1、高效提分 源于优学 第05讲 一元二次方程根与系数关系 温故知新用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）整理：把原方程整理成 ；（2）确定 a 、 b 、 c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）- b b 2 - 4ac - 4ac（3）计算 的值，并判断这个值的正负：若 b2 - 4ac 0 ，则写出公式 x =， 代入 a 、 b 、 c 及 b2 - 4ac2a的值并计算；写出答案： x1 = ， x2 = 若 b2 - 4ac 0 ，方程有两个不相等的实数根。（2）当 D = b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根。（3）当 D = b2 - 4ac 0（2）若方程
2、有两个相等的实数根，则 D = b2 - 4ac = 0（3）若方程没有实数根，则 D = b2 - 4ac 0注意：若一元二次方程方程有实数根，则 D = b2 - 4ac 0 ；反过来也成立。 典例分析例1（1）如果关于 x 的方程 x2 - x + k = 0 （k 为常数）有两个相等的实数根，求 k 的 值。【解答】：（2）关于 x 的一元二次方程 -x2 + (2k + 1) x + 2 - k 2 = 0 有实数根，求 k 的取值范围。【解答】： （3）如果关于 x 的一元二次方程 k 2 x2 - (2k +1)x +1 = 0 有两个不相等的实数根， 求 k 的取值范围。【解答
3、】：学霸说者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三1.已知关于 m 的一元二次方程 x2 - x - m = 0 有两个不相等的实数根， 求实数 m 的取值范围。【解答】 2.当 k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 kx2 + (k + 2)x + = 0 有实数根。【解答】3.若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k1且k0【解答】解：关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，=b24ac=（2）24k（1）=4+4k0，k1，x的一元
4、二次方程kx22x1=0k0，k的取值范围是：k1且k0故答案为：k1且k0知识要点二一元二次方程根与系数的关系1 21、若 D = b2 - 4ac0 ， x , x 是方程 ax2 + bx + c = 0 (a 0) 的两个根， 则 x1 = ， x2 = 则 x1 + x2 = ， x1 x2 = 归纳：一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的两个根分别为2、几个重要的变形：（1）（2）（3）典例分析例1已知x1、x2是方程2x2+3x1=0的两个实数根，不解方程，求：（x1x2）2；的值【解答】解：x1、x2是方程2x2+3x1=0的两个实数
5、根，x1+x2=，x1x2=（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=（）24（）=+=3例2已知关于 x 的一元二次方程 x2 + (2m -1)x + m2 = 0 有两个实数根 x 和 x 。 1 2（1）求实数 m 的取值范围12（2）当 时，求 m 的值。【解答】解：（1）由题意有=（2m1）24m20，解得，实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2=（2m1），x1x2=m2，由x12x22=0得（x1+x2）（x1x2）=0，若x1+x2=0，即（2m1）=0，解得，不合题意，舍去，若x1x2=0，即x1=x2=0，由（1）知，故当x12x22=0时，举一反三1已知
6、x1，x2是方程2x2+4x3=0的两个根，不解方程求下列各式的值（1）（2）【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=，（1）原式=x1x2（x1+x2）=（2）=3；（2）原式=（x1+x2）25x1x2=（2）25（）=4+=2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 - 6x - k2 = 0 （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设 x1 ， x2 为方程的两个实数根，且 x1 + 2x2 = 14 ，试求出方程的两个实数根和 k 的值。【解答】（1）证明：b24ac=（6）241（k2）=36+4k20因此方程有两个不相等的实数根（2）解：x1+x2=6，又x
