1、二次函数时间：120分钟 满分：150分1（10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3（a0）与x轴分别交于A（3，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E（1，4），对称轴交x轴于点F（1）请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；（2）连接AC、AE、CE，判断ACE的形状，并说明理由；（3）如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且3m1，过点D作DKx轴于点K，DK分别交线段AE、AC于点G、H在点D的运动过程中，DG、GH、HK这三条线段能否相等？若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；在的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论2
2、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+n与x轴，y轴分别交于点B，点C，抛物线yax2+bx+（a0）过B，C两点，且交x轴于另一点A（2，0），连接AC（1）求抛物线的表达式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，且点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示点P到直线BC的距离；（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与ABC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3（10分）已知抛物线yax22ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB4，与y轴交于C点（1）求抛物线的解析式；（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b3），
3、存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PMMN成立；（3）将该抛物线在0x4间的部分记为图象G，将图象G在直线yt上方的部分沿yt翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若mn6，求t的取值范围4（10分）如图，抛物线yx1与y轴交于点A，点B是抛物线上的一点，过点B作BCx轴于点C，且点C的坐标为（9，0）（1）求直线AB的表达式；（2）若直线MNy轴，分别与抛物线，直线AB，x轴交于点M、N、Q，且点Q位于线段OC之间，求线段MN长度的最大值；（3）当四边形MNCB是平行四边形时，求点Q的坐标5（10分）如图，抛物线yax2+bx+3与x
4、轴交于A（3，0），B（l，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的动点，且满足SPAO2SPCO，求出P点的坐标；（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标6（10分）如图（1）已知矩形AOCD在平面直角坐标系xOy中，CAO60，OA2，B点的坐标为（2，0），动点M以每秒2个单位长度的速度沿ACB运动（M点不与点A、点B重合），设运动时间为t秒（1）求经过B、C、D三点的抛物线解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为AC中点时，若PAMPDM，求点P的坐标；（3）当点M在
5、CB上运动时，如图（2）过点M作MEAD，MFx轴，垂足分别为E、F，设矩形AEMF与ABC重叠部分面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）如图（3）点P在（1）中的抛物线上，Q是CA延长线上的一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，QPB的面积为2d，求点P的坐标7（10分）如图，已知直线l：y1和抛物线L：yax2+bx+c（a0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线ykx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1x2（1）求抛物线L的解析式；（2）点P是抛物线L上一动点以点P为圆心
6、，PF为半径作P，试判断P与直线l的位置关系，并说明理由；若点Q（2，3），当|PQPF|的值最小时，求点P的坐标；（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切8（10分）如图，已知二次函数yax2+x+c（a0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC（1）求出二次函数表达式；（2）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请求出此时点N的坐标9（10分）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴
