1、2023-2024 学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）1（3 分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A B C D 2（3 分）下列事件为随机事件的是（）A经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B负数大于正数C任意画一个三角形，其内角和是 180 D通常加热到 100时，水沸腾3（3 分）如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么 a 的值可以是（）A3B2C0D24（3 分）如图，在ABC 中，BAC32，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到ABC，则BAC
2、的度数为（）A28B30C32D385（3 分）解方程“x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（）Ax1Bx11，x22Cx11，x21Dx1第 9页（共 25页）6（3 分）某商店将进货价格为 20 元的商品按单价 36 元售出时，能卖出 200 个已知该商品单价每上涨1 元，其销售量就减少 5 个设这种商品的售价上涨 x 元时，获得的利润为 1200 元，则下列关系式正确的是（）A（x+16）（2005x）1200B（x+16）（200+5x）1200C（x16）（200+5x）1200D（x16）（2005x）12007（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为
3、 2，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的一段圆弧，则的长为（）A. B2C3D48（3 分）如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，点 C，若P60，PA，则AB 的长为（）A.1 B2C D 9（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2），B（6，4），以原点 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A的坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（8，4）或（8，4）D（2，1）或（2，1）10（3 分）如图，抛物线 yax2+c 经过等腰直角三角形的两个顶点 A，B，点 A 在 y 轴上，则 ac 的值为（）A4B3C2D1二、填空题（本题共
4、6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11（3 分）已知O 的半径为 5，点 P 在O 上，则 OP 的长为 12（3 分）已知ABCDEF，其相似比为 2：3，则它们的周长之比为 13（3 分）一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 100 个，这些球除颜色外都相同小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 30%左右，则可估计红球的数量约为个14（3 分）若关于 x 的方程 x22x+m0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于 15（3 分）已知点 M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，且 0x1x2，则 y1 y2（填 “”或“”或“”）1
5、6（3 分）如图，平面直角坐标系中有一点 A（4，2），在以 M（0，3）为圆心，2 为半径的圆上有一点 P，将点 P 绕点 A 旋转 180后恰好落在 x 轴上，则点 P 的坐标是三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（4 分）解方程：x2+2x3018（4 分）如图，AD、BC 相交于点 P，连接 AC、BD，且12，AC6，CP4，DP2，求 BD 的长19（6 分）如图，在平面直角坐标系中，OBC 的三个顶点均在格点上（1） 画出OBC 关于原点 O 成中心对称的图形OBC；（2） 写出点 B、C的坐标20（6 分）如图，有 3
6、张分别印有第 19 届杭州亚运会的吉祥物的卡片：A 宸宸、B 琮琮、C 莲莲现将这3 张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片，求下列事件发生的概率（1） 第一次取出的卡片图案为“B 琮琮”的概率为；（2） 用画树状图或列表的方法，求两次取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的概率21（8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，BAC60，l 是过点 B 的一条直线（1） 尺规作图：作BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D，交直线 l 于点 E（不写作法，保留作图痕
7、迹）（2） 在（1）的条件下，若 BDBE，求证：l 是O 的切线22（10 分）如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h5t2+30t（1） 当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面 A 处？（2） 求小球在运动过程中的最大高度23（10 分）如图，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，已知 A（3，1），点 B 的坐标为（m，2）（1） 分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2） 在 y 轴上是否存在一点 P（不与点 O 重合），使得PDCCDO，若
