1、2023-2024 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3 分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A B C D 2（3 分）二次函数 y4（x2）2+3 的对称轴是（）A直线 x2B直线 x2C直线 x3D直线 x3 3（3 分）用配方法解方程 x22x50 时，原方程应变形为（）A（x+1）26B（x+2）29C（x1）26D（x2）29 4（3 分）方程 2x2x40 的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有
2、实数根D无法确定是否有实数根5（3 分）如图，将ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到ABC，此点 A 在边 BC 上，若 BC5，AC3，则 AB的长为（）A5B4C3D2 6（3 分）下列说法正确的是（）A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1B. 天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨C彩票中奖的机会是 1%，买 100 张一定会中奖D“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件第 9页（共 27页）7（3 分）如图，正六边形螺帽的边长为 2，则这个螺帽的面积是（）A B6C D 8（3 分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴
3、在游戏八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里其余十二高声喊，充满活跃的空气告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（）A（8x）2x12B（8x）2x+12C D9（3 分）如图，AB 是O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，过 P 作O 的切线，切点为点 C，点 D 是劣弧 上一点，连接 AC、BD、CD，若OPC20，则BDC 的度数为（）A110B135C145D16010（3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标满足
4、下表：x101234y8301m3下列说法中：该二次函数的对称轴为直线 x2；a0；不等式 ax2+bx+c0 的解集为 1x3；方程 ax2+bx+c8（a0）有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个A1B2C3D4二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11（3 分）把抛物线 y2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 12（3 分）若 x2mx+20 的其中一个根为 2，则 m 的值为 13（3 分）如图，COD 是AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则A 的度数是14（3 分）如图，平行四边形 ABCD
5、中，AC，BD 是两条对角线，现在从以下四个关系：ABBC； ACBD；ACBD；ABBC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为15（3 分）若圆锥的侧面面积为 12cm2，它的底面半径为 3cm，则此圆锥的母线长为 cm16（3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BAC30，BC4，点 D 是半径为 4 的A 上一动点，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 落在线段 AC 上时，则 BE 的长度为； 若点 D 在A 上运动，当 BE 取最大值时，BE 的长度是三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步
6、骤）17（4 分）解方程：x24x5018（4 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4），B（2，0），C（4，1）（1） 画出ABC 关于原点 O 成中心对称的图形A1B1C1；（2） 在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 时，线段 OB 扫过的面积（结果保留）19（6 分）寒假期间，小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）游玩他们两人在以上三个景点中任选一个游玩（每人独立选择，不相互影响），且每个景点被选中的可能性相同（1） 小陈选择去天后宫游玩的概率是；（2） 请用列举法求他们两人选择相同景点游玩的概率20
7、（6 分）如图，在ABC 中，AB30（1） 尺规作图：在线段 AB 上找一点 O，以 O 为圆心作圆，使O 经过 B、C 两点；（2） 在（1）中所作图中，求证：AC 与O 的相切21（8 分）如图，一架 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时点 B 到墙 AC 的距离为 3 米，记梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离为 AA1，点 B 向外移动的距离为 BB1（1） 当 AA12 米时，求 BB1 的长度；（2） 当 AA1BB1 时，求 BB1 的长度22（10 分）校艺术节上，甲同学用腰长为 20cm 的等腰直角三角形卡纸ABC 裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，