7、交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求此抛物线的函数表达式；（2）以点B为直角顶点作直角三角形BCE，斜边CE与抛物线交于点P，且CPEP，求点P的坐标；（3）BOC绕着它的顶点B顺时针在第一象限内旋转，旋转的角度为，旋转后的图形为BO1C1当旋转后的BO1C1有一边在直线BD上时，求BO1C1不在BD上的顶点的坐标10（10分）如图，抛物线yax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）
8、将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：yx1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值11（10分）如图，在平面直角坐标系内，抛物线yx2+2x+3与x轴交于点A，C（点A在点C的左侧），与y轴交于点B，顶点为D点Q为线段BC的三等分点（靠近点C）（1）点M为抛物线对称轴上一点，点E为对称轴右侧抛物线上的点且位于第一象限，当MQC的周长最小时，求CME面积的最大值；（2）在（1）的条件下，当CME的面积最大时，过点E作ENx轴，垂足为N，将线段CN绕点C顺时针旋转90得到点N，再将点N
9、向上平移个单位长度得到点P，点G在抛物线的对称轴上，请问在平面直角坐标系内是否存在一点H，使点D，P，G，H构成菱形若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由12（10分）已知二次函数ya（x1）2+k的图象与x轴交于A，B两点，AB4，与y轴交于C点，E为抛物线的顶点，ECO135（1）求二次函数的解析式；（2）若P在第四象限的抛物线上，连接AE交y轴于点M，连接PE交x轴于点N，连接MN，且SEAP3SEMN，求点P的坐标；（3）过直线BC上两点P，Q（P在Q的左边）作y轴的平行线，分别交抛物线于N，M，若四边形PQMN为菱形，求直线MN的解析式13（10分）如图，在平面直角坐标系
10、中，抛物线yax2+bx+c（a0）交x轴于点A（2，0），B（3，0），交y轴于点C，且经过点D（6，6），连接AD，BD（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若点M为X轴上方的抛物线上一点，能否在点A左侧的x轴上找到另一点N，使得AMN与ABD相似？若相似，请求出此时点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与A，D重合），过点P作PQy轴交直线AD于点Q，以PQ为直径作E，则E在直线AD上所截得的线段长度的最大值等于 （直接写出答案）14（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，直线DE的解析式为y
11、x2，BDOADO；（1）求抛物线的解析式；（2）点F在第四象限的抛物线上，FGx轴，交直线DE于点G，若点F的横坐标为t，线段FG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，FG经过点C，连接DF，点H在第四象限直线DF右侧的抛物线上，连接HA，点M在线段DF上，DM2MF，DKAH，MKAH，直线DK、直线MK相交于点K，连接GK，当GKD135时，求线段HA的长15（10分）如图，已知抛物线yax2+x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（2，0），C（0，4），直线l：yx4与x轴交于点D，点P是抛物线yax2+x+c上的一动点
12、，过点P作PEx轴，垂足为E，交直线l于F（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标；（3）如图（2），连接AC求证：ACD是直角三角形参考答案1解：（1）抛物线的表达式为：ya（x+1）2+4a（x2+2x+1）+4，故a+43，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x+3；将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y2x+6；同理可得：直线AC的表达式为：yx+3；（2）点A、C、E的坐标分别为：（3，0）、（0，3）、（1，4），则AC218，CE22，AE220，故AC2+CE2AE2，则ACE为直角三角
13、形；（3）设点D、G、H的坐标分别为：（x，x22x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3），DGx22x+32x6x24x3；HKx+3；GH2x+6x3x+3；当DGHK时，x24x3x+3，解得：x2或3（舍去3），故x2，当x2时，DGHKGH1，故DG、GH、HK这三条线段相等时，点D的坐标为：（2，3）；CG；AE2，故AE2CG2解：（1）点C（0，），则直线yx+nx+，则点B（3，0），则抛物线的表达式为：ya（x3）（x+2）a（x2x6），故6a，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+x+；（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PHBC于点H，则HPGCBA，tanC
