1、二次函数一选择题1（2019葫芦岛）二次函数yax2+bx的图象如图所示，则一次函数yax+b的图象大致是（）ABCD2（2019西藏）把函数yx2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y（x1）2+1的图象（）A向左平移1个单位，再向下平移1个单位B向左平移1个单位，再向上平移1个单位C向右平移1个单位，再向上平移1个单位D向右平移1个单位，再向下平移1个单位3（2019莱芜区）将二次函数yx25x6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A或12B或2C12或2D或124（2019南通）如图是王
2、阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分下列说法不正确的是（）A25min50min，王阿姨步行的路程为800mB线段CD的函数解析式为s32t+400（25t50）C5min20min，王阿姨步行速度由慢到快D曲线段AB的函数解析式为s3（t20）2+1200（5t20）5（2019朝阳）已知二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现给出下列结论：abc0；9a+3b+c0；b24ac8a；5a+b+c0其中正确结论的个数是（）A1B2C3D46如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象过点（2，0），对称轴
3、为直线x1有以下结论：abc0；8a+c0；若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当xx1+x2时，yc；点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PMPN，则a的取值范围为a1；若方程a（x+2）（4x）2的两根为x1，x2，且x1x2，则2x1x24其中结论正确的有（）A2个B3个C4个D5个7（2019济南）关于x的一元二次方程ax2+bx+0有一个根是1，若二次函数yax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t2a+b，则t的取值范围是（）AtB1tCtD1t8（2019恩施州）抛物线yax2+bx+c的对称轴是直线x1，且过点（1，0）顶点位于
4、第二象限，给出以下判断：ab0且c0；4a2b+c0；8a+c0；c3a3b；直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x25其中正确的个数有（）A5个B4个C3个D2个9（2019淄博）将二次函数yx24x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位若得到的函数图象与直线y2有两个交点，则a的取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da510（2019雅安）在平面直角坐标系中，对于二次函数y（x2）2+1，下列说法中错误的是（）Ay的最小值为1B图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x2C当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的
5、增大而减小D它的图象可以由yx2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到11（2019大连）如图，抛物线yx2+x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CDABAD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于x轴，与拋物线相交于P，Q两点，则线段PQ的长为（）AB2CD212（2019陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线yx2+（2m1）x+2m4与yx2（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）Am，nBm5，n6Cm1，n6Dm1，n213（2019通辽）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，现给以下结
6、论：abc0；c+2a0；9a3b+c0；abm（am+b）（m为实数）；4acb20其中错误结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个14（2019贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（1，0），点B（1，1）都在直线yx+上，若抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）Aa2BaC1a或a2D2a15（2019安顺）如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OAOC则由抛物线的特征写出如下结论：abc0；4acb20；ab+c0；ac+b+10其中正确的个数是（）A4个B3个C2个D1个二填空题16（2019雅安）已知
7、函数y的图象如图所示，若直线yx+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 17（2019内江）若x、y、z为实数，且，则代数式x23y2+z2的最大值是 18（2019大庆）如图，抛物线yx2（p0），点F（0，p），直线l：yp，已知抛物线上的点到点F的距离与到直线l的距离相等，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，AA1l，BB1l，垂足分别为A1、B1，连接A1F，B1F，A1O，B1O若A1Fa，B1Fb、则A1OB1的面积 （只用a，b表示）19（2019赤峰）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：b0；ab+c0；一元二次方程ax2+bx+c+10（a0
