1、第第 2 课时课时 直线与椭圆直线与椭圆 一、选择题 1.若点 P(a，1)在椭圆x 2 2 y2 31 的外部，则 a 的取值范围为( ) A. 2 3 3 ，2 3 3 B. ，2 3 3 2 3 3 ， C. 4 3， D. ，4 3 考点 点与椭圆的位置关系 题点 由点与椭圆的位置关系求参数 答案 B 解析 因为点 P 在椭圆x 2 2 y2 31 的外部， 所以a 2 2 1 2 3 1，解得 a2 3 3 或 a0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 2 2 ，焦 距为 2，则线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.2 C. 2 D.4 2 3 考点 直线与椭圆的位置关系
2、 题点 直线与椭圆相交求弦长 答案 D 解析 由题意得椭圆方程为x 2 2y 21， 联立 x2 2y 21， yx1， 化简得 3x24x0， 得 x0 或 x4 3，代入直线方程得 y1 或 y 1 3， 不妨设 A(0，1)，B 4 3， 1 3 ， 所以|AB| 4 30 2 1 31 24 2 3 . 6.经过椭圆x 2 2y 21 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l， 交椭圆于 A， B 两点.设 O 为坐标原 点，则OA OB 等于( ) A.3 B.1 3 C.1 3或3 D. 1 3 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 B 解析 由x 2 2
3、y 21，得 a22，b21，c2a2b21，焦点坐标为( 1，0). 不妨设直线 l 过右焦点，倾斜角为 45 ，直线 l 的方程为 yx1. 代入x 2 2y 21 得 x22(x1)220， 即 3x24x0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1 x20，x1x24 3，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11 4 3 1 3， 所以OA OB x1x2y1y201 3 1 3. 7.已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F， C 与过原点的直线交于 A， B 两点， 连接 AF， BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF4 5，
4、则 C 的离心率为( ) A.3 5 B. 5 7 C. 4 5 D. 6 7 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 B 解析 在ABF 中，|AF|2|AB|2|BF|22|AB| |BF| cosABF1028221084 536， 则|AF|6. 由|AB|2|AF|2|BF|2可知， ABF 是直角三角形，OF 为斜边 AB 的中线， c|OF|AB| 2 5. 设椭圆的另一焦点为 F1， 因为点 O 平分 AB，且平分 FF1， 所以四边形 AFBF1为平行四边形， 所以|BF|AF1|8. 由椭圆的性质可知|AF|AF1|142a，所以 a7， 则 ec
5、 a 5 7. 二、填空题 8.过椭圆x 2 5 y2 41 的右焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A， B 两点， O 为坐标原点， 则OAB 的面积为_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 答案 5 3 解析 由已知可得直线方程为 y2x2，|OF|1， 联立方程得 x2 5 y2 41， y2x2， 解得 A(0，2)，B 5 3， 4 3 ， 所以 SAOB1 2 |OF| |yAyB| 5 3. 9.若直线 mxny4 与圆 x2y24 没有交点， 则过点 P(m， n)的直线与椭圆x 2 9 y2 41 的交点 个数为_. 考点 直线与
6、椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 2 解析 因为直线 mxny4 与圆 x2y24 没有交点， 所以 |4| m2n22，所以 m 2n2b0)的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时弦中点问题 答案 x2 18 y2 91 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2y1 x2x1 1 1 1， 所以 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 运用点差法， 得b 2 a2 y22y21 x22x21 y2y1
7、 x2x1 y2y1 x2x1， 得直线 AB 的斜率为 kb 2 a2， 则直线方程为 yb 2 a2(x3)， 因为直线过 AB 中点(1，1)，代入得b 2 a2 1 2， 又因为 a2b29，解得 b29，a218. 所以椭圆 E 的方程为x 2 18 y2 91. 11.已知椭圆 C： x2 2y 21 的右焦点为 F，直线 l：x2，点 Al，线段 AF 交椭圆 C 于点 B， 若FA 3FB，则|AF|_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 2 解析 设点 A(2，n)，B(x0，y0). 由椭圆 C：x 2 2y 21，知 a22，b21， 所以