14、BAtan，则cos，设点P（m，m2+m+），则点G（m，m+），则PHPGcos（m2+m+m）m2+m；（3）当点Q在x轴上方时，则点Q，A，B为顶点的三角形与ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称，则点Q（1，）；当点Q在x轴下方时，（）当BAQCAB时，QABBAC，则，由勾股定理得：AC5，AQ10，过点Q作QHx轴于点H，由HAQOAC得：，OC，AQ10，QH6，则AH8，OH1826，Q（6，6）；根据点的对称性，当点Q在第三象限时，符合条件的点Q（5，6）；故点Q的坐标为：（6，6）或（5，6）；（）当BAQCBA时，则直线AQBC，直线BC表达式中的k为：，则直线A
15、Q的表达式为：yx2，联立并解得：x5或2（舍去2），故点Q（5，），而，故，即Q，A，B为顶点的三角形与ABC不相似，故舍去，Q的对称点（4，）同样也舍去，即点Q的为：（4，）、（5，）均不符合题意，都舍去；综上，点Q的坐标为：（1，）或（6，6）或（5，6）3解：（1）抛物线yax22ax+3的对称轴为x1，又AB4，由对称性得A（1，0）、B（3，0） 把A（1，0）代入yax22ax+3，得a+2a+30，a1抛物线的解析式为yx2+2x+3（2）如图，过M作GHx轴，PGx轴，NHx轴，由PMMN，则PMGNMH（AAS），PGNH，MGMH设M（m，m2+2m+3），则N（2m，4
16、m2+4m+3），P（0，b），GMMH，yG+yH2yM，即b+（4m2+4m+3）2（m2+2m+3），2m2b3，b3，关于m的方程总有两个不相等的实数根，此即说明了点M、N存在，并使得PMMN证毕；（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D（1，2t4）当D在点H（4，5）上方时，2t45，t，此时，mt，n5，mn6，t+56，t1，t1；当点D在点H（4，5）下方时，同理可得：t，mt，n2t4，由mn6，得t（2t4）6，t2，2t综上所述，t的取值范围为：2t14解：（1）令x0，则y1，即A（0，1）B为抛物线上的一点，BCx轴，C（9，0），B点的横坐标为9
17、，纵坐标为，即B（9，2）设直线AB的函数解析式为ykx+b，将A（0，1），B（9，2）代入上式并解得：直线AB的函数解析式为；（2）设线段MN的长为L，由抛物线和直线AB的解析式，得：故线段MN长度的最大值为；（3）若四边形MNCB是平行四边形，则需要MNBC，由点B、C的坐标可知BC2，解得：x1或x8故当点Q的坐标为（1，0）或（8，0）时，四边形MNCB是平行四边形5解：（1）抛物线yax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（l，0）两点，解得：，抛物线的解析式为：yx22x+3；（2）抛物线yx22x+3与y轴交于点C，点C（0，3）OAOC3，设点P（x，x22x+3）SPAO
18、2SPCO，3|x22x+3|23|x|，x或x2，点P（，2）或（，2）或（2+，4+2）或（2，42）；（3）若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形，CFBE，点F与点C纵坐标相等，3x22x+3，x12，x20，点F（2，3）若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形，BE与CF互相平分，BE中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，点F的纵坐标为3，3x22x+3x1，点F（1+，3）或（1，3）；若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形，BC与EF互相平分，BC中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，点F的纵坐标为3，点F（2，3），综上所述，点F坐标（2，3）或（1+，3）或（1，3）6解：
19、（1）四边形ABCD是矩形，CDAO2，AOC90，且CAO60，OA2，OC2，点C（0，2），点D（2，2），设抛物线解析式为ya（x+1）2+c，代B（2，0），C（0，2）解得：抛物线解析式为y（x+1）2+，（2）M为AC中点，MAMD，PAMPDM，PAPD，点P在AD的垂直平分线上点P纵坐标为，x11+，x21点P（1+，）或（1，）（3）如图2，AOBO2，COAB，ACBC4，CAO60，ACB是等边三角形，由题意可得：CM2t4，BF（82t）4t，MF4t，AFt四边形AEMF是矩形，AEMF，EMAF，EMAB，CMHCBA60，CHMCAO60，CMH是等边三角形，C
