1、高效提分 源于优学 第05讲 一元二次方程根与系数关系 温故知新用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)整理:把原方程整理成 ;(2)确定 a 、 b 、 c 的值,(各项系数若有分数,通常化为整数)- b b 2 - 4ac - 4ac(3)计算 的值,并判断这个值的正负:若 b2 - 4ac 0 ,则写出公式 x =, 代入 a 、 b 、 c 及 b2 - 4ac2a的值并计算;写出答案: x1 = , x2 = 若 b2 - 4ac 0 ,方程有两个不相等的实数根。(2)当 D = b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根。(3)当 D = b2 - 4ac 0(2)若方程
2、有两个相等的实数根,则 D = b2 - 4ac = 0(3)若方程没有实数根,则 D = b2 - 4ac 0注意:若一元二次方程方程有实数根,则 D = b2 - 4ac 0 ;反过来也成立。 典例分析例1(1)如果关于 x 的方程 x2 - x + k = 0 (k 为常数)有两个相等的实数根,求 k 的 值。【解答】:(2)关于 x 的一元二次方程 -x2 + (2k + 1) x + 2 - k 2 = 0 有实数根,求 k 的取值范围。【解答】: (3)如果关于 x 的一元二次方程 k 2 x2 - (2k +1)x +1 = 0 有两个不相等的实数根, 求 k 的取值范围。【解答
3、】:学霸说者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根;方程有两个相等的实数根;方程没有实数根,裸裸的残酷的掠夺,激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三1.已知关于 m 的一元二次方程 x2 - x - m = 0 有两个不相等的实数根, 求实数 m 的取值范围。【解答】 2.当 k 为何值时,关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k + 2)x + = 0 有实数根。【解答】3.若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k1且k0【解答】解:关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根,=b24ac=(2)24k(1)=4+4k0,k1,x的一元
4、二次方程kx22x1=0k0,k的取值范围是:k1且k0故答案为:k1且k0知识要点二一元二次方程根与系数的关系1 21、若 D = b2 - 4ac0 , x , x 是方程 ax2 + bx + c = 0 (a 0) 的两个根, 则 x1 = , x2 = 则 x1 + x2 = , x1 x2 = 归纳:一元二次方程的根与系数的关系:若一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的两个根分别为2、几个重要的变形:(1)(2)(3)典例分析例1已知x1、x2是方程2x2+3x1=0的两个实数根,不解方程,求:(x1x2)2;的值【解答】解:x1、x2是方程2x2+3x1=0的两个实数
5、根,x1+x2=,x1x2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=()24()=+=3例2已知关于 x 的一元二次方程 x2 + (2m -1)x + m2 = 0 有两个实数根 x 和 x 。 1 2(1)求实数 m 的取值范围12(2)当 时,求 m 的值。【解答】解:(1)由题意有=(2m1)24m20,解得,实数m的取值范围是;(2)由两根关系,得根x1+x2=(2m1),x1x2=m2,由x12x22=0得(x1+x2)(x1x2)=0,若x1+x2=0,即(2m1)=0,解得,不合题意,舍去,若x1x2=0,即x1=x2=0,由(1)知,故当x12x22=0时,举一反三1已知
6、x1,x2是方程2x2+4x3=0的两个根,不解方程求下列各式的值(1)(2)【解答】解:根据题意得x1+x2=2,x1x2=,(1)原式=x1x2(x1+x2)=(2)=3;(2)原式=(x1+x2)25x1x2=(2)25()=4+=2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 6x - k2 = 0 (k 为常数)(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)设 x1 , x2 为方程的两个实数根,且 x1 + 2x2 = 14 ,试求出方程的两个实数根和 k 的值。【解答】(1)证明:b24ac=(6)241(k2)=36+4k20因此方程有两个不相等的实数根(2)解:x1+x2=6,又x
