1、2019-2020人教版九年级数学上册第24章圆单元培优试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法中，错误的是（ ） A.半圆是弧B.半径相等的圆是等圆C.过圆心的线段是直径D.直径是弦解：A、半圆是弧，所以A选项的说法正确； B、半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；C、过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；D、直径是弦，所以D选项的说法正确.故答案为：C.2.如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何.”用几何语言可表述为：CD为O的直径，弦ABCD于E，CE1寸，AB10寸，则直径CD的长
2、为（ ） A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸解：设直径CD的长为2x，则半径OCx， CD为O的直径，弦ABCD于E，AB10寸，AEBE 12 AB 12 105寸，连接OA，则OAx寸，根据勾股定理得x252+（x1）2 ， 解得x13，CD2x21326（寸）.故答案为：D.3.如图， AB 是 O 的弦， OCAB 交 O 于点 C ，点 D 是 O 上一点， ADC=30 ，则 BOC 的度数为（ ） A.30B.40C.50D.60解：如图， ADC=30 ， AOC=2ADC=60 AB 是 O 的弦， OCAB 交 O 于点 C ， AC=BC AOC=BOC=60
3、故答案为：D 4.如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接A C.若A=30,则CD长为( )A.13B.33C.233D.3解：如图所示，连接BC，OC， AB是直径,BCA=90，又A=30，CBA=9030=60，DC是切线，BCD=A=30,OCD=90，D=CBABCD=6030=30，AB=2，OC=1，OD=2，CD= OD2OC2=2212=3 ，故答案为：D.5.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ） A.45
4、B.34C.23D.12解：连接AC， 设正方形的边长为a，四边形ABCD是正方形，B=90，AC为圆的直径，AC= 2 AB= 2 a，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： a2(22a)2=223 ，故答案为：C.6.已知，如图将圆心角为120，半径为9cm的扇形，围成了圆锥侧面，则圆锥的底面半径为（ ） A.3B.6C.6 2D.6 3解：扇形的弧长 1209180 6， 则圆锥的底面半径623（cm）故答案为：A.7.如图，PA，PB与O相切，切点分别为A，B，PA3，BPA60，若BC为O的直径，则图中阴影部分的面积为（ ） A.3B.C.2D.2解：PA、PB与O相切， P
5、APB，PAOPBO90P60，PAB为等边三角形，AOB120，ABPA3，OCA60，AB为O的直径，BAC90.BC2 3 .OBOC，SAOBSOAC ， S阴影S扇形OAB 120(3)2360 ，故答案为：B.8.如图，半径为1的O与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点D、E，直线y=kx (k0)交 O于A，B，AD，BE的延长线相交于点C，当k的值改变时，下列结论：ACB的度数不变，CB与CD的比值不变，CO的长度不变其中正确的结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.0解：OA=OD，OE=OB，OAD=ODA, OBE=OEB,又AOD+BOE=180-DOE=180-90=90
6、，2OAD+2OBE=360-（AOD+BOE）=360-90=270，OAD+OBE=135，C=180-（OAD+OBE）=45，故ACB的度数不变，故正确；连接BD，AB是直径，ADB=90，BDC=90，又C=45，CB=CD，即CB:CD=1，故CB与CD的比值不变，故正确；如图，过点C作CGx轴交于点G，过点B作BFx轴交于点F，CGD=BFD=90，CDG+DCG=90，BDC=90，CDG+BDF=90，DCG=BDF，在CDG和DBF中，CGD=DFB,CDG=DBF,CD=DB, CDGDBF，GD=BF，CG=DF.点B在直线y=kx (k0)上，设点B(x，kx)，x0
7、，OG=GD+OD=BF+OD=kx+1，CG=DF=OD+OF=1+x，又OB= OF2+OB2=x2+k2x2=1 ， (1+k2)x2=1 ， x=11+k2则OC= (kx+1)2+(1+x)2=(1+k2)x2+2(1+k)x+2=3+21+k1+k2 ，k的值是变化的，OC的长度是变化的.故答案为：B.9.如图，AB为O的直径，C为O上一点，其中AB4，AOC120，P为O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) A.3B.1+ 6C.1+3 2D.1+ 7解：如图，连接OQ，作CHAB于H. AQ=QP，OQPA，AQO=90，点Q的运动轨迹为以AO为直
