1、第2课时 直线与椭圆,第三章 1.2 椭圆的简单性质,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.进一步巩固椭圆的简单性质. 2.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系等知识. 3.会判断直线与椭圆的位置关系.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 点与椭圆的位置关系,知识点二 直线与椭圆的位置关系,消去y得到一个关于x的一元二次方程. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及的取值的关系如表所示.,两,一,无,知识点三 弦长公式 设直线l：ykxm(k0，m为常数)与椭圆 相交，两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)
2、，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作 .弦长公式：|AB|_，其中x1x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.,弦长,1.若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 直线与椭圆的位置关系问题,命题角度1 由直线与椭圆的位置关系求参问题,多维探究,(1)有两个不同的公共点；,解 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组,将代入，整理得9x28mx2m240， 这个关于x的一元二次方程的判别式 (8m)249(2m24)8m2144.,可知原方程组有两
3、组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点.,(2)有且只有一个公共点；,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.,(3)没有公共点？,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.,反思感悟 直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用.,解析 直线ykx1过定点M(0，1)， 要使直线与该椭圆总有公共点， 则点M(0，1)必在椭圆内或椭圆上，,1，5),命题角度2 可化为直线与椭圆的位置关系问题,并整理得4x23mxm270， 9
4、m216(m27)0， 解得m216，即m4，,反思感悟 椭圆上的点到定直线的距离的最小值问题可转化为直线与椭圆位置关系问题，通过方程和判别式可达到解决此类题的目的.,跟踪训练2 已知椭圆x28y28，在椭圆上求一点P，使P到直线l：xy40的距离最短，并求出最短距离.,解 设与直线xy40平行且与椭圆相切的直线为xya0，,4a236(a28)0， 解得a3或a3， 与直线l距离最近的切线方程为xy30，,题型二 直线与椭圆的相交弦问题,若设A(x1，y1)，B(x2，y2). 则x1x20，x1x218.,(2)当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程.,解 方法一 易知直线l的斜率存在，
5、不妨设为k， 则其方程为y2k(x4).,消去y得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由于AB的中点恰好为P(4，2)，,即x2y80.,方法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由于P(4，2)是AB的中点， 所以x1x28，y1y24，,即x2y80.,引申探究 试求满足条件(2)的线段AB的长.,解 由(2)知直线AB的方程为x2y80，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1x28，x1x214， 由弦长公式可得,反思感悟 (1)直线与椭圆相交弦长的求法 直接利用两点间距离公式：当弦的两端点的坐标易求时
6、，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长. 求弦长的公式：设直线l的斜率为k，方程为ykxb，设端点A(x1，y1)，B(x2，y2).,(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法 根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆,解 易知a0，b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,，得a(x1x2)(x2x1)b(y2y1)(y2y1)0.,|x2x1|2
7、.,例4 已知椭圆C：4x2y21. (1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2n2的取值范围；,题型三 与椭圆有关的最值或范围问题,解 m2n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，,(2)设直线yxm与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程.,将yxm代入4x2y21， 消去y得5x22mxm210.,反思感悟 求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变
8、量的取值范围. (3)求解形如axby的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.,(1)求点P的坐标.,解 由已知可得点A(6，0)，F(4，0)，B(6，0)， 设点P的坐标是(x，y)，,则2x29x180，,(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.,设点M的坐标是(m，0)，,又6m6，解得m2，所以点M(2，0). 设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，,由于6x6.,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,运用“设而不求
9、”法研究直线和椭圆位置关系问题,(1)求椭圆的方程；,得(m23)y22my20. 设E(x1，y1)，F(x2，y2).,m1或m1(舍去)， 直线EF的方程为xy1，即xy10.,(3)对于D(1，0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.,解 记P(x1，y1)，Q(x2，y2).,x1，x2是此方程的两个相异实根.,由|DP|DQ|，得DMPQ，,故这样的k不存在.,素养评析 本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造
10、出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交,解析 直线l的方程与椭圆的方程联立，,得5x224x320，(24)24532640， 方程没有根，即直线l与椭圆无交点，故选C.,1,2,3,4,5,2.已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1，1)为中点的弦所在直线的方程是 A.x2y30 B.2xy30 C.x2y30 D.2xy30,1,2,3,4,5,解析 由题意易知所求直线的斜率存在， 设过点M(1，1)的直线方程为yk(x1)1，即ykx1k.,得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，,即x2y30.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,4.已知以F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为_.,1,2,3,4,5,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“”进行判定，求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑使用点差法. 2.最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想.,