8、存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由24（12 分）已知抛物线 yx22（m+1）x+m2+2m（m 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），顶点为 C（1） 若 m1，求抛物线的顶点坐标；（2） 若点 E 是点 C 关于 x 轴对称的点，判断以点 A、C、B、E 为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；（3） 在（1）的条件下，将二次函数向左平移 k（k0）个单位，得到一条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 1，求 k 的值25（12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，ABa（a1），BC2，点 O 是 BC 边的中点，点 E 是矩形内
9、一个动点，且 OE1（1） 当 OEBC 时，连接 BE、CE，直接写出BEC 的度数；（2） 当 时，连接 DE，若 DEOE，求 BE 的长；（3） 当 a2 时，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90后，得到线段 DF，点 P 是线段 DF 的中点，当点E 在矩形 ABCD 内部运动时，求点 P 运动路径的长度第 25页（共 25页）2023-2024 学年广东省广州市增城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.）1（3 分）在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（）A
10、B C D 【解答】解：A、B、C 是中心对称图形，D 不是中心对称图形， 故选：D2（3 分）下列事件为随机事件的是（） A经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B负数大于正数C任意画一个三角形，其内角和是 180 D通常加热到 100时，水沸腾【解答】解：经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，则 A 符合题意； 负数大于正数是不可能事件，则 B 不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是 180是必然事件，则 C 不符合题意； 通常加热到 100时，水沸腾是必然事件，则 D 不符合题意；故选：A3（3 分）如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么 a 的值可以是（）A3B2C0D2【解答
11、】解：反比例函数 y的图象分布在第一、三象限，a0，只有 2 符合， 故选：B4（3 分）如图，在ABC 中，BAC32，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到ABC，则BAC 的度数为（）A28B30C32D38【解答】解：将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到ABC，BAB60，BACBABBAC28， 故选：A5（3 分）解方程“x”时，小明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该方程的解为（）Ax1Bx11，x22Cx11，x21Dx1【解答】解：从图象中可知：两函数图象的交点坐标是（1，1），（1，1），所以方程 x 的解是 x11，x21 故选：C6（3 分）某商店将进货价格
12、为 20 元的商品按单价 36 元售出时，能卖出 200 个已知该商品单价每上涨1 元，其销售量就减少 5 个设这种商品的售价上涨 x 元时，获得的利润为 1200 元，则下列关系式正确的是（）A（x+16）（2005x）1200 B（x+16）（200+5x）1200 C（x16）（200+5x）1200 D（x16）（2005x）1200【解答】解：根据题意可得：（36+x20）（2005x）1200，即：（x+16）（2005x）1200故选：A7（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，是以点 B 为圆心，AB 长为半径的一段圆弧，则的长为（）A. B2C3D4【解答】解：由题意
13、可知， 所在圆的半径为 2，圆心角为 90， 所以的长为 故选：A8（3 分）如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点 A，点 C，若P60，PA，则AB 的长为（）A.1 B2C D 【解答】解：PA，PC 分别与O 相切于点 A，点 C，PAPC，P60，PAC 是等边三角形，ACPA ，PAC60，PA 切圆于 A，直径 ABPA，PAB90，BAC906030，AB 是圆的直径，ACB90，cosBACcos30 ，AB2 故选：B9（3 分）在平面直角坐标系中，已知点 A（4，2），B（6，4），以原点 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小，则点 A 的对应点 A
14、的坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（8，4）或（8，4）D（2，1）或（2，1）【解答】解：以原点 O 为位似中心，相似比为，把ABO 缩小， 而点 A 坐标为（4，2），点 A 的对应点 A的坐标是（2，1）或（2，1）故选：D10（3 分）如图，抛物线 yax2+c 经过等腰直角三角形的两个顶点 A，B，点 A 在 y 轴上，则 ac 的值为（）A4B3C2D1【解答】解：过 B 作 BHy 轴于 H，AOB 是等腰直角三角形，BHAHOH，设 B（m，m），则 A（0，2m），解得 am1，m，ac 的值为2， 故选：C二、填空题（本题共 6 个小题，每小题 3 分，满分 18 分.