20、MMH2t4，S（2t4+t）（4t）（t）2+当t时，S最大，（4）SABP4d2d，又SBPQ2dSABPSBPQ，AQBP设直线AC解析式为ykx+b，把A（2，0），C（0，2）代入其中，得直线AC解析式为：yx+2，设直线BP 的解析式为yx+n，把B（2，0）代入其中，得02+n，b2直线BP解析式为：yx2，x2，x12（舍去），x28，P（8，）7解：（1）抛物线的表达式为：yax2，将点A坐标代入上式得：a（2）2，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2；（2）点F（0，1），设：点P（m， m2），则PFm2+1，而点P到直线l的距离为： m2+1，则P与直线l的位置关系为相
21、切；当点P、Q、F三点共线时，|PQPF|最小，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：ykx+b并解得：直线FQ的函数表达式为：yx+1，联立并解得：x2，故点P的坐标为：（2，3）；（3）将抛物线的表达式与直线ykx+1联立并整理得：x24kx40，则x1+x24k，x1x24，则y1+y2k（x1+x2）+24k2+2，则x2x14，设直线BC的倾斜角为，则tank，则cos，则BC4（k2+1），则BC2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切8解：（1）二次函数yax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x
22、轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），解得抛物线表达式：yx2+x+4；（2）令y0，则x2+x+40，解得x18，x22，点B的坐标为（2，0）又A（0，4），C（8，0），AB2，BC8（2）10，AC4，AB2+AC2BC2，BAC90ACABACMN，MNAB设点N的坐标为（n，0），则BNn+2，MNAC，BMNBAC，BM，MN，AMABBM2SAMNAMMN（n3）2+5，当n3时，AMN面积最大是5，N点坐标为（3，0）当AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）（3）由（2）知，AC4，以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8，0），以C为圆心，以AC长为半
23、径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（84，0）或（8+4，0）作AC的垂直平分线交AC于P，交x轴于N，AOCNPC，即CN5此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（8，0）、（84，0）、（3，0）、（8+4，0）9解：（1）把A（1，0），B（3，0）两点代入yx2+bx+c，得：，解得b2，c3，抛物线的函数表达式为yx2+2x+3；（2）如图1，（2）过点P作PHx轴于H，PGy轴于G，连接PB，设P（m，m2+2m+3），易知C（0，3），OCOB，OCBOBC45，PCPB，PBCPCB，PCGPBC，又P
24、CPB，RtPCGRtPBH（AAS），PGPH，mm2+2m+3，解得：mP为（）或（）；（3）如图2，当BC1在直线BD上时，过点O1作O1MOB，由yx2+2x+3可得D（1，4）DC，BC3，DB2，DC2+BC2BD2，BCD为直角三角形，且BCD90，DBC+CBO1CBO1+ABO145，ABO1DBC，MBO1CBD，即，BM，点O1的坐标为（3），如图3，当BO1与BD重合时，过点B作x轴的垂线BN，过点C1作C1NBN于点N，易证NBC1CBD，BN，NC1，则C1的坐标为（3+）10解：（1）抛物线yax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），解得抛物线的表达
25、式为：yx24x+3；（2）如图1，当CD为平行四边形的对角线时，设点E的坐标为（x，x24x+3），则CD中点的坐标为（1，1），该点也为EF的中点即：x24x+321，解得：x2，E的坐标为（2+，2）或（2，2）；如图2，当CD为平行四边形的一条边时，设点F坐标为（m，0），点D向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点C，同样点F向左平移2个单位、向上平移4个单位，得到点E（m2，4），将点E坐标代入二次函数表达式并解得：m4，则点E（2+，4）或（2，4）；故点E的坐标为（2+，2）或（2，2）或（2+，4）或（2，4）；（3）抛物线沿着过点（0，2）且垂直与y轴的直线翻折后，顶点坐
26、标为（2，5），则新抛物线的表达式为：y（x2）2+5x2+4x+1设点E的坐标为（x，x2+4x+1），则点F（x，x1），EFx2+4x+1（x1）x2+x+2设直线yx1与x轴交于点QMNEFcosQFG（x2+x+2）（x）2+由二次函数性质可知，MN的最大值为11解：（1）令y0，得x2+2x+30，解得x11，x23，A（1，0），C（3，0），令x0，得y3，B（0，3），如图1，过Q作QFx轴于F，QFOB，CQFCBO，点Q为线段BC的三等分点（靠近点C），QFCF1，Q（2，1），yx2+2x+3（x1）2+4，D（1，4），抛物线对称轴x1连接AQ交抛物线对称轴于M，则M