8、径的K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，在RtOCH中，COH=60，OC=2，OH= 12 OC=1，CH= 3 ，在RtCKH中，CK= (3)2+22 = 7 ，CQ的最大值为1+ 7 ，故答案为：D.10.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a1，以AB为一边在圆O内作正ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ ）A.52aB.1C.32D.a解：如图，ABC是等边三角形，AB=BC=AC=BD=a，CAB=ACB=60；AB=BD， AB=BD ，AED=AOB；BC=AB=BD，D=BCD；四边形EAB
9、D内接于O，EAB+D=180，即EAC+60+D=180；又ECA+60+BCD=180，ECA=EAC，即EAC是等腰三角形；在等腰EAC和等腰OAB中，AEC=AOB，AC=AB，EACOAB；AE=OA=1故答案为：B二、填空题（每小题4分，共24分）11.已知一点到圆周上点的最大距离为 9 ，最短距离为 1 ，则圆的直径为_. 解：当点在圆内时，圆的直径为9+1=10； 当点在圆外时，圆的直径为9-1=8.故答案是：10或8.12.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上连接AE.若ABC=64，则BAE的度数为_. 解：四边形ABCD是圆内接四
10、边形，ABC=64, ADC=116，又点D关于AC对称的点E在BC上，AEC=ADC=116，AEC=ABC+BAE，BAE=116-64=52.故答案为：52.13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，ABC60，AB2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_.（结果保留） 解：四边形ABCD是菱形， ACBD，ABO 12 ABC30，BADBCD120，AO 12 AB1，由勾股定理得，OB AB2OA2 3 ，AC2，BD2 3 ，阴影部分的面积 12 22 3 12012360 22 3 23 ，故答案为：2 3 23
11、 .14.如图，在平面直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上，且OAO B.点P为C上的动点，APB90,则AB长度的最大值为_. 解：由图可知，r=3又APB为Rt，故OP=OA=OB，AB=2OP，延长OC交圆与一点，则O到这点距离为最远，距离为OC+r=32+42+3=8，则AB=16. 15.如图，RtABC中，C=90，AC=BC=1，将其放人平面直角坐标系，使A点与原点重合，AB在x轴上，ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动，点A再次落在x轴时停止滚动，则点A经过的路线与x轴围成图形的面积为_ 解：如图， ABC沿x轴顺时针无滑动的滚动， ABCA1
12、BC1A1CA2 ， A1B=AB=A1A2 ， AC1=BC=1， RtABC中，C=90，AC=BC=1 CAB=CBA=45， OBA=45+90=135 AB=12+12=2 ， A1B=AB=A1A2=2 ， 扇形OBA1的面积=13522360=34 ， 半圆A1A2的面积为：12222=14 点A经过的路线与x轴围成图形的面积=14+34+12=+12 故答案为：+12 16.如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EFBE，EF=BE，DEF的外接圆O恰好切BC于点G，BF交O于点H，连结DH.若AB=8，则DH=_. 解：如图，连接OG，反向延长交DE于M，连接
13、EH，过H作HN/BC交DC于N，HP/CF教BC于P。， BEF=90，ABCD是矩形， ABE+AEB=90，DEF+AEB=90， ABE=DEF， 又BE=EF，BAE=EDF=90， BAEEDF， DE=AB=8， O切BC于G， OGBC，OMDE，MG=AB=8， ME=12 DE=4， 在RtOEM中，OE2=OM2+ME2 ， 即OE2=(8-OE)2+42 ， 解得：OE=5， OM=3， OM是DEF的中位线， DF=2OM=6， CF=8-6=2， EDF=90，O是DEF的外接圆， EF是O的直径， EHF=90， BE=EF， BH=HF， HN/BC，HP/CF
14、，C=90， 四边形HPCN是矩形， PH是BFC的中位线， PH=CN，PH=12CF， CN=1，FN=1， DN=6+1=7， BFE=EDH=45，EDF=90， HDN=45， DHN是等腰直角三角形， DH=2DN=72. 三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在 ABC 中， AB=AC,BAC=120 ，点 D 在 BC 边上， D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E . （1）求证： AC 是 D 的切线； （2）若 CE=23 ，求 D 的半径. （1）证明：连接 AD ， AB=AC,BAC=120 ， B=C=30 ， AD=BD ， BAD=B=30
