1、二次函数压轴题练习1一解答题（共10小题）1如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由2已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（3，1），对称轴是经过（1，0）且平行
2、于y轴的直线（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式3如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标4在平面直角坐标系中，抛物
3、线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值5如图，二次函数的图象经过点A（4，0），B（4，4），且与y轴交于点C（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：BAO=CAO（其中O是原点）；（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存
4、在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由6已知抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由7二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上直线y=1与y轴交于点H（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P
5、作x轴的垂线与直线y=1交于点M，求证：FM平分OFP；（3）当FPM是等边三角形时，求P点的坐标8如图，抛物线y=x22x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG
6、=2DQ，求点F的坐标9如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBDPBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由10如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在
7、y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积二次函数压轴题练习1参考答案与试题解析一解答题（共10小题）1（2015黄冈中学自主招生）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设P
8、Q交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由【分析】（1）直线AC经过点A，C，根据抛物线的解析式面积可求得两点坐标，利用待定系数法就可求得AC的解析式；（2）根据三角形面积公式即可写出解析式；（3）可以分腰和底边进行讨论，即可确定点的坐标；（4）过G作GHy轴，根据三角形相似，相似三角形的对应边的比相等即可求解【解答】解：（1）y=x2+2，x=0时，y=2，y=0时，x
9、=2，A（2，0），B（2，0），C（0，2），设直线AC的解析式是y=kx+b，代入得：，解得：k=1，b=2，即直线AC的解析式是y=x+2；（2）当0t2时，OP=（2t），QC=t，PQC的面积为：S=（2t）t=t2+t，当2t4时，OP=（t2），QC=t，PQC的面积为：S=（t2）t=t2t，；（3）当AC或BC为等腰三角形的腰时，AC=MC=BC时，M点坐标为（0，22）和（0，2+2）当AC=AM=BC 时，M为（0，2）当AM=MC=BM时M为（0，0）一共四个点，（0，），（0，），（0，2），（0，0）；（4）当0t2时，过G作GHy轴，垂足为H由AP=t，可得AE=
10、GHOP即=，解得GH=，所以GC=GH=于是，GE=ACAEGC=即GE的长度不变当2t4时，过G作GHy轴，垂足为H由AP=t，可得AE=由即=，GH（2+t）=t（t2）（t2）GH，GH（2+t）+（t2）GH=t（t2），2tGH=t（t2），解得GH=，所以GC=GH=于是，GE=ACAE+GC=2t+=，即GE的长度不变综合得：当P点运动时，线段EG的长度不发生改变，为定值【点评】本题属于一道难度较大的二次函数题，综合考查了三角形相似的性质，需注意分类讨论，全面考虑点M所在位置的各种情况2（2015泰州）已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（3，1），对称轴是经过（1，0
11、）且平行于y轴的直线（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式【分析】（1）利用对称轴公式求得m，把P（3，1）代入二次函数y=x2+mx+n得出n=3m8，进而就可求得n；（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式【解答】解：对称轴是经过（1，0）且平行于y轴的直线，=1，m=2，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（3，1），9
12、3m+n=1，得出n=3m8n=3m8=2；（2）m=2，n=2，二次函数为y=x2+2x2，作PCx轴于C，BDx轴于D，则PCBD，=，P（3，1），PC=1，PA：PB=1：5，=，BD=6，B的纵坐标为6，代入二次函数为y=x2+2x2得，6=x2+2x2，解得x1=2，x2=4（舍去），B（2，6），解得，一次函数的表达式为y=x+4【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根据已知条件求得B的坐标是解题的关键3（2014德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式
13、；（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标【分析】方法一：（1）根据A的坐标，即可求得OA的长，则B、C的坐标即可求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）分点A为直角顶点时，和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC，即可列方程求解；（3）据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点，则DF=OC，即可求得P的纵坐标，代入二次函数