7、1+2x2=14，解方程组解得：将x1=2代入原方程得：（2）26（2）k2=0，解得k=43.已知关于x的一元二次方程x2（2m1）x+m2=0有两个实数根x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2=1，求m的值【解答】解：（1）由题意有=（2m1）24m20，解得m，故实数m的取值范围是m；（2）由根与系数的关系，得x1+x2=2m1=1，解得m=0，0，符合题意即m的值为0 课堂闯关初出茅庐1关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根，则k的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k0【解答】解：关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根，=b24ac0，即：9+4k0
8、，解得：k，关于x的一元二次方程kx2+3x1=0中k0，则k的取值范围是k且k0故选D2若关于x 的一元二次方程（m2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（）AmBmCm且m2 Dm且m2【解答】解：关于x 的一元二次方程（m2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，解得：m且m2故选D3下列关于x的方程有实数根的是（）Ax2x+1=0 Bx2+2x+2=0C（x1）2+1=0 D（x1）（x+2）=0【解答】解：A、=（1）2411=30，方程没有实数解，所以A选项错误；B、=22412=40，方程没有实数解，所以B选项错误；C、（x1）20，则（x1）2+10，方程没有
9、实数解，所以C选项错误；D、x1=0或x+2=0，解得x1=1，x2=2，所以D选项正确故选D4一元二次方程x24x+2=0的根的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【解答】解：a=1，b=4，c=2代，=b24ac=（4）2412=80，方程有两个不相等的实数根故选：B5若关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是（）Ak5 Bk5，且k1 Ck5，且k1 Dk5【解答】解：关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有实数根，解得：k5且k1故选C6如果关于x的一元二次方程2x2x+k=0有两个实数根，
10、那么k的取值范围是（）Ak Bk Ck Dk【解答】解：关于x的一元二次方程2x2x+k=0有两个实数根，=b24ac=142k=18k0，k故选B7常数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C无实数根 D无法确定【解答】解：观察数轴可知：a0，b0，c0在方程ax2+bx+c=0中，=b24ac0，该方程有两个不相等的实数根故选B8若关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k1且k0【解答】解：关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，=b24ac
11、=（2）24k（1）=4+4k0，k1，x的一元二次方程kx22x1=0k0，k的取值范围是：k1且k0故答案为：k1且k09若关于x的一元二次方程x22xk=0没有实数根，则k的取值范围是k1【解答】解：一元二次方程x22xk=0没有实数根，=（2）241（k）=4+4k0，k的取值范围是k1；故答案为：k110已知x1，x2是关于x的方程x2+ax2b=0的两实数根，且x1+x2=2，x1x2=1，则ba的值是【解答】解：x1，x2是关于x的方程x2+ax2b=0的两实数根，x1+x2=a=2，x1x2=2b=1，解得a=2，b=，ba=（）2=故答案为：11若、是方程x2+2x2017=
12、0的两个实数根，则2+3+的值为2015【解答】解：，是方程x2+2x2017=0的两个实数根，2+22017=0，+=22+2=2017，2+3+=2+2+=20172=2015故答案是2015优学学霸1已知关于x的一元二次方程x22xk=0的一个根为1，则它的另一根为3【解答】解：设方程x22xk=0的解为x1、x2，则有：x1+x2=2，x1=1，x2=3故答案为：32已知关于x的方程x2+（2m1）x+4=0有两个相等的实数根，则m的值为或【解答】解：方程x2+（2m1）x+4=0有两个相等的实数根，=0，即（2m1）244=0，解得：m=或m=，故答案为或3关于x的一元二次方程x2+
13、2xk=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k1【解答】解：关于x的一元二次方程x2+2xk=0有两个不相等的实数根，=22+4k0，解得k1故答案为：k14关于x的方程3kx2+12x+2=0有实数根，则k的取值范围是k6【解答】解：当k=0时，原方程可化为12x+2=0，解得x=；当k0时，此方程是一元二次方程，方程3kx2+12x+2=0有实数根，0，即=12243k20，解得k6k的取值范围是k6故答案为：k65设a，b是方程x2+x2016=0的两个不相等的实数根（1）a+b=1；ab=2016；（2）求代数式a2+2a+b的值【解答】解：（1）a，b是方程x2+x2016=0的