8、且矩形的四个顶点都在ABC 的边上（1） ） 若甲裁剪出来的矩形纸片周长是 ABC 纸片周长的一半， 那么这个矩形纸片的宽 MQ 是cm；（2） 设 MQ 的长度为 x cm，矩形 MNPQ 的面积为 S cm2，求 S 关于 x 的函数解析式；求矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值23（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c，图象经过 A（4，0）、B（0，8）两点（1） 求二次函数的解析式及它的对称轴；（2） 设点 P 是抛物线上的一个动点，横坐标为 m，当2m3，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是；过点 P 作 PQy 轴，交直线 AB 于 Q，当线段 PQ5
9、时，请求出 m 的值，24（12 分）如图 1，BC 是O 的直径，点 A、D 在O 上，连接 BD、CD，DBOA，BC10 （1） 求证：AOCD；（2） 求 BD 的长；（3） 如图 2，连接 AB，作CAB 的角平分线交O 于 F，求 AF 的长度25（12 分）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 为ABC 内任意一动点（1） 当ABPACP20时，求BPC 的度数；（2） 当点 P 满足 BP2+2CP2AP2 时，求BPC 的度数；如图 2，取 AP 的中点 D，连接 CD，试求 BP，CP，CD 之间的数量关系并说明理由第 27页（共 27页）2023-2024
10、 学年广东省广州市南沙区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（3 分）剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（）A B CD【解答】解：选项 B、C、D 中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形选项 A 中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180后与原来的图形重合，所以是中心对称图形 故选：A2（3 分）二次函数 y4（x2）2+3 的对称轴是（）A直线 x2B直线 x2C直线 x3D直线 x3
11、【解答】解：因为抛物线解析式 y（x2）2+3 是顶点式，顶点坐标为（2，3），所以对称轴为直线 x2故选：A3（3 分）用配方法解方程 x22x50 时，原方程应变形为（）A（x+1）26B（x+2）29C（x1）26D（x2）29【解答】解：由原方程移项，得x22x5，方程的两边同时加上一次项系数2 的一半的平方 1，得x22x+16（x1）26 故选：C4（3 分）方程 2x2x40 的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法确定是否有实数根【解答】解：（1）242（4）330，方程有两个不相等的实数根 故选：B5（3 分）如图，将ABC 绕点 C 逆时
12、针旋转一定的角度得到ABC，此点 A 在边 BC 上，若 BC5，AC3，则 AB的长为（）A5B4C3D2【解答】解：ABC 绕点 C 逆时针旋转一定的角度得到ABC，点 A 在边 BC 上，CBCB5，ABCBCA532 故选：D6（3 分）下列说法正确的是（）A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1B. 天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半的时间在下雨C彩票中奖的机会是 1%，买 100 张一定会中奖D“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件【解答】解：A事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1，故 A 符合题意；B. 天气预报说每天下雨的概率是 50%，所以明
13、天不一定有一半的时间在下雨，故 B 不符合题意；C. 某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票不一定会中奖，故 C 不符合题意；D. 从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，故 D 不符合题意； 故选：A7（3 分）如图，正六边形螺帽的边长为 2，则这个螺帽的面积是（）A B6C D 【解答】解：如图，把正六边形螺帽抽象成正六边形 ABCDEF，连接正六边形的中心 O 和两个顶点 D、E，得到ODE，DOE360 60，又ODOE，ODEOED（18060）260，ODE 为正三角形，ODOEDE2，SODE ODOM ODOEsin60 22 即这个螺帽的面积为 66 故
14、选：C8（3 分）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里其余十二高声喊，充满活跃的空气告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的 的平方，另一队猴子数是 12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是 x 只，根据题意可列出的方程是（）A（8x）2x12B（8x）2x+12C D【解答】解：这群猴子的总数是 x 只，一队猴子数是（ x）2 只根据题意得：x（ x）2+12 故选：D9（3 分）如图，AB 是O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，过 P 作O 的切线，切点为点 C，点 D