7、1+2x2=14,解方程组解得:将x1=2代入原方程得:(2)26(2)k2=0,解得k=43.已知关于x的一元二次方程x2(2m1)x+m2=0有两个实数根x1和x2(1)求实数m的取值范围;(2)若x1+x2=1,求m的值【解答】解:(1)由题意有=(2m1)24m20,解得m,故实数m的取值范围是m;(2)由根与系数的关系,得x1+x2=2m1=1,解得m=0,0,符合题意即m的值为0 课堂闯关初出茅庐1关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根,则k的取值范围是()AkBk且k0CkDk且k0【解答】解:关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根,=b24ac0,即:9+4k0
8、,解得:k,关于x的一元二次方程kx2+3x1=0中k0,则k的取值范围是k且k0故选D2若关于x 的一元二次方程(m2)2x2+(2m+1)x+1=0有解,那么m的取值范围是()AmBmCm且m2 Dm且m2【解答】解:关于x 的一元二次方程(m2)2x2+(2m+1)x+1=0有解,解得:m且m2故选D3下列关于x的方程有实数根的是()Ax2x+1=0 Bx2+2x+2=0C(x1)2+1=0 D(x1)(x+2)=0【解答】解:A、=(1)2411=30,方程没有实数解,所以A选项错误;B、=22412=40,方程没有实数解,所以B选项错误;C、(x1)20,则(x1)2+10,方程没有
9、实数解,所以C选项错误;D、x1=0或x+2=0,解得x1=1,x2=2,所以D选项正确故选D4一元二次方程x24x+2=0的根的情况是()A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【解答】解:a=1,b=4,c=2代,=b24ac=(4)2412=80,方程有两个不相等的实数根故选:B5若关于x的一元二次方程方程(k1)x2+4x+1=0有实数根,则k的取值范围是()Ak5 Bk5,且k1 Ck5,且k1 Dk5【解答】解:关于x的一元二次方程方程(k1)x2+4x+1=0有实数根,解得:k5且k1故选C6如果关于x的一元二次方程2x2x+k=0有两个实数根,
10、那么k的取值范围是()Ak Bk Ck Dk【解答】解:关于x的一元二次方程2x2x+k=0有两个实数根,=b24ac=142k=18k0,k故选B7常数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是()A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D无法确定【解答】解:观察数轴可知:a0,b0,c0在方程ax2+bx+c=0中,=b24ac0,该方程有两个不相等的实数根故选B8若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k1且k0【解答】解:关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根,=b24ac
11、=(2)24k(1)=4+4k0,k1,x的一元二次方程kx22x1=0k0,k的取值范围是:k1且k0故答案为:k1且k09若关于x的一元二次方程x22xk=0没有实数根,则k的取值范围是k1【解答】解:一元二次方程x22xk=0没有实数根,=(2)241(k)=4+4k0,k的取值范围是k1;故答案为:k110已知x1,x2是关于x的方程x2+ax2b=0的两实数根,且x1+x2=2,x1x2=1,则ba的值是【解答】解:x1,x2是关于x的方程x2+ax2b=0的两实数根,x1+x2=a=2,x1x2=2b=1,解得a=2,b=,ba=()2=故答案为:11若、是方程x2+2x2017=
12、0的两个实数根,则2+3+的值为2015【解答】解:,是方程x2+2x2017=0的两个实数根,2+22017=0,+=22+2=2017,2+3+=2+2+=20172=2015故答案是2015优学学霸1已知关于x的一元二次方程x22xk=0的一个根为1,则它的另一根为3【解答】解:设方程x22xk=0的解为x1、x2,则有:x1+x2=2,x1=1,x2=3故答案为:32已知关于x的方程x2+(2m1)x+4=0有两个相等的实数根,则m的值为或【解答】解:方程x2+(2m1)x+4=0有两个相等的实数根,=0,即(2m1)244=0,解得:m=或m=,故答案为或3关于x的一元二次方程x2+
13、2xk=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是k1【解答】解:关于x的一元二次方程x2+2xk=0有两个不相等的实数根,=22+4k0,解得k1故答案为:k14关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根,则k的取值范围是k6【解答】解:当k=0时,原方程可化为12x+2=0,解得x=;当k0时,此方程是一元二次方程,方程3kx2+12x+2=0有实数根,0,即=12243k20,解得k6k的取值范围是k6故答案为:k65设a,b是方程x2+x2016=0的两个不相等的实数根(1)a+b=1;ab=2016;(2)求代数式a2+2a+b的值【解答】解:(1)a,b是方程x2+x2016=0的