14、的解析式，即可求得横坐标，得到P的坐标方法二：（1）略（2）因为AC为直角边，分类讨论PCAC 及APAC两种情况，利用斜率垂直公式求出直线方程，再与抛物线联立，求出P点坐标（3）设P点参数坐标，从而得出E，F的参数坐标，利用两点间距离公式，得出EF的函数表达式，从而求解【解答】方法一：解：（1）由A（4，0），可知OA=4，OA=OC=4OB，OA=OC=4，OB=1，C（0，4），B（1，0）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，则，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2+3x+4；（2）存在第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP1AC，交抛物线于点P1过点P1作y轴的垂线，垂足是M
15、ACP1=90，MCP1+ACO=90ACO+OAC=90，MCP1=OACOA=OC，MCP1=OAC=45，MCP1=MP1C，MC=MP1，设P（m，m2+3m+4），则m=m2+3m+44，解得：m1=0（舍去），m2=2m2+3m+4=6，即P（2，6）第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP2，交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP2交y轴于点FP2Nx轴，由CAO=45，OAP2=45，FP2N=45，AO=OFP2N=NF，设P2（n，n2+3n+4），则n=（n2+3n+4）+4，解得：n1=2，n2=4（舍去），n2+3n+4=6，则P2的坐标是（2，6）
16、综上所述，P的坐标是（2，6）或（2，6）；（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF根据垂线段最短，可得当ODAC时，OD最短，即EF最短由（1）可知，在直角AOC中，OC=OA=4，根据等腰三角形的性质，D是AC的中点又DFOC，DF=OC=2，点P的纵坐标是2则x2+3x+4=2，解得：x=，当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）方法二：（1）略（2）当以C为直角顶点时，过点C作CPAC，交抛物线于点P，A（4，0），C（0，4），KAC=1，CPAC，KCPKAC=1，KCP=1，lCP：y=x+4，x22x=0，x1=0（舍），x2=2，P（2，6），当点
17、A为直角顶点时，过点A做APAC交抛物线于点P，APAC，KAPKAC=1，KAP=1lAP：y=x4，x22x8=0，x1=4（舍），x2=2，P（2，6），综上所述，P点的坐标是（2，6）或（2，6），（3）设P（t，t2+3t+4），E（0，t2+3t+4），lAC：y=x+4，D（t23t，t2+3t+4），F（t23t，0），EF2=（t23t）2+（t23t4）2，令t23t=m，EF2=m2+（m4）2=2m28m+16，当m=2时，EF2有最小值，即t23t=2时，t=或，当EF最短时，点P的坐标是：（，2）或（，2）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系
18、数法求抛物线的解析式，以及等腰三角形的性质在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果4（2015孝感）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值【分析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；（2
19、）若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQAO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；过P点作PFOC交AC于点F，因为PFOC，所以PEFOEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值【解答】解：（1）直线y=x+4经过A，C两点，A点坐标是（4，0），点C坐标是（0，4），又抛物线过A，C两点，解得：，抛物线的解析式为（2）如图1，抛物线的对称轴是直线x=1 以AP，AO为邻边的
20、平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，PQAO，PQ=AO=4P，Q都在抛物线上，P，Q关于直线x=1对称，P点的横坐标是3，当x=3时，P点的坐标是；过P点作PFOC交AC于点F，PFOC，PEFOEC，又，设点F（x，x+4），化简得：x2+4x+3=0，解得：x1=1，x2=3当x=1时，；当x=3时，即P点坐标是或又点P在直线y=kx上，【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，题目综合性较强，难度不大，是一道很好的中考题5（2016岑溪市一模）如图，二次函数的图象经过点A（4，0），B（4，4），且
21、与y轴交于点C（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：BAO=CAO（其中O是原点）；（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作y轴的平行线，分别交此二次函数图象及x轴于Q、H两点，试问：是否存在这样的点P，使PH=2QH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将A、B两点的坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式（2）本题可先根据抛物线的解析式求出C点的坐标，然后根据这三点的坐标，求出CAO和BAO的正切值，以此来证明这两角相等（3）可先根据直线AB的解析式设出P点的坐标，由于PHx轴，因此P、Q两点的横
22、坐标相等，可根据抛物线的解析式求出Q点的纵坐标，根据PH=2QH，即P的纵坐标的绝对值是Q的纵坐标绝对值的2倍，由此可求出P、Q的横坐标，进而可求出P点的坐标【解答】解：（1）点A（4，0）与B（4，4）在二次函数图象上，解得二次函数解析式为y=x2+x+2（2）过B作BDx轴于点D，由（1）得C（0，2），则在RtAOC中，tanCAO=，又在RtABD中，tanBAD=；tanCAO=tanBAD，CAO=BAO（3）由点A（4，0）与B（4，4），可得直线AB的解析式为y=x2，设P（x，x2），（4x4）；则Q（x，x2+x+2），PH=|x2|=2x，QH=|x2+x+2|2x=2|
23、x2+x+2|当2x=x2+x+4，解得x1=1，x2=4（舍去），P（1，）当2x=x2x4，解得x1=3，x2=4（舍去），P（3，）综上所述，存在满足条件的点，它们是P1（1，）与P2（3，）【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点主要考查学生数形结合的数学思想方法6（2014仙桃）已知抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q设点P的运动时间为t秒（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M