15、）11（3 分）已知O 的半径为 5，点 P 在O 上，则 OP 的长为 5【解答】解：O 的半径为 5，点 P 在O 上，OPr5 故答案为：512（3 分）已知ABCDEF，其相似比为 2：3，则它们的周长之比为 2：3【解答】解：ABCDEF，其相似比为 2：3，它们的周长比为 2：3， 故答案为 2：313（3 分）一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共 100 个，这些球除颜色外都相同小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在 30%左右，则可估计红球的数量约为 30个【解答】解：由题意可知红球的个数约为 10030%30（个），故答案为：3014（3 分）若关于
16、x 的方程 x22x+m0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于 1【解答】解：根据题意得（2）24m0， 解得 m1故答案为 115（3 分）已知点 M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，且 0x1x2，则 y1 y2（填 “”或“”或“”）【解答】解：反比例函数 中，k30，反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限 y 随 x 的增大而减小，0x1x2，点 M（x1，y1），N（x2，y2）在第一象限y1y2故答案为：16（3 分）如图，平面直角坐标系中有一点 A（4，2），在以 M（0，3）为圆心，2 为半径的圆上有一点 P，将点 P 绕点 A 旋转 180后恰好
17、落在 x 轴上，则点 P 的坐标是 （ ，4）或（ ，4） 【解答】解：如图，将点 P 绕点 A 旋转 180后恰好落在 x 轴上，点 P 的纵坐标为 4，当点 P 在第一象限时，过点 P 作 PTy 轴于 T，连接 PMT（0，4），M（0，3），OM3OT4，MT1，PT ，P（，4），根据对称性可知，点 P 关于 y 轴的对称点 P（，4）也满足条件 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（，4）或（，4）故答案为：（，4）或（，4）三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（4 分）解方程：x2+2x30【解答】解：x2+2x30（x+
18、3）（x1）0x11，x2318（4 分）如图，AD、BC 相交于点 P，连接 AC、BD，且12，AC6，CP4，DP2，求 BD 的长【解答】解：12，APCBPD，APCBPD， ，AC6，CP4，DP2， ，BD319（6 分）如图，在平面直角坐标系中，OBC 的三个顶点均在格点上（1） 画出OBC 关于原点 O 成中心对称的图形OBC；（2） 写出点 B、C的坐标【解答】解：（1）如图，OBC即为所求（2）由图可得，B（3，4），C（3，0）20（6 分）如图，有 3 张分别印有第 19 届杭州亚运会的吉祥物的卡片：A 宸宸、B 琮琮、C 莲莲现将这3 张卡片（卡片的形状、大小、质地
19、都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1 张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1 张卡片，求下列事件发生的概率（1） 第一次取出的卡片图案为“B 琮琮”的概率为；（2） 用画树状图或列表的方法，求两次取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的概率【解答】解：（1）由题意得，第一次取出的卡片图案为“B 琮琮”的概率为故答案为： （2）列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有 9 种等可能的结果，其中取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的结果有：（A，A），（A，B），（A，C）
20、，（B，A），（C，A），共 5 种，取出的 2 张卡片中至少有 1 张图案为“A 宸宸”的概率为21（8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，BAC60，l 是过点 B 的一条直线（1） 尺规作图：作BAC 的角平分线 AD，交 BC 于点 D，交直线 l 于点 E（不写作法，保留作图痕迹）（2） 在（1）的条件下，若 BDBE，求证：l 是O 的切线【解答】（1）解：如图：AD 即为所求；（2）证明：设 AE 交O 于点 F，AB 是直径，CAFB90，CAB60，CBA30，AF 平分CAB，FBCCAF CAB30，BDBE，AFB90，EBFFBD30，ABE90，