14、两个不相等的实数根a+b=1;ab=2016;故答案为:12016;(2)a是方程x2+x2016=0的实数根,a2+a2016=0,a2=a+2016,a2+2a+b=a+2016+2a+b=a+b+2016,a、b是方程x2+x2016=0的两个实数根,a+b=1,a2+2a+b=1+2016=2015 考场直播1已知关于x的一元二次方程x23x+m3=0,若此方程的两根的倒数和为1,求m的值【解答】解:设方程的两个根分别为、,+=3,=m3+=1,m=6,经检验,m=6是分式方程=1的解方程x23x+m3=0有两个实数根,=(3)24(m3)=214m0,m,m=6舍去m无实数根2设方程
15、4x27x3=0的两根为x1,x2,不解方程求下列各式的值:(1)x12x2+x1x22(2)+【解答】解:方程4x27x3=0的两根为x1,x2,x1+x2=,x1x2=,(1)x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=;(2)+= 自我挑战1关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根,则k的取值范围是()Ak Bk且k0 Ck Dk且k0【解答】解:关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根,=b24ac0,即:9+4k0,解得:k,关于x的一元二次方程kx2+3x1=0中k0,则k的取值范围是k且k0故选D2一元二次方程x2x1=0的根的情况为()A有两个不相等的实数根 B
16、有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【解答】解:a=1,b=1,c=1,=b24ac=(1)241(1)=50,方程有两个不相等的实数根,故选:A3定义运算:ab=a(1b)若a,b是方程x2x+m=0(m0)的两根,则bbaa的值为()A0 B1 C2 D与m有关【解答】解:a,b是方程x2x+m=0(m0)的两根,a+b=1,bbaa=b(1b)a(1a)=b(a+bb)a(a+ba)=abab=0故选A4已知关于x的一元二次方程mx2+2x1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()Am1 Bm1 Cm1且m0 Dm1且m0【解答】解:关于x的一元二次方程mx2+2x1=
17、0有两个不相等的实数根,m0且0,即224m(1)0,解得m1,m的取值范围为m1且m0当m1且m0时,关于x的一元二次方程mx2+2x1=0有两个不相等的实数根故选D5关于x的方程kx2+2x1=0有实数根,则k的取值范围是()Ak1 Bk1且k0 Ck1 Dk1且k0【解答】解:(1)当k=0时,6x+9=0,解得x=;(2)当k0时,此方程是一元二次方程,关于x的方程kx2+2x1=0有实数根,=224k(1)0,解得k1,由(1)、(2)得,k的取值范围是k1故选:A6已知一元二次方程x24x+3=0的两根为x1,x2,那么(1+x1)(1+x2)的值是8【解答】解:根据题意得x1+x
18、2=4,x1x2=3,所以(1+x1)(1+x2)=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8故答案为87设m,n分别为一元二次方程x2+2x2018=0的两个实数根,则m2+3m+n=2016【解答】解:m为一元二次方程x2+2x2018=0的实数根,m2+2m2018=0,即m2=2m+2018,m2+3m+n=2m+2018+3m+n=2018+m+n,m,n分别为一元二次方程x2+2x2018=0的两个实数根,m+n=2,m2+3m+n=20182=20168关于x的方程2x24x+k=0有实数根,k的取值范围是k2【解答】解:关于x的方程2x24x+k=0有实数根,=b24ac0,即1
19、68k0,解得,k2故答案是:k29如果一元二次方程x23x+1=0的两实数根分别为x1,x2,不解方程,求下列代数式的值(1)x12+x22;(2)(x12)(x22)【解答】解:方程x23x+1=0的两实数根分别为x1,x2,x1+x2=3,x1x2=1(1)x12+x22=2x1x2=3221=7;(2)(x12)(x22)=x1x22(x1+x2)+4=123+4=110已知关于x的方程(m2)x22(m1)x+m+1=0;当m为何非负整数时:(1)方程没有实数根;(2)方程有两个相等的实数根;(3)方程有两个不相等的实数根【解答】解:(1)方程没有实数根,=b24ac=2(m1)24(m2)(m+1)0且m为非负整数,m3,当m3时方程没有实数根(2)方程有两相等的实数根,=b24ac=2(m1)24(m2)(m+1)=0且m为非负整数,m=3 当m=3时方程有两相等的实根( 3)方程有两个不相等的实根=b24ac=2(m1)24(m2)(m+1)0且m为非负整数,m为0、1,当m为0、1时方程有两不相等的实根 17 2017年秋季初三同步课程