24、，使MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）已知3点求抛物线的解析式，设解析式为y=ax2+bx+c，待定系数即得a、b、c的值，即得解析式（2）BQ=AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=AP可求t值（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形考虑MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时MPQ为等边三角形若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直
25、平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（，0）三点，解得 ，y=x2x+2（2）AQPB，BOAP，AOQ=BOP=90，PAQ=PBO，AO=BO=2，AOQBOP，OQ=OP=t如图1，当t2时，点Q在点B下方，此时BQ=2t，AP=2+tBQ=AP，2t=（2+t），t=如图2，当t2时，点Q在点B上方，此时BQ=t2，AP=2+tBQ=AP，t2=（2+t），t=6综上所述，
26、t=或6时，BQ=AP（3）当t=1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（3，3）分析如下：AQBP，QAO+BPO=90，QAO+AQO=90，AQO=BPO在AOQ和BOP中，AOQBOP，OP=OQ，OPQ为等腰直角三角形，MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，直线y=x垂直平分PQ，M在y=x上，设M（x，y），解得 或 ，M点可能为（1，1）或（3，3）如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MDx轴于D，则有PD=|1t|，MP2=1+|1t|2=t22t+2，PQ2=2t2，MPQ为等边三角形，MP=PQ，t2+2t2=0，t=1+，t=1（负
27、值舍去）如图4，当M的坐标为（3，3）时，作MEx轴于E，则有PE=3+t，ME=3，MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，MPQ为等边三角形，MP=PQ，t26t18=0，t=3+3，t=33（负值舍去）综上所述，当t=1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（3，3），使得MPQ为等边三角形【点评】本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析总体来说本题难度较高，其中技巧需要好好把握7（20
28、14贺州）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上直线y=1与y轴交于点H（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，求证：FM平分OFP；（3）当FPM是等边三角形时，求P点的坐标【分析】（1）根据题意可设函数的解析式为y=ax2，将点A代入函数解析式，求出a的值，继而可求得二次函数的解析式；（2）过点P作PBy轴于点B，利用勾股定理求出PF，表示出PM，可得PF=PM，PFM=PMF，结合平行线的性质，可得出结论；（3）首先可得FMH=30，设点P的坐标为（x，x2），根据PF=PM=FM，可得关于x的方程，
29、求出x的值即可得出答案【解答】（1）解：二次函数图象的顶点在原点O，设二次函数的解析式为y=ax2，将点A（1，）代入y=ax2得：a=，二次函数的解析式为y=x2；（2）证明：点P在抛物线y=x2上，可设点P的坐标为（x，x2），过点P作PBy轴于点B，则BF=|x21|，PB=|x|，RtBPF中，PF=x2+1，PM直线y=1，PM=x2+1，PF=PM，PFM=PMF，又PMy轴，MFH=PMF，PFM=MFH，FM平分OFP；（3）解：当FPM是等边三角形时，PMF=60，FMH=30，在RtMFH中，MF=2FH=22=4，PF=PM=FM，x2+1=4，解得：x=2，x2=12=
30、3，满足条件的点P的坐标为（2，3）或（2，3）【点评】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，将所学知识融会贯通8（2014重庆）如图，抛物线y=x22x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQAB交抛物线于点Q，过点Q作QNx轴于点N若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求AEM的面积；（3）在（2）
31、的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）若FG=2DQ，求点F的坐标【分析】方法一：（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y=0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标（2）设M点横坐标为m，则PM=m22m+3，MN=（m1）2=2m2，矩形PMNQ的周长d=2m28m+2，将2m28m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x=m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积（3）设F（n，n22n+3），根据已知若FG=2DQ，即可求得方法二：（1）略（2）求出P，Q的参数坐标，
32、并得出周长的函数表达式，求出P点，进而求出E点坐标，并求出AEM的面积（3）求出D点坐标，并求出DQ长度；再求出F，G的参数坐标，并得到FG的函数表达式，利用FG=DQ，求点F的坐标（4）利用点P，B求出直线PB的斜率及中点坐标，进而GH的直线方程，再与抛物线联立，进而求出G，H坐标【解答】方法一：解：（1）由抛物线y=x22x+3可知，C（0，3），令y=0，则0=x22x+3，解得x=3或x=1，A（3，0），B（1，0）（2）由抛物线y=x22x+3可知，对称轴为x=1，设M点的横坐标为m，则PM=m22m+3，MN=（m1）2=2m2，矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（m22m+