8、）有两个不相等的实数根；当x1或x3时，y0上述结论中正确的是 （填上所有正确结论的序号）20（2019长春）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax22ax+（a0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点MP为抛物线的顶点若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为 21（2019贵港）我们定义一种新函数：形如y|ax2+bx+c|（a0，且b24ac0）的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数y|x22x3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：图象与坐标轴的交点为（1，0），（3，0）和（0，3）；图象具有对称性，对称轴是直线x1；当1x1或x3时，函数
9、值y随x值的增大而增大；当x1或x3时，函数的最小值是0；当x1时，函数的最大值是4其中正确结论的个数是 22（2019贺州）已知抛物线yax2+bx+c（a0）的对称轴是直线x1，其部分图象如图所示，下列说法中：abc0；ab+c0；3a+c0；当1x3时，y0，正确的是 （填写序号）23（2019荆门）抛物线yax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（1，0），B（m，0），C（2，n）（1m3，n0），下列结论：abc0，3a+c0，a（m1）+2b0，a1时，存在点P使PAB为直角三角形其中正确结论的序号为 24（2019天水）二次函数yax2+bx+c的图象如
10、图所示，若M4a+2b，Nab则M、N的大小关系为M N（填“”、“”或“”）25（2019衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线yx2的图象如图所示已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4OA交抛物线于点A4，依次进行下去，则点A2019的坐标为 三解答题26（2019恩施州）如图，抛物线yax22ax+c的图象经过点C（0，2），顶点D的坐标为（1，），与x轴交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（2）连接AC，E为直线AC上一点，当AOCAEB时，求点E的坐标和的值（3）点F（
11、0，y）是y轴上一动点，当y为何值时， FC+BF的值最小并求出这个最小值（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由27（2019济南）如图1，抛物线C：yax2+bx经过点A（4，0）、B（1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：ykx经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m2），连接DO并延长，交抛物线C于点E，交直线l于点M，若DE2EM，求m的值；（3）如图3，在（
12、2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得DEPGAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由28（2019营口）在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c过点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，将OBC沿BC所在的直线翻折，得到DBC，连接OD（1）用含a的代数式表示点C的坐标（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式（3）设OBD的面积为S1，OAC的面积为S2，若，求a的值29（2019抚顺）如图，抛物线yax2+bx3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶
13、点（1）求抛物线的解析式（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分OMD时，求点Q的坐标（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出PCE与ACD全等时点P的坐标302018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1x12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1x12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示月份x3456售价y1/元1214
14、1618（1）求y1与x之间的函数关系式（2）求y2与x之间的函数关系式（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？31（2019丹东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线yx+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MNx轴，MN7（1）求此抛物线的解析式（2）求点N的坐标（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tanFAC时，求点F的坐标（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于
