1、第第 2 课时课时 导数与函数的极值导数与函数的极值、最值最值 题型一题型一 用导数求解函数极值问题用导数求解函数极值问题 命题点 1 根据函数图象判断极值 典例 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示， 则下列结论中一定成立的是( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知，当 x0； 当20. 由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取
2、得极大值， 在 x2 处取得极小值 命题点 2 求函数的极值 典例 (2018 深圳调研)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)， 其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数， 并说明理由 解 f(x) 1 x1a(2x1) 2ax 2axa1 x1 (x1) 令 g(x)2ax2axa1，x(1，) 当 a0 时，g(x)1， 此时 f(x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，无极值点 当 a0 时，a28a(1a)a(9a8) a当 08 9时，0， 设方程 2ax2axa10 的两根为 x1，x2(x10，可得10，函数 f(x)单调递增； 当 x(x1，x2)时，g(x)0，函数 f(
3、x)单调递增 因此函数有两个极值点 当 a0，由 g(1)10， 可得 x10，函数 f(x)单调递增； 当 x(x2，)时，g(x)0， c 3 2 或 c0， x0,1，1 都是 f(x)的极值点 (2)(2017 湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考)若函数 f(x)ax 2 2 (12a)x2ln x(a0)在区间 1 2，1 内有极大值，则 a 的取值范围是( ) A. 1 e， B(1，) C(1,2) D(2，) 答案 C 解析 f(x)ax(12a)2 x ax22a1x2 x (a0，x0)，若 f(x)在区间 1 2，1 内有极大 值， 即 f(x)0 在 1 2，1 内有解
4、则 f(x)在区间 1 2，1 内先大于 0，再小于 0， 则 f 1 2 0， f10， a2a120，所以 yf(x)的零点就是 g(x)ax2(2ab)xbc 的零点且 f(x)与 g(x)符 号相同 又因为 a0，所以当30， 当 x0 时，g(x)0， 解得 a3,0) 利用导数求函数的最值 典例 (12 分)已知函数 f(x)ln xax(aR) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f(x)在1,2上的最小值 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f(x)0，f(x)0)， 当 a0 时，f(x)1 xa0，即函数 f(x)的单调递增区间
5、为(0，)2 分 当 a0 时，令 f(x)1 xa0，可得 x 1 a， 当 01 a时，f(x) 1ax x 0 时，函数 f(x)的单调递增区间为 0，1 a ，单调递减区间为 1 a， .5 分 (2)当1 a1，即 a1 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 2 2a.6 分 当1 a2，即 0a 1 2时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，所以 f(x)的最小值是 f(1)a.7 分 当 11 a2，即 1 2a1 时，函数 f(x)在 1，1 a 上是增函数，在 1 a，2 上是减函数又 f(2)f(1) ln 2a， 所以当1 2
6、aln 2 时，最小值是 f(1)a； 当 ln 2a1 时，最小值为 f(2)ln 22a.11 分 综上可知，当 0aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(1)a； 当 aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a.12 分 用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数 f(x)的导数 f(x)； 第二步：(求极值)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求 f(x)在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较，确定 f(x)的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.