33、32m2）2=2m28m+2=2（m+2）2+10，当m=2时矩形的周长最大A（3，0），C（0，3），设直线AC解析式为y=kx+b，解得k=1，b=3，解析式y=x+3，当x=2时，则E（2，1），EM=1，AM=1，S=AMEM=（3）M点的横坐标为2，抛物线的对称轴为x=1，N应与原点重合，Q点与C点重合，DQ=DC，把x=1代入y=x22x+3，解得y=4，D（1，4）DQ=DC=，FG=2DQ，FG=4，设F（n，n22n+3），则G（n，n+3），点G在点F的上方，（n+3）（n22n+3）=4，解得：n=4或n=1F（4，5）或（1，0）方法二：（1）略（2）设P（t，t22t
34、+3），Q（2t，t22t+3），矩形PQMN周长为：2PQ+2PM，2PQ+2PM=2（2tt）+2（t22t+3），2PQ+2PM=2t28t+2，当t=2时，周长最大，P（2，3），A（3，0），C（0，3），lAC：y=x+3，点E在直线AC上，且EX=PX，把x=2代入，E（2，1），SAEM=AMEM=11=，（3）D为抛物线顶点，D（1，4），Q（0，3），DQ=，FG=2DQ=2=4，t2+3t4=0，t1=4，t2=1，F1（4，5），F2（1，0）拓展：方法二追问（4）：在（2）的条件下，若直线l与抛物线相交，交点为G、H（G点在H点右侧）且点P与点B关于直线l对称，求出点
35、G、H坐标（4）点P与点B关于直线L对称，PB被GH垂直平分，P（2，3），B（1，0），KPB=1，PBGH，KPBKGH=1，KGH=1，F为PB的中点，FX=，FY=，G（，），H（，）【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中运用数形结合、方程思想是解题的关键9（2014三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B
36、，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得PBDPBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）解析式已存在，y=ax2+bx+4，我们只需要根据特点描述求出a，b即可由对称轴为，又过点A（2，0），所以函数表达式易得（2）四边形BCMN为平行四边形，则必定对边平行且相等因为已知MNBC，所以MN=BC，即M、N的位置如B、C位置关系，则可分2种情形，N点在M点右下方，即M向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合 M点在N右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合因为M在抛物线，可设坐标为（x
37、，x2+x+4），易得N坐标由N在x轴上，所以其纵坐标为0，则可得关于x的方程，进而求出x，求出M的坐标（3）使PBDPBC，易考虑CBD的平分线与抛物线的交点确定平分线可因为BC=BD，可作等腰BCD，利用三线合一，求其中线所在方程，进而与抛物线联立得方程组，解出P即可【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（2，0），0=4a2b+4，对称轴是x=3，=3，即6a+b=0，两关于a、b的方程联立解得 a=，b=，抛物线为y=x2+x+4（2）如图1所示，四边形为平行四边形，且BCMN，BC=MNN点在M点下方，即M向下平移4个单位，向右平移3个单位与N重合设M1（x，x2+x
38、+4），则N1（x+3，x2+x），N1在x轴上，x2+x=0，解得 x=0（M与C重合，舍去），或x=6，xM=6，M1（6，4）M点在N点右下方，即N向下平移4个单位，向右平移3个单位与M重合设M（x，x2+x+4），则N（x3，x2+x+8），N在x轴上，x2+x+8=0，解得 x=3，或x=3+，xM=3，或3+M2（3，4）或M3（3+，4）综上所述，M的坐标为（6，4）或（3，4）或（3+，4）（3）OC=4，OB=3，BC=5如果PBDPBC，那么BD=BC=5，D在x轴上，D为（2，0）或（8，0）当D为（2，0）时，连接CD，过B作直线BE平分DBC交CD于E，交抛物线于P1
39、，P2，连接P2C、P2D，如图2所示，此时P1BCP1BD，P2BCP2BD，BC=BD，E为CD的中点，即E（1，2），设过E（1，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则 ，解得 ，BE：y=x+设P（x，y），则有，解得 ，或，则P1（4+，），P2（4，）当D为（8，0）时，连接CD，过B作直线BF平分DBC交CD于F，交抛物线于P3，P4，如图3所示，此时P3BCP3BD，P4BCP4BD，BC=BD，F为CD的中点，即F（4，2），设过F（4，2），B（3，0）的直线为y=kx+b，则，解得 ，BF：y=2x6设P（x，y），则有，解得 或 ，则P3（1+，8+2），P4（1，
40、82）综上所述，点P的坐标为（4+，）或（4，）或（1+，8+2）或（1，82）【点评】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，函数的意义，平移及二元一次方程求解等知识，本题难度适中，但想做全答案并不容易，是道非常值得学生练习的题目10（2015铜仁市）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使PBC为等腰三角形？若存在请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从 点D与点M同时出发，以每秒2
41、个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，MNB面积最大，试求出最大面积【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：CP=CB；BP=BC；PB=PC；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=
42、4，c=3，二次函数的表达式为：y=x24x+3；（2）令y=0，则x24x+3=0，解得：x=1或x=3，B（3，0），BC=3，点P在y轴上，当PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，当CP=CB时，PC=3，OP=OC+PC=3+3或OP=PCOC=33P1（0，3+3），P2（0，33）；当BP=BC时，OP=OB=3，P3（0，3）；当PB=PC时，OC=OB=3此时P与O重合，P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，33）或（0，3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB=2，得BM=2t，则DN=2t，SMNB=（2t）2t=t2+2t=（t1）2+1，即当M（2，0）、N（2，2）或（2，2）时MNB面积最大，最大面积是1【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对
