1、1.2.2空间两条直线的位置关系第1课时平行直线学习目标1.了解两条直线的三种位置关系.2.理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.知识点一空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有知识点二平行公理(公理4)文字语言平行于同一条直线的两条直线互相平行图形语言符号语言ab，bcac作用证明两条直线平行说明公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性知识点三等角定理文字语言如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等图形语言符号语言OAOA，OBOBAOBAOB作用证明两个角
2、相等一、空间两条直线的位置关系的判定例1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系.直线A1B与直线D1C的位置关系是_；直线A1B与直线B1C的位置关系是_；直线D1D与直线D1C的位置关系是_；直线AB与直线B1C的位置关系是_.答案平行异面相交异面.解析根据题意知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，点C不在平面A1BB1内，且B1A1B，则直线A1B与直线B1C异面，同理，直线AB与直线B1C异面，所以应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以应该填“相交”.反思
3、感悟判断空间中两条直线位置关系的诀窍(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.(2)注重正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系. 跟踪训练1已知a，b，c是三条直线，且a与b异面，b与c异面，试判断a与c的位置关系，并画图说明.解直线a与c的位置关系有三种，如图所示，直线a与c可能平行(如图所示)，也可能相交(如图所示)，还可能异面(如图所示).二、空间直线平行的判断与证明例2已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFED1.证明如图，取BB1的中点G，连结GC1，GE.F为CC1的中点，BGC
4、1F且BGC1F.四边形BGC1F为平行四边形.BFGC1.又EGA1B1且EGA1B1，A1B1C1D1，且A1B1C1D1，EGC1D1，且EGC1D1，四边形EGC1D1为平行四边形.ED1GC1.BFED1.反思感悟证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法：三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法：用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点.(3)公理4：用公理4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得ab，同时bc，由公理4即可得到ac.跟踪训练2如图所示，E，F，G，H依次是空间四边形ABCD各边的中点.(1)求证：E，F，G，H
5、四点共面；(2)如果ACBD，判断四边形EFGH的形状.(1)证明由题意知，EF，GH分别是ABC，ADC的中位线，EFAC且EFAC，GHAC且GHAC，EFGH，EF，GH确定一个平面.故E，F，G，H四点共面.(2)解由(1)知EFGH且EFGH，四边形EFGH是平行四边形，同理EHBD且EHBD.又ACBD，EFEH.四边形EFGH是菱形.三、等角定理及其应用例3如图所示，ABC和ABC的对应顶点的连线AA，BB，CC交于同一点O，且.(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值.(1)证明AABBO，且，ABAB，同理ACAC，BCBC.(2)解ABAB，ACAC且AB和A
6、B，AC和AC方向相反，BACBAC.同理ABCABC，ACBACB，ABCABC且，2.反思感悟等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的；等角定理常用于证明空间中两角相等，证明时，先证明两个角的两边分别平行，再说明两边的方向均相同还是均相反，它转化证明空间角相等为两角的对应边之间的平行关系，同时为下一节异面直线所成的角的合理性奠定了理论基础.跟踪训练3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：BGCFD1E.证明因为F为BB1的中点，所以BFBB1，因为G为DD1的中点，所以D1GDD1.又BB1DD1且BB1DD1，所以BFD1G且BFD
7、1G.所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1FGB，同理D1EGC.所以BGC与FD1E的对应边平行且方向相同，所以BGCFD1E.1.证明空间直线的平行还可以利用平行公理(公理4)，运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线.转化证明这两条直线都与第三条直线平行.2.对于等角定理中的条件“方向相同”：若仅将它改成“方向均相反”，则这两个角相等；若仅将它改成“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补；若缺少这一条件，则这两个角相等或互补.无论在平面内或在空间中均成立.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面 B.相交或异面C.异面 D.相
8、交答案B解析一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条相交或异面.2.已知ABPQ，BCQR，若ABC30，则PQR等于()A.30 B.30或150C.150 D.以上结论都不对答案B解析由等角定理可知PQR30或PQR150.3.下列四个结论中错误命题的个数是_.垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.答案2解析均为错误命题.可举反例，如a，b，c三线两两垂直.如图甲，c，d与异面直线l1，l2交于四个点，此时c，d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点
9、不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c，d共面相交.4.如图所示，设E，F，G，H依次是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA上除端点外的点，则下列结论中不正确的是_.(填序号)当时，四边形EFGH是平行四边形；当时，四边形EFGH是梯形；当时，四边形EFGH一定不是平行四边形；当时，四边形EFGH是梯形.答案解析由，得EHBD，且.同理得FGBD，且.当时，EHFG且EHFG.当时，EHFG，但EHFG.所以只有错误.5.如图，正方体的棱长是a，C，D分别是两条棱的中点.(1)证明：四边形ABCD(图中阴影部分)是一个梯形；(2)求四边形ABCD的面积.(1)证明如图，连结EF，则四边形ABFE为平行四边形，因为CDEF，EFAB，故CDAB.又CDEF，EFAB，所以CDAB，所以四边形ABCD是梯形.(2)设DC的中点为G，EF的中点为O，AB的中点为O，连结GO，OO，GO，则OOa，OGABa，则梯形ABCD的高GO，所以梯形的面积为a2.
