1、2.1 实际问题中导数的意义,第三章 2 导数在实际问题中的应用,学习目标,1.了解导数在实际问题中的意义. 2.能用导数解释一些实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它是功W关于时间t的导数. 瞬时速度：在物理学中，物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s关于时间t的导数；速度v关于时间t的导数是加速度. (2)降雨强度：在气象学中，通常把在单位时间内的降雨量称为降雨强度，它是降雨量关于时间的导数.,知识点 实际问题中导数的意义,(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导
2、函数称为边际成本.边际成本f(x0)指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f(x0)个单位的成本. (4)线密度：单位长度的物质质量称为线密度，它是质量关于长度的导数.,1.对功关于时间的函数，W(t)就是表示t s内的功率.( ) 2.气象学中，用平均降雨量来衡量降雨强度.( ) 3.在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数yf(x)的导函数称为边际成本.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 导数在函数图像中的应用,例1 如图所示，当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转(旋转角度不超过90)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时
3、间t的函数，它的图像大致是,解析,答案,解析 选项A表示面积的增速是常数，与实际不符， 选项B表示最后时段面积的增速较快，也与实际不符. 选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段快，与实际不符. 选项D表示开始时段和最后时段面积的增速缓慢，中间时段增速较快，符合实际，所以应选D.,反思与感悟 解决函数图像问题有两种方法：一是计算出该函数的解析式，由解析式得到函数的某些性质，再根据性质选择相对应的图像；二是利用导数知识，判断函数的平均变化率的变化趋势(越来越大、越来越小或是不变)，从而判断出函数图像的特征(下凸、上凸、直线)，再选择相对应的图像.,跟踪训练1 如图，水以恒速(即单位时间内
4、注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像，它们之间的对应关系分别是_ _.,答案,B A,D C,类型二 导数在实际问题中的应用,命题角度1 导数在物理学中的应用,例2 某汽车启动阶段的路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的函数关系是s(t)2t35t2，则当t2时，汽车的加速度是_ m/s2.,答案,解析,14,解析 汽车的速度v(t)s(t)6t210t， 所以汽车的加速度为v(t)12t10， 则v(2)14 m/s2.,反思与感悟 (1)函数yf(x)在x0处的导数f(x0)就是导函数在x0处的函数值. (2)瞬时速度
5、是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)s(t). (3)瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)v(t).,跟踪训练2 某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为WW(t)t36t216t. (1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释实际意义；,解答,解 当t从1 s变到3 s时， 功W从W(1)11 J变到W(3)21 J，,它表示从t1 s到t3 s这段时间，这个人平均每秒做功5 J.,(2)求W(1)，W(2)，并解释它们的实际意义.,解 首先求W(t)，根据导数公式和求导法则可得
6、 W(t)3t212t16， W(1)7 J/s，W(2)4 J/s. W(1)和W(2)分别表示t1 s和t2 s时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.,解答,解答,解 当x从10件提高到20件时， 总成本C从C(10)2 675元变到C(20)3 350元.,其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.,命题角度2 导数在经济生活中的应用,引申探究 若本例的条件不变，求当日产量为75件时的边际成本，并说明其实际意义.,它指的是当日产量为75件时，每多生产一件产品，需增加成本97.5元.,解答,反思与感悟 实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用
7、料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决.,跟踪训练3 东方机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)2x27 000x600. (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润；,解答,解 产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)21 00027 0001 000600 5 000 600(元)，,(2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量；,解答,解 当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为,(3)求c(1 000)与c(1 500)，并说明它们的实际意义.,解答,解 c(x)(2x2
8、7 000x600)4x7 000， c(1 000)41 0007 0003 000(元). c(1 500)41 5007 0001 000(元). c(1 000)3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利 3 000元. c(1 500)1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利 1 000元.,达标检测,1,2,3,4,答案,1.在一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用yf(t)表示，则f(10)表示 A.t10时的降雨强度 B.t10时的降雨量 C.t10时的时间 D.t10时的温度,解析,解析 f(t)表示t时刻的降雨强度.故选A.,5
9、,1,2,3,4,2.某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h(t)100t2800t，则他在t2 h这一时刻的高度变化的速度是 A.500 m/h B.1 000 m/h C.400 m/h D.1 200 m/h,解析,答案,解析 h(t)200t800， 当t2时，h(2)400.,5,1,2,3,4,3.圆的面积S关于半径r的函数关系式是S(r)r2，那么在r3时面积的变化率是 A.6 B.9 C.9 D.6,解析,答案,解析 S(r)2r， S(3)236.,5,1,2,3,4,4.一个物体的运动方程为s(t)1tt2，其中s的单位是m，t的单位是s，那
10、么物体在3 s末的瞬时速度是 A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s,解析,答案,解析 s(t)2t1， s(3)2315.,5,1,2,3,4,5.正方形的周长y关于边长x的函数是y4x，则y_，其实际意义是_.,答案,4,边长每增加一个单位，周长增加4个单位,5,1.要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后再依据导数的定义解释它在实际问题中的意义. 2.实际问题中导数的意义 (1)功关于时间的导数是功率. (2)降雨量关于时间的导数是降雨强度. (3)生产成本关于产量的导数是边际成本. (4)路程关于时间的导数是速度. (5)速度关于时间的导数是加速度.,规律与方法,