27、（1，），此时MQC周长最小设直线CM解析式为ykx+b，则，解得：；yx+1，设E（t，t2+2t+3）为抛物线对称轴右侧且位于第一象限内的点，过E作ENx轴于N，EN交CM于S，则，S（t，t+1），ESt2+2t+3（t+1）t2+t+2，t2+t+2（t）2+，10，当t时，SCME最大值，（2）存在如图2，由（1）知CNOCON3，由旋转得CNCN，CNx轴，由题意得CPx轴，CPCN+NP2，P（3，2）DP，四边形DPHG是菱形，DGPHDP2，PHDG，H（3，22），如图3，四边形DPHG是菱形，DGPHDP2，PHDG，H（3，2+2）如图4，四边形DPGH是菱形，P与H关
28、于抛物线对称轴对称，H（1，2）如图5，过点P作PG直线x1于G，作DH直线x1，过P作PHDH于H，PHDGDHPG2，PGD90四边形DPGH是菱形，H（3，4）综上所述，点H的坐标为（3，22）或（3，2+2）或（1，2）或（3，4）12解：（1）过点E作EDy轴于点D，如图1CDE90二次函数ya（x1）2+k的图象对称轴为直线x1xE1，yEk，即DE1，ODk点A、B关于直线x1对称，AB4A（1，0），B（3，0）ECO135DCE45CDDE1OCODCDk1，即yCk1把点A（1，0），C（0，k1）代入二次函数解析式得： 解得：二次函数的解析式为y（x1）2+4x2+2x+
29、3（2）过P作PFx轴于点F，如图2A（1，0），E（1，4）OADE1，OD4在AOM与EDM中，AOMEDM（AAS）AMEM，OMDMOD2SAMNSEMNSEAP3SEMNSNAPSEAPSAMNSEMN3SEMN2SEMNSEMNSAMNPGOM2点P在第四象限yP（x1）2+42解得：x11+，x21（舍去）点P坐标为（1+，2）（3）四边形PQMN为菱形PQMN，PNPQMQMN点M、N必须同时在直线BC的上方或下方过点P作PHQM于点H，如图3B（3，0），C（0，3）直线BC解析式为yx+3，y随x的增大而减小PQ不可能在y轴左侧设P（p，p+3），Q（p+t，pt+3）（p
30、0，t0）PHt，HQp+3（pt+3）tPQt点M、N在二次函数yx2+2x+3图象上N（p，p2+2p+3），M（p+t，（p+t）2+2（p+t）+3）PN|p2+2p+3（p+3）|p2+3p|，MQ|（p+t）2+2（p+t）+3）（pt+3）|p22ptt2+3p+3t|且两绝对值号里的式子同正同负p2+3pp22ptt2+3p+3t|t|解得：，（舍去）（舍去）（舍去）p+3点P坐标为（，）13解：（1）用交点式函数表达式得：ya（x2）（x+3），将点D坐标代入上式并解得：a，故函数的表达式为：yx2x+，则点C（0，）；（2）由题意得：AB5，AD10，BD3，ABDAMN，
31、BADMAN，直线AD所在直线的k值为，则直线AM表达式中的k值为，则直线AM的表达式为：y（x2），故点M（0，），又，即AN5，故点N（3，0）；当ABDNMA时，BADMNA，BADMAN，ADMN，在ABD中，AD10，AB5，BD3，cosBDA，则tanBADtanMAN，故AM，AN5，故点M（3，0）、点N（3，0）；综上，故点M（0，）、点N（3，0）或M（3，0）、点N（3，0）；（3）如图所示，连接PH，由题意得：tanPQH，则cosPQH，则直线AD的表达式为：yx，设点P（x，x2x+），则点H（x， x），则QHPHcosPQHPQ（x2x+x+）x2x+，0，故
32、QH有最大值，当x2时，其最大值为14解：（1）yx2与x轴交点D（2，0），OD2，BDOADO，A（1，0），B（3， 0），x2+x+c0时，1+3，a1，yx22x+c；将点A（1，0）代入，c3，yx22x3；（2）F（t，t22t3），FGx轴，G（t22t1，t22t3），点F在第四象限的抛物线上，FGt（t22t1）t2+3t+1d，dt2+3t+1，0t3；（3）FG经过点C，F（2，3），D（2，0），DF3，DM2MF，M（2，2），（3）连接AG，以A为圆心AD为半径做圆，GKD135，GAD90，由（2）知，点F（2，3），G（1，3），DM2MF，M（2，2），AG
33、AD3，点G在圆A上，AN垂直平分DK，ANKM，DKM90，以N为圆心DN为半径作圆，K，M在圆N上，N是DM中点，N（2，1），设AN所在直线解析式为ykx+b，yx，直线AN与抛物线的交点为：x22x3x，x或x，H（，）或H（，）点H在第四象限直线DF右侧的抛物线上，H（，），AH；15解：（1）依题意，抛物线经过A（2，0），C（0，4），则c4将点A代入得04a+24，解得a抛物线的解析式是yx2+x4（2）设P点的坐标是（x， x2+x4），则F（x，x4）PF（x4）（x2+x4）x2x四边形OCPF是平行四边形OCFP，OCPFx2x4即2x2+21x+400解得x18 x22.5P点的坐标为（8，4），（2.5，）（3）当y0时，x40，得x8，即D（8，0）当x0时，04y，即C（0，4）当y0时， x2+x40解得 x110 x22，即B（10，0），A（2，0）AD10AC222+4220CD282+4280AD2AC2+CD2ACD90ACD是直角三角形