15、 是劣弧 上一点，连接 AC、BD、CD，若OPC20，则BDC 的度数为（）A110B135C145D160【解答】解：连接 OC，PC 切O 于 C，半径 OCPC，OCP90OPC20，POC902070，A BOC35，四边形 ABDC 是圆内接四边形，A+BDC180，BDC145 故选：C10（3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）图象上部分点的坐标满足下表：x101234y8301m3下列说法中：该二次函数的对称轴为直线 x2；a0；不等式 ax2+bx+c0 的解集为 1x3；方程 ax2+bx+c8（a0）有两个不相等的实数根，正确的个数有（）个A1B2C3D4【解答】
16、解：抛物线经过点（0，3），（4，3），抛物线的对称轴为直线 x2，顶点坐标为（2，1），所以正确；由表中数据得 x2 时，y1 最小，抛物线开口向上，a0，所以错误；抛物线的对称轴为直线 x2，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（1，0），抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（3，0），而抛物线开口向上，当 1x3 时，y0，即不等式 ax2+bx+c0 的解集为 1x3，所以正确；抛物线的对称轴为直线 x2，抛物线经过点（1，8），抛物线经过点（5，8），方程 ax2+bx+c8（a0）有两个不相等的实数根，所以正确 故选：C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）1
17、1（3 分）把抛物线 y2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为y2x2+4【解答】解：把抛物线 y2x2 向上平移 4 个单位，所得抛物线的函数表达式为 y2x2+4， 故答案为：y2x2+412（3 分）若 x2mx+20 的其中一个根为 2，则 m 的值为 3【解答】解：x2mx+20 的其中一个根为 2，42m+20，m3故答案为：313（3 分）如图，COD 是AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，则A 的度数是 70 【解答】解：COD 是AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 40后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，AOCBOD
18、40，OAOC，OAOC，AOCA，A （18040）70， 故答案为：7014（3 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 是两条对角线，现在从以下四个关系：ABBC； ACBD；ACBD；ABBC 中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为 【解答】解：根据矩形的判定定理，可推出平行四边形 ABCD 是矩形的有，随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形 ABCD 是矩形的概率为 故答案为： 15（3 分）若圆锥的侧面面积为 12cm2，它的底面半径为 3cm，则此圆锥的母线长为 4cm【解答】解：设圆锥的母线长为 l，根据题意得 23l12， 解得 l4故
19、答案为 416（3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，BAC30，BC4，点 D 是半径为 4 的A 上一动点，连接 CD，点 E 是 CD 的中点，当点 D 落在线段 AC 上时，则 BE 的长度为 2 ；若点 D 在A 上运动，当 BE 取最大值时，BE 的长度是 6【解答】解：如图 1，连接 AD，在 RtABC 中，ABC90，BAC30，BC4，AC2BC8，C60，A 的半径为 4，AD4，CD4，ADCD，BCD 是等边三角形，点 E 是 CD 的中点，BECD，C60，BE BC2；如图 2，取 AC 的中点 N，连接 AD、EN、BNANNC，BN AC4，ANNC，
20、DEEC，EN AD2，BNENBEBN+EN，42BE4+2，2BE6，BE 的最大值为 6， 故答案为：2 ，6三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤）17（4 分）解方程：x24x50【解答】解：（x+1）（x5）0，则 x+10 或 x50，x1 或 x518（4 分）如图，在平面直角坐标系中，ABC 三个顶点的坐标分别为 A（2，4），B（2，0），C（4，1）（1） 画出ABC 关于原点 O 成中心对称的图形A1B1C1；（2） 在（1）的条件下，求点 B 旋转到点 B1 时，线段 OB 扫过的面积（结果保留）【解答】解：（1）如图所
21、示，A1B1C1 即为所求；（2）线段 OB 扫过的面积219（6 分）寒假期间，小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）游玩他们两人在以上三个景点中任选一个游玩（每人独立选择，不相互影响），且每个景点被选中的可能性相同（1） 小陈选择去天后宫游玩的概率是 ；（2） 请用列举法求他们两人选择相同景点游玩的概率【解答】解：（1）小陈和小王计划去南沙的天后宫（记为 A）、百万葵园（记为 B）、湿地公园（记为 C）三个景点中任选一个游玩，小陈选择去天后宫游玩的概率是 ，故答案为： ；（2）画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，其中小陈和小王两人选择相同景
