题意知 a2，b 3，c1，最长弦过两个焦点，长为 2a4，最短弦垂直于 x 轴， 长度为当 xc1 时，纵坐标的绝对值的 2 倍为 3. 3.已知椭圆x 2 a2 y2 b21 与椭圆 x2 25 y2 161 有相同的长轴，椭圆 x2 a2 y2 b21 的短轴长与椭圆 y2 21 x2 9 1 的短轴长相等，则( ) A.a225，b216 B.a29，b225 C.a225，b29 或 a29，b225 D.a225，b29 考点 椭圆的简单性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D 解析 椭圆x 2 25 y2 161 的长轴长为 10， 椭圆y 2 2
3、1 x2 91 的短轴长为 6， 由题意可知椭圆x 2 a2 y2 b21 的焦点在 x 轴上， 即有 a5，b3. 4.椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍，则 m 的值为( ) A.1 2 B. 1 4 C.2 D.4 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的性质求参数 答案 B 解析 椭圆 x2my21 的焦点在 y 轴上，短半轴长为 1，长轴长是短轴长的 2 倍， 故 1 m2，解得 m 1 4. 5.焦点在 x 轴上，长、短半轴长之和为 10，焦距为 4 5，则椭圆的方程为( ) A.x 2 36 y2 161 B.x 2 16 y2 361 C.x
4、2 6 y2 41 D.y 2 6 x2 41 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 答案 A 解析 依题意得 c2 5，ab10，又 a2b2c2，所以解得 a6，b4. 6.如图，已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并 且交椭圆于点 M，N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率为( ) A. 31 B.2 3 C. 2 2 D. 3 2 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 A 解析 过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线， F1MF290 ，|MF2|c，|F1F2|2c，
5、|MF1| 3c，由椭圆定义可得|MF1|MF2|c 3c2a， 椭圆离心率 e 2 1 3 31. 7.椭圆(m1)x2my21 的长轴长是( ) A.2 m1 m1 B.2 m m C.2 m m D.2 1m m1 考点 由椭圆方程研究简单性质 题点 由椭圆的方程求顶点、焦点、长短轴、离心率 答案 C 解析 椭圆方程可化简为 x2 1 1m y 2 1 m 1， 由题意，知 m0， 1 1m 1 m，a m m ， 椭圆的长轴长 2a2 m m . 8.我国成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球.嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球 的地心为焦点的椭圆.若第一次变轨前卫星的近地点到地心的
6、距离为 m， 远地点到地心的距离 为 n，第二次变轨后两距离分别为 2m，2n(近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距 离地面最远的点)，则第一次变轨前的椭圆的离心率与第二次变轨后的椭圆的离心率相比较 ( ) A.没变 B.变小 C.变大 D.无法确定 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 得离心率 答案 A 解析 由题意，第一次变轨前， acn， acm， amn 2 ， cnm 2 ， 第二次变轨后， ac2n， ac2m. amn， cnm， c a c a. 二、填空题 9.已知长方形 ABCD，|AB|4，|BC|3，则以 A，B 为焦点，且过 C，D 的椭圆的离心率为
7、_. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由 a 与 c 的关系式得离心率 答案 1 2 解析 如图，|AB|2c4， 点 C 在椭圆上， |CB|CA|2a358， e2c 2a 4 8 1 2. 10.已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 00)，由 e 2 2 ，知c a 2 2 ，故b 2 a2 1 2.由于ABF2的周长为 |AB|BF2|AF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a16，故 a4，b28，椭圆 C 的方 程为x 2 16 y2 81. 三、解答题 12.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1(1，0)，F2(1，0)，且椭圆 C
8、 经过 点 M 4 3， 1 3 ，求椭圆 C 的离心率. 考点 椭圆的离心率问题 题点 求 a，b，c 得离心率 解 2a|MF1|MF2| 4 31 2 1 3 2 4 31 2 1 3 2. 所以 a 2. 又由已知 c1，所以椭圆 C 的离心率 ec a 1 2 2 2 . 13.(1)求与椭圆x 2 9 y2 41 有相同的焦点，且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为 8，两个顶点坐标分别是(6，0)，(6，0)，求焦点在 x 轴 上的椭圆的标准方程. 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 解 (1)c 94 5， 所求椭圆的焦点
9、为( 5，0)，( 5，0). 设所求椭圆的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). ec a 5 5 ，c 5， a5，b2a2c220， 所求椭圆的方程为x 2 25 y2 201. (2)椭圆的焦点在 x 轴上， 设它的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 2c8，c4， 又 a6，b2a2c220. 椭圆的方程为x 2 36 y2 201. 14.已知椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于4 5，则椭圆 E 的离心率 的取
10、值范围是( ) A. 0， 3 2 B. 0，3 4 C. 3 2 ，1 D. 3 4，1 考点 椭圆的离心率问题 题点 求离心率的取值范围 答案 A 解析 设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形. |AF|BF|4， |AF|AF0|4，a2. 设 M(0，b)，则4b 5 4 5，1b2. 离心率 ec a c2 a2 a2b2 a2 4b2 4 0， 3 2 ，故选 A. 15.如图，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点， 直线 AF2交椭圆于另一点 B. (1)若F1AB90 ，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且AF2 2F2B ，求椭圆的方程. 考点 由椭圆的简单性质求方程 题点 由椭圆的特征求方程 解 (1)由F1AB90 及椭圆的对称性知 bc， 则 ec a c2 a2 c2 b2c2 2 2 . (2)由已知 a2b21，A(0，b)，设 B(x，y)， 则AF2 (1，b)，F2B (x1，y)， 由AF2 2F2B ，即(1，b)2(x1，y)， 解得 x3 2，y b 2，则 9 4a2 b2 4b21， 得 a23，因此 b22，椭圆的方程为x 2 3 y2 21.