21、AB 是直径，l 是O 的切线22（10 分）如图，从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h5t2+30t（1） 当小球运动的时间是多少时，小球回落到地面 A 处？（2） 求小球在运动过程中的最大高度【解答】解：（1）当 h0 时，5t2+30t0，解得 t0 或 t6，答：当小球运动的时间是 6s 时，小球回落到地面 A 处；（2）h5t2+30t5（t3）2+45，当 t3 时，h 最大45答：小球在运动过程中的最大高度为 45m23（10 分）如图，一次函数 yax+b 的图象与反比例函数的图象交于 A，B 两点，与 x 轴交
22、于点 C，与 y 轴交于点 D，已知 A（3，1），点 B 的坐标为（m，2）（1） 分别求出反比例函数和一次函数的解析式；（2） 在 y 轴上是否存在一点 P（不与点 O 重合），使得PDCCDO，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，说明理由【解答】解：（1）把 A（1，3）代入反比例解析式得：3 ，即 k3，则反比例解析式为 y；B（m，2）在反比例函数 y上，2，即 m，即 B（，2），把 A 与 B 坐标代入一次函数解析式得：，解得：，则一次函数解析式为 yx1；（2）若 P 与 O 重合，显然成立；若 P 与 O 不重合，在 y 轴上存在一点 P，使得PDC 与CDO 相似，理由为
23、： 过点 C 作 CPAB，交 y 轴于点 P，如图所示，C、D 两点在直线 yx1 上，C、D 的坐标分别为 C（ ，0），D（0，1），OC ，OD1，DC，PDCCDO，即 ， 解得：PD ，OPDPOD 1 ，点 P 的坐标为（0，）24（12 分）已知抛物线 yx22（m+1）x+m2+2m（m 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点（A 在 B 的左侧），顶点为 C（1） 若 m1，求抛物线的顶点坐标；（2） 若点 E 是点 C 关于 x 轴对称的点，判断以点 A、C、B、E 为顶点的四边形的形状，并写出证明过程；（3） 在（1）的条件下，将二次函数向左平移 k（k0）个单位，得到一
24、条新抛物线，若顺次连接新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 1，求 k 的值【解答】解：（1）m1 时，yx24x+3（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1）；（2）四边形 AEBC 是正方形，证明如下：在 yx22（m+1）x+m2+2m 中，令 y0 得 0x22（m+1）x+m2+2m， 解得 xm 或 xm+2，A（m，0），B（m+2，0）；yx22（m+1）x+m2+2m（xm1）21，抛物线顶点 C（m+1，1），点 E 是点 C 关于 x 轴对称的点，E（m+1，1）；AE ，EB ，BC ，CA ，AEEBBCCA，四边形 AEBC 是菱形；A（m，0），B（m+2
25、，0）；C（m+1，1），E（m+1，1）；ABm+2m2，EC1（1）2，ABEC，即菱形 AEBC 对角线相等，四边形 AEBC 是正方形；（3）将抛物线 yx24x+3（x2）21 向左平移 k（k0）个单位，可得抛物线 y（x+k2）21，在 y（x+k2）21 中，令 y0 得 0（x+k2）21， 解得 x3k 或 x1k，新抛物线与 x 轴两个交点之间的距离为（3k）（1k）2， 在 y（x+k2）21 中，令 x0 得 yk24k+3，新抛物线与 y 轴交点为（0，k24k+3），新抛物线与坐标轴的三个交点所得三角形的面积为 1， 2|k24k+3|1，k24k+31 或 k2
26、4k+31， 解得 k2+或 k2或 k2；k 的值为 2+或 2或 225（12 分）如图，已知矩形 ABCD 中，ABa（a1），BC2，点 O 是 BC 边的中点，点 E 是矩形内一个动点，且 OE1（1） 当 OEBC 时，连接 BE、CE，直接写出BEC 的度数；（2） 当 时，连接 DE，若 DEOE，求 BE 的长；（3） 当 a2 时，将线段 DE 绕点 D 逆时针旋转 90后，得到线段 DF，点 P 是线段 DF 的中点，当点E 在矩形 ABCD 内部运动时，求点 P 运动路径的长度【解答】解：（1）如图 1，O 是 BC 的中点，OBOC1，OE1，OBOCOE，BEOEBO，CEOECO，OEBC，BOECOE90，BEOEBOCEOECO45，BEC90；（2） 如图 2， 连接 OD，DEOC90，OEC1，ODOD，RtDEORtDCO（HL），DOEDOC，C90，OC1，CD ，tanCOD ，COD60，DOE60，BOE180CODDOE60，OBOE1，BOE 是等边三角形，BEOE1；（3） 如图 3，连接 OD，将DOE 绕点 D 逆时针旋转 90至DOF，取 OD 的中点 I，连接 IP，OFOE1，点 P 是 DF 的中点，IFOF ，点 P 的运动轨迹是在以 I 为圆心，为半径的半圆，点 P 运动路径的长度