15、点H，交y轴于点K，连接CN，AHK沿射线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0t），请直接写出S与t的函数关系式32如图1，抛物线yax2+bx+6与x轴交于点A（2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E（1）求抛物线的解析式（2）如图2，将AOE沿直线AD平移得到NMP当点M落在抛物线上时，求点M的坐标在NMP移动过程中，存在点M使MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标33（2019盘锦）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和点C（0，4），交x
16、轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90，得到线段FP，过点P作PHy轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）（1）求抛物线的解析式（2）若AOC与FEB相似，求a的值（3）当PH2时，求点P的坐标34（2019阜新）如图，抛物线yax2+bx+2交x轴于点A（3，0）和点B（1，0），交y轴于点C（1）求这个抛物线的函数表达式（2）点D的坐标为（1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使MNO
17、为等腰直角三角形，且MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由35（2019鞍山）在平面直角坐标系中，过点A（3，4）的抛物线yax2+bx+4与x轴交于点B（1，0），与y轴交于点C，过点A作ADx轴于点D（1）求抛物线的解析式（2）如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当SAQD2SAPQ时，求点P的坐标（3）如图2，G是线段OC上一个动点，连接DG，过点G作GMDG交AC于点M，过点M作射线MN，使NMG60，交射线GD于点N；过点G作GHMN，垂足为点H，连接BH请直接写出线段BH的最小值参考答案一选择题1解：由二次函数图象
18、，得出a0，0，b0，A、一次函数图象，得a0，b0，故A错误；B、一次函数图象，得a0，b0，故B错误；C、一次函数图象，得a0，b0，故C错误；D、一次函数图象，得a0，b0，故D正确；故选：D2解：抛物线yx2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y（ x1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y（x1）2+1的图象故选：C3解：如图所示，过点B的直线y2x+b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点，令yx25x60
19、，解得：x1或6，即点B坐标（6，0），将一次函数与二次函数表达式联立得：x25x62x+b，整理得：x27x6b0，494（6b）0，解得：b，当一次函数过点B时，将点B坐标代入：y2x+b得：012+b，解得：b12，综上，直线y2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为12或；故选：A4解：A、25min50min，王阿姨步行的路程为20001200800m，故A没错；B、设线段CD的函数解析式为skt+b，把（25，1200），（50，2000）代入得，解得：，线段CD的函数解析式为s32t+400（25t50），故B没错；C、在A点的速度为105m/min，在B点的速度为45m/m
20、in，故C错误；D、当t20时，由图象可得s1200m，将t20代入s3（t20）2+1200（5t20）得s1200，故D没错故选：C5解：由图象可知：a0，c0，由于对称轴0，b0，abc0，故正确；抛物线过（3，0），x3，y9a+3b+c0，故正确；顶点坐标为：（，）由图象可知：2，a0，4acb28a，即b24ac8a，故错误；由图象可知：1，a0，2a+b0，9a+3b+c0，c9a3b，5a+b+c5a+b9a3b4a2b2（2a+b）0，故正确；故选：C6解：由图象可知：a0，c0，0，abc0，故正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物线的对称轴为直线x1，1，b2a，当x2时，
21、y4a2b+c0，4a+4a+c0，8a+c0，故错误；A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2122，当x2时，y4a+2b+c4a4a+cc，故正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PMPN，即3，8a+c0，c8a，b2a，解得：a，故错误；易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），yax2+bx+ca（x+2）（x4）若方程a（x+2）（4x）2，即方程a（x+2）（x4）2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y2的两个交点的横坐标，x1x2，x124x
22、2，故错误；故选：A7解：关于x的一元二次方程ax2+bx+0有一个根是1，二次函数yax2+bx+的图象过点（1，0），ab+0，ba+，t2a+b，则a，b，二次函数yax2+bx+的图象的顶点在第一象限，0，0，将a，b代入上式得：0，解得：1t，0，解得：t为任意实数，故：1t，故选：D8解：抛物线对称轴x1，经过（1，0），1，a+b+c0，b2a，c3a，a0，b0，c0，ab0且c0，故错误，抛物线对称轴x1，经过（1，0），（2，0）和（0，0）关于对称轴对称，x2时，y0，4a2b+c0，故正确，抛物线与x轴交于（3，0），x4时，y0，16a4b+c0，b2a，16a8a+