14、两个不相等的实数根a+b=1；ab=2016；故答案为：12016；（2）a是方程x2+x2016=0的实数根，a2+a2016=0，a2=a+2016，a2+2a+b=a+2016+2a+b=a+b+2016，a、b是方程x2+x2016=0的两个实数根，a+b=1，a2+2a+b=1+2016=2015 考场直播1已知关于x的一元二次方程x23x+m3=0，若此方程的两根的倒数和为1，求m的值【解答】解：设方程的两个根分别为、，+=3，=m3+=1，m=6，经检验，m=6是分式方程=1的解方程x23x+m3=0有两个实数根，=（3）24（m3）=214m0，m，m=6舍去m无实数根2设方程
15、4x27x3=0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22（2）+【解答】解：方程4x27x3=0的两根为x1，x2，x1+x2=，x1x2=，（1）x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=；（2）+= 自我挑战1关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根，则k的取值范围是（）Ak Bk且k0 Ck Dk且k0【解答】解：关于x的一元二次方程kx2+3x1=0有实数根，=b24ac0，即：9+4k0，解得：k，关于x的一元二次方程kx2+3x1=0中k0，则k的取值范围是k且k0故选D2一元二次方程x2x1=0的根的情况为（）A有两个不相等的实数根 B
16、有两个相等的实数根C只有一个实数根 D没有实数根【解答】解：a=1，b=1，c=1，=b24ac=（1）241（1）=50，方程有两个不相等的实数根，故选：A3定义运算：ab=a（1b）若a，b是方程x2x+m=0（m0）的两根，则bbaa的值为（）A0 B1 C2 D与m有关【解答】解：a，b是方程x2x+m=0（m0）的两根，a+b=1，bbaa=b（1b）a（1a）=b（a+bb）a（a+ba）=abab=0故选A4已知关于x的一元二次方程mx2+2x1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）Am1 Bm1 Cm1且m0 Dm1且m0【解答】解：关于x的一元二次方程mx2+2x1=
17、0有两个不相等的实数根，m0且0，即224m（1）0，解得m1，m的取值范围为m1且m0当m1且m0时，关于x的一元二次方程mx2+2x1=0有两个不相等的实数根故选D5关于x的方程kx2+2x1=0有实数根，则k的取值范围是（）Ak1 Bk1且k0 Ck1 Dk1且k0【解答】解：（1）当k=0时，6x+9=0，解得x=；（2）当k0时，此方程是一元二次方程，关于x的方程kx2+2x1=0有实数根，=224k（1）0，解得k1，由（1）、（2）得，k的取值范围是k1故选：A6已知一元二次方程x24x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是8【解答】解：根据题意得x1+x
18、2=4，x1x2=3，所以（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8故答案为87设m，n分别为一元二次方程x2+2x2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=2016【解答】解：m为一元二次方程x2+2x2018=0的实数根，m2+2m2018=0，即m2=2m+2018，m2+3m+n=2m+2018+3m+n=2018+m+n，m，n分别为一元二次方程x2+2x2018=0的两个实数根，m+n=2，m2+3m+n=20182=20168关于x的方程2x24x+k=0有实数根，k的取值范围是k2【解答】解：关于x的方程2x24x+k=0有实数根，=b24ac0，即1
19、68k0，解得，k2故答案是：k29如果一元二次方程x23x+1=0的两实数根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值（1）x12+x22；（2）（x12）（x22）【解答】解：方程x23x+1=0的两实数根分别为x1，x2，x1+x2=3，x1x2=1（1）x12+x22=2x1x2=3221=7；（2）（x12）（x22）=x1x22（x1+x2）+4=123+4=110已知关于x的方程（m2）x22（m1）x+m+1=0；当m为何非负整数时：（1）方程没有实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根【解答】解：（1）方程没有实数根，=b24ac=2（m1）24（m2）（m+1）0且m为非负整数，m3，当m3时方程没有实数根（2）方程有两相等的实数根，=b24ac=2（m1）24（m2）（m+1）=0且m为非负整数，m=3 当m=3时方程有两相等的实根（ 3）方程有两个不相等的实根=b24ac=2（m1）24（m2）（m+1）0且m为非负整数，m为0、1，当m为0、1时方程有两不相等的实根 17 2017年秋季初三同步课程