15、 ， ADC=60 ， DAC=1806030=90 ， AC 是 D 的切线；（2）解：连接 AE ， AD=DE,ADE=60 ， ADE 是等边三角形， AE=DE,AED=60 ， EAC=AEDC=30 ， EAC=C ， AE=CE=23 ， D 的半径 AD=23 .18.某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹） 解：在圆上取两个弦，根据垂径定理， 垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可19.如图为桥洞的形状，其正视图是由 CD 和矩形ABCD构成O点为 CD
16、所在O的圆心，点O又恰好在AB为水面处若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE弦CD于点F ）EF为2米求 CD 所在O的半径DO解：OE弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO2，在RtDFO中，DO2=FO2+DF2 ， 则DO2=（DO2）2+42 ， 解得：DO=5答：弧CD所在O的半径DO为5m20.如图，在等腰ABC中，AB=AC，以AC为直径作O交BC于点D，过点D作DEAB，垂足为E. （1）求证：DE是O的切线. （2）若DE= 3 ，C=30，求 AD 的长。 （1）证明：如图，连结OD OC=OD，AB=AC，1=C，C=B，1=B,DEAB
17、，2+B=90，2+1=90，ODE=90，DE为O的切线（2）解：连结AD，AC为O的直径 ADC=90AB=AC,B=C=30，BD=CD，AOD=60DE= 3 ，BD=CD=2 3 ，OC=2，6分AD= 60180 2= 23 21.如图，正六边形ABCDEF内接于O，BE是O的直径，连接BF，延长BA，过F作FGBA，垂足为G. （1）求证：FG是O的切线； （2）已知FG2 3 ，求图中阴影部分的面积. （1）证明：连接OF，AO， ABAFEF， AB=AF=EF ，ABFAFBEBF30，OBOF，OBFBFO30，ABFOFB，ABOF，FGBA，OFFG，FG是O的切线（
18、2）解： AB=AF=EF ， AOF60，OAOF，AOF是等边三角形，AFO60，AFG30，FG2 3 ，AF4，AO4，AFBE，SABFSAOF ， 图中阴影部分的面积 6042360=83 22.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点， ABC 的三个顶点均在格点上，以点 A 为圆心的 EF 与 BC 相切于点 D ，分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F . （1）求 ABC 三边的长； （2）求图中由线段 EB 、 BC 、 CF 及 FE 所围成的阴影部分的面积. （1）解： AB=22+62=210 ， AC=62+22=210 ，BC=42
19、+82=45 （2）解：由(1)得AB2+BC2=(2 10 )2+(2 10 )2=80=(4 5 )2=BC2 ， BAC=90 ，连接 AD ，则 AD=22+42=25 ， S阴=SABCS扇形AEF = 12ABAC90AD2360 = 1221021090(25)2360 = 205 .23.如图，已知AB是半圆O的直径，OCAB交半圆于点C，D是射线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE. （1）求证：EC平分BED. （2）当EBED时，求证：AECE. （1）证明：AB是半圆O的直径， AEB90，DEB90.OCAB，AOCBOC90，BEC45，DEC45.B
20、ECDEC，即EC平分BEC；（2）解：连结BC，OE， BEDE，BECDEC，ECEC，在BEC与DEC中， BEDEBECDECECEC ，BECDEC，CBECDE.CDE90AABE，ABECBE.AOE=2ABE，COE2CBE.AOECOE，AECE.24.如图，AB是O的直径，弦AC与BD交于点E，且ACBD，连接AD，BC. （1）求证：ADBBCA； （2）若ODAC，AB4，求弦AC的长； （3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP2，连接PC.求证：PC是O的切线. （1）证明：AB是O的直径， ACBADB90，ABAB，ADBBCA（HL）（2）解：如图，连接DC， ODAC， AD=DC ，ADDC，ADBBCA，ADBC，ADDCBC，AODABC60，AB4， AC=ABsin60=432=23 （3）证明：如图，连接OC， 由(1)和(2)可知BC= AB2AC2=2 BP2BCBP2BCPP，ABC60，BCP30，OCOB，ABC60，OBC是等边三角形，OCB60，OCPOCB+BCP60+3090，OCPC，PC是O的切线.