23、c0，即8a+c0，故错误，c3a3a6a，b2a，c3a3b，故正确，直线y2x+2与抛物线yax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，方程ax2+（b2）x+c20的两个根分别为x1，x2，x1+x2，x1x2，x1+x2+x1x2+5，故错误，故选：D9解：yx24x+a（x2）24+a，将二次函数yx24x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为y（x2+1）24+a+1，即yx22x+a2，将y2代入，得2x22x+a2，即x22x+a40，由题意，得44（a4）0，解得a5故选：D10解：二次函数y（x2）2+1，a10，该函数的图象开口向上，对称
24、轴为直线x2，顶点为（2，1），当x2时，y有最小值1，当x2时，y的值随x值的增大而增大，当x2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，yx2的图象向右平移2个单位长度得到y（x2）2，再向上平移1个单位长度得到y（x2）2+1；故选项D的说法正确，故选：C11解：当y0时，x2+x+20，解得：x12，x24，点A的坐标为（2，0）；当x0时，yx2+x+22，点C的坐标为（0，2）；当y2时，x2+x+22，解得：x10，x22，点D的坐标为（2，2）设直线AD的解析式为ykx+b（k0），将A（2，0），D（2，2）代入ykx+b，得：，解得
25、：，直线AD的解析式为yx+1当x0时，yx+11，点E的坐标为（0，1）当y1时，x2+x+21，解得：x11，x21+，点P的坐标为（1，1），点Q的坐标为（1+，1），PQ1+（1）2故选：B12解：抛物线yx2+（2m1）x+2m4与yx2（3m+n）x+n关于y轴对称，解之得，故选：D13解：由抛物线可知：a0，c0，对称轴x0，b0，abc0，故正确；由对称轴可知：1，b2a，x1时，ya+b+c0，c+3a0，c+2a3a+2aa0，故正确；（1，0）关于x1的对称点为（3，0），x3时，y9a3b+c0，故正确；当x1时，y的最小值为ab+c，xm时，yam2+bm+c，am2
26、+bm+cab+c，即abm（am+b），故错误；抛物线与x轴有两个交点，0，即b24ac0，4acb20，故正确；故选：A14解：抛物线yax2x+1（a0）与线段AB有两个不同的交点，令x+ax2x+1，则2ax23x+1098a0a当a0时，解得：a2a2当a0时，解得：a11a综上所述：1a或a2故选：C15解：观察图象可知，开口方上a0，对称轴在右侧b0，与y轴交于负半轴c0，abc0，故正确；抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，即4acb20，故错误；当x1时yab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+c0，故正确设C（0，c），则OC|c|，OAOC|c|，A（c，0
27、）代入抛物线得ac2+bc+c0，又c0，ac+b+10，故正确；故正确的结论有三个，故选：B二填空题（共10小题）16解：直线yx+m与该图象恰有三个不同的交点，则直线与yx有一个交点，m0，与yx2+2x有两个交点，x+mx2+2x，14m0，m，0m；故答案为0m17解：，得，y1+z，把y1+z代入得，x2z，则x23y2+z2（2z）23（1+z）2+z2z210z+1（z+5）2+26，当z5时，x23y2+z2的最大值是26，故答案为：2618解：AA1AF，B1BBF，AFA1AA1F，BFB1BB1F，AA1l，BB1l，AA1BB1，BAA1+ABB1180，1802AFA
28、1+1802BFB1180，AFA1+BFB190，A1FB190，A1OB1的面积A1FB1的面积ab；故答案为ab19解：由图可知，对称轴x1，与x轴的一个交点为（3，0），b2a，与x轴另一个交点（1，0），a0，b0；错误；当x1时，y0，ab+c0；正确；一元二次方程ax2+bx+c+10可以看作函数yax2+bx+c与y1的交点，由图象可知函数yax2+bx+c与y1有两个不同的交点，一元二次方程ax2+bx+c+10（a0）有两个不相等的实数根；正确；由图象可知，y0时，x1或x3正确；故答案为20解：抛物线yax22ax+（a0）与y轴交于点A，A（0，），抛物线的对称轴为x1
29、顶点P坐标为（1，a），点M坐标为（2，）点M为线段AB的中点，点B坐标为（4，）设直线OP解析式为ykx（k为常数，且k0）将点P（1，）代入得ky（）x将点B（4，）代入得（）4解得a2故答案为：221解：（1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y|x22x3|，是正确的；从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x1，因此也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当1x1或x3时，函数值y随x值的增大而增大，因此也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y0，求出相应的x的值为x1或x3，因此也是正确的；从图象上看，当x1或x3，函数值要大于当x1时的y|x
30、22x3|4，因此时不正确的；故答案是：422解：根据图象可得：a0，c0，对称轴：x1，b2a，a0，b0，abc0，故正确；把x1代入函数关系式yax2+bx+c中得：yab+c，由抛物线的对称轴是直线x1，且过点（3，0），可得当x1时，y0，ab+c0，故错误；b2a，a（2a）+c0，即：3a+c0，故正确；由图形可以直接看出正确故答案为：23解：将A（1，0），B（m，0），C（2，n）代入解析式yax2+bx+c，对称轴x，m1，1m3，ab0，n0，a0，b0，ab+c0，cba0abc0；错误；当x3时，y0，9a+3b+c9a+3（a+c）+c12a+4c4（3a+c）0，
