1、1.1 椭圆及其标准方程,第三章 1 椭 圆,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 椭圆的定义 1.定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 (大于|F1F2|)的点的集合. 2.焦点：两个定点F1，F2. 3.焦距：两个焦点F1，F2间的距离. 4.几何表示：|MF1|MF2| (常数)且2a |F1F2|.,常数,2a,知识点二 椭圆的标准方程,F1(c，0)，F2(c，0),F1(0，c)，F2(0，c),b2
2、a2c2,思考 能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？,答案 能.根据x2与y2的分母的大小来判定，谁的分母大，焦点就在谁轴上.,1.已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.( ) 2.已知F1(4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.( ) 3.平面内到点F1(4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.( ) 4.平面内到点F1(4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZH
3、ENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 求椭圆的标准方程,例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；,解 因为椭圆的焦点在y轴上，,又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，,解 因为椭圆的焦点在y轴上，,又c2，所以b2a2c26，,由ab0，知不合题意，故舍去；,方法二 设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).,所以所求椭圆的方程为5x24y21，,反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定
4、待定系数即可.即“先定位，后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0且mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程.,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；,解 因为椭圆的焦点在y轴上，,因为2a26，2c10，所以a13，c5. 所以b2a2c2144.,化简，得a45a240， a24或a21
5、(舍)，,题型二 椭圆定义的应用,命题角度1 利用椭圆定义求轨迹方程 例2 如图所示，已知动圆P过定点A(3，0)，并且在定圆B：(x3)2y264的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程.,多维探究,解 设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(3，0)和B(3，0)的距离之和恰好等于定圆半径， 即|PA|PB|PM|PB|BM|8|AB|， 所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆， 其中c3，a4，b2a2c242327，,反思感悟 利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤,跟踪训练2 如图所示，在圆C：(x1)2y225内有一点A(1，0).Q为圆C上任意一点，线段AQ的垂直
6、平分线与C，Q的连线交于点M，当点Q在圆C上运动时，求点M的轨迹方程.,解 如图所示，连接MA. 由题意知点M在线段CQ上， 从而有|CQ|MQ|CM|. 又点M在AQ的垂直平分线上， 则|MA|MQ|， 故|MA|MC|CQ|52c2. 又A(1，0)，C(1，0)， 故点M的轨迹是以(1，0)，(1，0)为焦点的椭圆， 且2a5，c1，,命题角度2 椭圆中的焦点三角形问题,从而|F1F2|2c6， 在PF1F2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 即36|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|. ,即48|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|
7、. 由得|PF1|PF2|4.,引申探究 若将本例中“ F1PF260”变为“PF1F290”，求F1PF2的面积.,从而|F1F2|2c6. 在PF1F2中，由勾股定理可得 |PF2|2|PF1|2|F1F2|2， 即|PF2|2|PF1|236，,反思感悟 (1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解. (2)焦点三角形的常用公式 焦点三角形的周长L2a2c. 在PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2. 设P(
8、xP，yP),解析 由直线AB过椭圆的一个焦点F1， 知|AB|F1A|F1B|， 所以在F2AB中，|F2A|F2B|AB|4a20， 又|F2A|F2B|12，所以|AB|8.,8,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,待定系数法求椭圆的标准方程,解 由题意得A(0，b)， 直线的方程为yxb， 由P(0,1)且BPx轴，得B(1b,1)，,注意到b0，于是b2，所以B(3，1)，,素养评析 (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程，有下面几种情况： 如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为 如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为 如
9、果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2ny21(m0，n0，mn)，进而求解 (2)待定系数法求圆锥曲线方程能有力的明晰数学运算的目标性和方向性，能较好的体现运用解析法进行数学运算的核心素养,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,A.5 B.6 C.7 D.8,解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|2， 结合椭圆定义|PF2|PF1|10，可得|PF2|8.,1,2,3,4,5,2.已知椭圆的焦点为(1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为,解析 c1，a2，b2a2c23，,1,2,3,4,5
10、,3.若方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0，) B.(0，2) C.(1，) D.(0，1),1,2,3,4,5,4,|PF1|PF2|2a6且|PF1|PF2|21， |PF1|4，|PF2|2， |PF1|2|PF2|2|F1F2|2， PF1F2是直角三角形，且F1PF290，,1,2,3,4,5,5.若ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b6，求顶点B的轨迹方程.,解 以直线AC为x轴，AC的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)， 则A(3，0)，C(3，0)， 设B(x，y)，则|BC|AB|ac2b2|AC|12， B点的轨迹是以A，C为焦点的椭圆， 且a6，c3，b227.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.椭圆的定义,2.求椭圆标准方程常用待定系数法，首先应恰当地选择方程的形式.若不确定焦点位置，则需分类讨论. 3.焦点三角形中常用的关系式 (1)|PF1|PF2|2a.,(3)|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2. (4)|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|.,