8、 c21，即 c1.所以右焦点 F(1，0). 由FA 3FB，得(1，n)3(x 01，y0). 所以 13(x01)且 n3y0. 所以 x04 3，y0 1 3n.将 x0，y0代入 x2 2y 21， 得1 2 4 3 2 1 3n 21，解得 n21， 所以|AF | 122n2 11 2. 三、解答题 12.已知过点 A(1，1)的直线 l 与椭圆x 2 8 y2 41 交于点 B，C，当直线 l 绕点 A(1，1)旋转 时，求弦 BC 中点 M 的轨迹方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时弦中点问题 解 设直线 l 与椭圆的交点为 B(x1，y1)，C(x2，
9、y2)， 弦 BC 中点 M(x，y)，则 x21 8 y21 41， x22 8 y22 41， ，得 x21 8 x22 8 y21 4 y22 4 0， (x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0. 当 x1x2时，x1x2 2 x，y1y2 2 y，y2y1 x2x1 y1 x1， 式可化为(x1x2)2(y1y2) y2y1 x2x10. 2x2 2y y1 x10，化简得 x 22y2x2y0. 当 x1x2时，点 M(x，y)是线段 BC 中点， x1，y0，显然适合上式. 综上所述，所求弦中点 M 的轨迹方程是 x22y2x2y0. 13.已知椭圆 C1：x 2 4y
10、 21，椭圆 C 2以 C1的长轴为短轴，且与 C1有相同的离心率. (1)求椭圆 C2的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1和 C2上，OB 2OA ，求直线 AB 的方程. 解 (1)由已知可设椭圆 C2的方程为y 2 a2 x2 41(a2)， 其离心率为 3 2 ，故 a24 a 3 2 ，解得 a4， 故椭圆 C2的方程为y 2 16 x2 41. (2)若将 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由OB 2OA 及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上， 因此可设直线 AB 的方程为 ykx. 将 ykx 代入到x
11、 2 4y 21 中，得(14k2)x24， 所以 x2A 4 14k2. 将 ykx 代入到y 2 16 x2 41 中，得(4k 2)x216， 所以 x2B 16 4k2. 又由OB 2OA ，得 x2B4x2A，即 16 4k2 16 14k2， 解得 k 1.故直线 AB 的方程为 xy0 或 xy0. 14.已知动点 P(x，y)在椭圆x 2 25 y2 161 上，若点 A 的坐标为(3，0)，|AM |1，且PM AM 0， 则|PM |的最小值是_. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交的其他问题 答案 3 解析 由|AM |1，A(3，0)， 知点 M 在以 A
12、(3，0)为圆心，1 为半径的圆上运动， PM AM 0 且 P 在椭圆上运动， PMAM，即 PM 为A 的切线，连接 PA(如图)， 则|PM |PA |2|AM|2 |PA |2-1， 当|PA | minac532 时，|PM |min 3. 15.平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆 M： x2 a2 y2 b21(ab0)右焦点的直线 xy 30 交 M 于 A，B 两点，P 为 AB 的中点，且 OP 斜率为1 2. (1)求 M 的方程； (2)C，D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CDAB，求四边形 ACBD 面积的最大值. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 椭
13、圆中的定点、定值、取值范围问题 解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x 2 1 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 得x1x2x1x2 a2 y1y2y1y2 b2 0. 又y1y2 x1x21，设 P(x0，y0)， P 为 AB 中点且 OP 斜率为1 2， y01 2x0，即 y1y2 1 2(x1x2)， 解得 a22b2，即 a22(a2c2)，即 a22c2， 又c 3，a26，b23， 故 M 的方程为x 2 6 y2 31. (2)由 xy 30， x2 6 y2 31 解得 x4 3 3 ， y 3 3 或 x0， y 3. 因此|AB|4 6 3 . 由题意可设直线 CD 的方程为 yxn 5 3 3 n0，x3x44n 3 ，x3x42n 26 3 ， 直线 CD 的斜率为 1，|CD| 2|x4x3|4 3 9n2. 由已知，四边形 ACBD 的面积 S1 2|CD| |AB| 8 6 9 9n2. n 5 3 3 ， 3 ， 当 n0 时，S 取得最大值，最大值为8 6 3 . 四边形 ACBD 面积的最大值为8 6 3 .