22、点游玩的结果有 3 种，小陈和小王两人选择相同景点游玩的概率为 20（6 分）如图，在ABC 中，AB30（1） 尺规作图：在线段 AB 上找一点 O，以 O 为圆心作圆，使O 经过 B、C 两点；（2） 在（1）中所作图中，求证：AC 与O 的相切【解答】解：（1）如图，O 即为所作（2）证明：连接 OCABC 中，AB30ACB120由（1）可知，OCOBOCBB30ACO90AC 是O 的相切21（8 分）如图，一架 5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上，这时点 B 到墙 AC 的距离为 3 米，记梯子的顶端从 A 处沿墙 AC 下滑的距离为 AA1，点 B 向外移动的距离为
23、BB1（1） 当 AA12 米时，求 BB1 的长度；（2） 当 AA1BB1 时，求 BB1 的长度【解答】解：（1）由题意可知，ABAB15 米，ACB90，在 RtABC 中，由勾股定理得：AC4（米），当 AA12 米时，CA1ACAA1422（米），在 RtCA1B1 中，由勾股定理得：CB1 ，BB1CB1BC（ 3）米， 答：BB1 的长度为（3）米；（2）设 AA1BB1x 米，则 CA1（4x）米，CB1（3+x）米，在 RtCA1B1 中，由勾股定理得：（4x）2+（3+x）252，解得：x11，x20（不符合题意，舍去），答：BB1 的长度为 1 米22（10 分）校艺术
24、节上，甲同学用腰长为 20cm 的等腰直角三角形卡纸ABC 裁剪出如图所示的矩形纸片 MNPQ，且矩形的四个顶点都在ABC 的边上（1） 若甲裁剪出来的矩形纸片周长是ABC 纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽 MQ 是 （1510） cm；（2） 设 MQ 的长度为 x cm，矩形 MNPQ 的面积为 S cm2，求 S 关于 x 的函数解析式；求矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值【解答】解：（1）ABC 是等腰直角三角形，ABAC20cm，BC45，BC20（cm），四边形 MNPQ 是矩形，MQPN，MQPNPQ90，BQM 和CPN 是等腰直角三角形，MQBQPNPC， ，甲裁剪出来
25、的矩形纸片周长是ABC 纸片周长的一半，202MQ+MQ（20+20+20），解得 QM1510， 故答案为：（1510）；（2）过 A 作 AHBC 于 H，交 MN 于 E，MNPQ，AEMN，NMQMQPQHE90，四边形 MEHQ 是矩形，EHMQ，MNBC，AMNABC， ，AH BC10，ABC 是等腰直角三角形，MN20 2x，SMNMQ（20 2x）x， 即 S2x2+20x；S2x2+20 x2（x5 ）2+100，矩形 MNPQ 的面积 S 的最大值为 10023（10 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 yx2+bx+c，图象经过 A（4，0）、B（0，8）两点（1）
26、 求二次函数的解析式及它的对称轴；（2） 设点 P 是抛物线上的一个动点，横坐标为 m，当2m3，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是 0y9；过点 P 作 PQy 轴，交直线 AB 于 Q，当线段 PQ5 时，请求出 m 的值【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：yx2+2x+8， 则抛物线的对称轴为直线 x1；（2）由点 A、B 的坐标得，直线 AB 的表达式为：y2x+8；当 x2 时，yx2+2x+80， 当 x1 时，yx2+2x+89，则点 P 的纵坐标 y 的取值范围是：0y9；设点 P（m，m2+2m+8），则点 Q（m，2m+8），则 PQ|m2+2m+2
27、m|5， 解得：m5 或1，24（12 分）如图 1，BC 是O 的直径，点 A、D 在O 上，连接 BD、CD，DBOA，BC10 （1） 求证：AOCD；（2） 求 BD 的长；（3） 如图 2，连接 AB，作CAB 的角平分线交O 于 F，求 AF 的长度【解答】（1）证明：BC 是O 的直径，D90，OABD，CEOD90，AOCD；（2） 解：连接 AB，作 AHBC 于 H，OMBD 于 M，如图 1，则 BMDM，BC 为O 的直径，CAB90，AB 4 ， AHBC ACAB，AH 4，在 RtOAH 中，OH 3，OABD，AOHEBO，在AOH 和OBM 中，AOHOBM（
28、ASA），BMOH3，BD2BM6；（3） 解：作 CGAF 于 G，连接 CF、BF，如图 2，AF 平分CAB，CAFBAF45，CFBF，CBF 为等腰直角三角形，CF BC5，在 RtACG 中，CGAGAC，在 RtGFC 中，GF2 ，AFAG+GF +2 3 25（12 分）如图 1，在ABC 中，ACB90，ACBC，点 P 为ABC 内任意一动点（1） 当ABPACP20时，求BPC 的度数；（2） 当点 P 满足 BP2+2CP2AP2 时，求BPC 的度数；如图 2，取 AP 的中点 D，连接 CD，试求 BP，CP，CD 之间的数量关系并说明理由【解答】（1）解：ACB
29、90，ACBC，ABCBAC45，ABPACP20，PBCABCABP452025，PCB902070，BPC180PBCPCB180257085；（2）将BPC 绕点 C 顺时针旋转 90得到CAN，如图：BPCACN，PCNC，ANBP，CPCN，PCN90，BPCANC，PN PC，PN22PC2，BP2+2CP2AP2，AN2+PN2AP2，ANP90，ANC90+45135，BPC135；2CDBP+ PD，由知BPC135，CPN45，BPC+CPN180，B、P、N 在一条直线上，延长 CD 至 M，使 DMCD，连接 AM，如图：ADDP，ADMPDC，CDDM，ADMPDC（SAS），APCMAD，CPAM，CPCN，AMCN，APCDAM，AMCP，MAC+ACP180，ACBPCN90，ACB+PCNACB+ACN+ACPBCN+ACP180，MACNCB，ACBC，CNAM，MACNCB（SAS），BNCM2CD，BNBP+PN，PN22PC2，PN PC2，2CDBP+ PC