31、正确；a（m1）+2bb+2bb0，正确；a1时，yx2+bx+c，P（，b+1+），若PAB为直角三角形，则PAB为等腰直角三角形，AP的直线解析式的k1，b+1+1，b2，b0，不存在点P使PAB为直角三角形错误；故答案为；24解：当x1时，yab+c0，当x2时，y4a+2b+c0，MN4a+2b（ab）4a+2b+c（ab+c）0，即MN，故答案为：25解：A点坐标为（1，1），直线OA为yx，A1（1，1），A1A2OA，直线A1A2为yx+2，解得或，A2（2，4），A3（2，4），A3A4OA，直线A3A4为yx+6，解得或，A4（3，9），A5（3，9），A2019（1010，
32、10102），故答案为（1010，10102）三解答题（共10小题）26解：（1）由题可列方程组：，解得：抛物线解析式为：yx2x2；（2）由题，AOC90，AC，AB4，设直线AC的解析式为：ykx+b，则，解得：，直线AC的解析式为：y2x2；当AOCAEB时（）2（）2，SAOC1，SAEB，AB|yE|，AB4，则yE，则点E（，）；由AOCAEB得：；（3）如图2，连接BF，过点F作FGAC于G，则FGCFsinFCGCF，CF+BFGF+BFBE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知ABEACOBEABcosABEABcosACO4，|y|OBtanABEOBtan
33、ACO3，当y时，即点F（0，），CF+BF有最小值为；（4）当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，），C（0，2）H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QMy轴于点M则RtQHMRtFQMQM2HMFM，12（2m）（m+），解得：m，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，）27解：（1）将A（4，0）、B（1，3）代入yax2+bx中，得解得抛物线C解析式为：yx24x，配方，得：yx24x（x+2）2+4，顶点为：G（2，4）；（2）
34、抛物线C绕点O旋转180，得到新的抛物线C新抛物线C的顶点为：G（2，4），二次项系数为：a1新抛物线C的解析式为：y（x2）24x24x将A（4，0）代入ykx中，得04k，解得k，直线l解析式为yx，设D（m，m24m），D、E关于原点O对称，ODOEDE2EMOM2OD，过点D作DFx轴于F，过M作MRx轴于R，OFDORM，DOFMORODFOMR2OR2OA，RM2DFM（2m，2m2+8m）2m2+8m（2m），解得：m13，m2，m2m的值为：3；（3）由（2）知：m3，D（3，3），E（3，3），OE3，如图3，连接BG，在ABG中，AB2（1+4）2+（30）218，BG22
35、，AG220AB2+BG2AG2ABG是直角三角形，ABG90，tanGAB，DEPGABtanDEPtanGAB，在x轴下方过点O作OHOE，在OH上截取OHOE，过点E作ETy轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；E（3，3），EOT45EOH90HOT45H（1，1），设直线EH解析式为ypx+q，则，解得直线EH解析式为yx，解方程组，得，点P的横坐标为：或28解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）（x3）a（x22x3），即c3a，则点C（0，3a）；（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，CDP+PDC90，PDC+QDB9
36、0，QDBDCP，设：D（1，n），点C（0，3a），CPDBQD90，CPDDQB，其中：CPn+3a，DQ312，PD1，BQn，CD3a，BD3，将以上数值代入比例式并解得：a，a0，故a，故抛物线的表达式为：yx2+x+；（3）如图2，当点C在x轴上方时，连接OD交BC于点H，则DOBC，过点H、D分别作x轴的垂线交于点N、M，设：OCm3a，S1SOBDOBDMDM，S2SOAC1m，而，则DM，HNDMOC，BNBO，则ON3，则DOBC，HNOB，则BHNHON，则tanBHNtanHON，则HN2ONBN（）2，解得：m6（舍去负值），CO|3a|6，解得：a2（不合题意值已舍
37、去），故：a2当点C在x轴下方时，同理可得：a2；故：a2或a229解：（1）抛物线yax2+bx3经过A（1，0），B（3，0）两点，解得：，抛物线的解析式为：yx22x3（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，MN平分OMD，OMNDMN，又DMON，DMNMNO，MNOOMN，OMON在RtOHM中，OHM90，OH1，M1（1，1）；M2（1，1）当M1（1，1）时，直线OM解析式为：yx，依题意得：xx22x3解得：，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，Q点纵坐标y，当M2（1，1）时，直线OM解析式为：yx，同理可求：，综上所述：点Q的坐标为：，（3）由题意可知：A（1，0），C（0，3
38、），D （1，4），AC，AD，CD，直线BC经过B（3，0），C（0，3），直线BC解析式为yx3，抛物线对称轴为x1，而直线BC交对称轴于点E，E坐标为（1，2）；CE，设P点坐标为（x，y），则CP2（x0）2+（y+3）2，则EP2（x1）2+（y+2）2，CECD，若PCE与ACD全等，有两种情况，PCAC，PEAD，即PCEACD，解得：，即P点坐标为P1（3，4），P2（1，6）PCAD，PEAC，即PCEACD，解得：，即P点坐标为P3（2，1），P4（4，1）故若PCE与ACD全等，P点有四个，坐标为P1（3，4），P2（1，6），P3（2，1），P4（4，1）30解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1kx+b，将（3，12）（4，14）代入y1得，解得：，y1与x之间的函数关系式为：y12x+6；（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），设y2与x之间的函数关系式为：y2a（x3）2+9，将（5，10）代入y2a（x3）2+9得a（53）2+910，解得：a，y2（x3）2+9x2x+；（3）由
