1、2023-2024 学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A B C D 2（3 分）抛物线 y（x2）21 的顶点坐标是（）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1） 3（3 分）用配方法解一元二次方程 x22x10 的过程中，配方正确的是（）A（x+1）21B（x1）22C（x+1）22D（x1）244（3 分）如图，OC 是O 半径，AB 是O 的弦，且 OCAB 于点 D若 OA10，CD4，则弦 AB 的长是
2、（）A8B12C16D205（3 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 100得到ABC，若点 B恰好落在边 BC 上，则B 的度数是（）A40B50C60D706（3 分）如图，PA、PB、分别切O 于 A、B 两点，P40，则C 的度数为（）A40B140C70D80第 9页（共 32页）7（3 分）若关于 x 的一元二次方程（a2）x24x+10 有两个不相等实数根，则 a 的取值范围是（）Aa2Ba5 且 a2Ca6 且 a2Da6转动转盘的次数 n1001502005008001000落在“饮料”区域次数 m3239641552542998（3 分）如图，为了鼓励消费，某商场
3、设置一个可以自由转动的转盘规定：顾客购物 100 元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品下表是活动进行 中的一组统计数据：则转盘中“饮料”区域的圆心角AOB 的度数近似是（）A119B108C87D909（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC 且 BC2AD，AC 与 BD 交于点 O，E，F 分别是 BO，BC的中点，则AOB 的面积与四边形 EOCF 的面积比是（）A2：3B4：9C1：2D3：410（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0），B 两点，交 y 轴的负半轴于点 C，顶点为 D（1，n）下列结
4、论：abc0；2c3b；若 M（x1，y1），N（x1+1，y2）为该抛物线上两点且，则 y1y2；若ABD 是等腰直角三角形，则；若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 a（x2） 2+b（x2）+cn 的两个根，则 x1x21其中正确的是（ ）ABCD二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11（3 分）已知 x1 是方程 x23x+c0 的一个根，则实数 c 的值是 12（3 分）在一个不透明的袋中装有 3 个红球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同从中任意摸出 2 球，则“摸出的球中至少有 1 个红球”是 事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）13（3 分
5、）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为14（3 分）如图，在AOB 中，AOB90，OAB30，以 OA 为轴将AOB 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是15（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如表所示：x10123y1mn1p若在 m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数，则 a 的取值范围是16（3 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB6，AD4，点 O 为边 AB 上一
6、点，且 AO2，点 E 为边 BC上动点，将线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120得到线段 OE，OE与边 AD 交于点 F，连接 EF（1） 当点 E 与点 B 重合时，EOF 的面积是；（2） 当点 E 在 BC 边上运动时，EOF 的面积最小值是三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（4 分）解方程：x（x3）x318（4 分）如图，已知 A（1，2），B（3，1），C（0，1），将ABC 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90后得到A1B1C（1） 请在图中画出A1B1C；（2） 直接写出线段 CB 在旋转过程中扫过的图形面积：19（6
7、分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，CDBD，且测得 AB4m，BP6m，PD12m，求该古城墙 CD 的高度是多少 m？20（6 分）如图，直线 ykx+3 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两点的抛物线 yx2+bx+c与 x 轴的正半轴相交于点 C（1，0）（1） 求抛物线的解析式；（2） 结合图象，直接写出不等式x2+bx+ckx+3 的解集21（8 分）2023 年举世瞩目的第十九届亚运会在中国杭州举行，亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“
8、莲莲”成为热销产品小李和小张去杭州旅游，他们分别从这三个吉祥物中任意选购一款以作留念（1） 小李选购吉祥物“琮琮”的概率是；（2） 请用列表法或画树状图法，求小李和小张选购同一款吉祥物的概率22（10 分）2022 年教育部正式印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版），劳动成为一门独立的课程某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园 ABCD（靠墙的一边 BC 不需用篱笆），墙长为 16 米（1） 当围成的矩形养殖园面积为 108 平方米时，求养殖园的边 BC 的长；（2） 求矩形养殖园 ABCD 面积的最大值23（10 分）如
9、图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，且 CDAB，点 E 为劣弧上一点，且，DE 与 AC 交于点 F（1） 尺规作图：作出点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不写作法）；（2） 连接 AE，CE，M 为 CE 延长线上一点，求证：AE 平分DEM；（3） 求证：FDFEEC第 32页（共 32页）24（12 分）已知抛物线 G：ya（x+1）（x3）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P（0，t）（1t2）为 y 轴上一动点，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合）（1） 求点 C 的纵坐标（用含 a 的式子
10、表示）；（2） 当 a0 时，若，求抛物线 G 的纵坐标在 4ax4a+5 时的取值范围；（3） 对于 a（a0）的每一个确定的值，MN 有最小值 m，若 m2，求 a 的取值范围25（12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC+BCD270（1） 求A+D 的度数；（2） 连接 AC，若ACB45，求证：BC2+2AC2AD2；（3） 点 E，F 分别为线段 BC 和 AD 上的点，点 G 是线段 EF 上任意一点，且GAB 和GCD 的面积相等，过点 D 作 DHEF，DH 交直线 EF 于点 H，连接 AH若 AD4，求线段 AH 的最小值2023-2024 学年广东省广州市
11、越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A B C D 【解答】解：A图形是中心对称图形，符合题意；B图形不是中心对称图形，不符合题意； C图形不是中心对称图形，不符合题意； D图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A2（3 分）抛物线 y（x2）21 的顶点坐标是（ ）A（2，1）B（2，1）C（2，1）D（2，1）【解答】解：抛物线 ya（xh）2+k 的顶点坐标是（h，k），抛物线 y（x2）21 的顶点坐标是（
12、2，1），故选：D3（3 分）用配方法解一元二次方程 x22x10 的过程中，配方正确的是（）A（x+1）21B（x1）22C（x+1）22D（x1）24【解答】解：x22x10， x22x1， x22x+11+1，（x1）22， 故选：B4（3 分）如图，OC 是O 半径，AB 是O 的弦，且 OCAB 于点 D若 OA10，CD4，则弦 AB 的长是（）A8B12C16D20【解答】解：AB 是O 的弦，且 OCAB 于点 D，AB2AD，OCOA10，CD4，OD1046，AD 8，AB2816 故选：C5（3 分）如图，将ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 100得到ABC，若点 B恰好
13、落在边 BC 上，则B 的度数是（）A40B50C60D70【解答】解：将ABC 绕点 A 逆时针方向旋转 100得到ABC，BAB100，ABAB，BABB （180100）40 故选：A6（3 分）如图，PA、PB、分别切O 于 A、B 两点，P40，则C 的度数为（）A40B140C70D80【解答】解：PA 是圆的切线OAP90， 同理OBP90，根据四边形内角和定理可得：AOB360OAPOBPP360909040140，ACB AOB70 故选：C7（3 分）若关于 x 的一元二次方程（a2）x24x+10 有两个不相等实数根，则 a 的取值范围是（）Aa2Ba5 且 a2Ca6
14、且 a2Da6【解答】解：由题意得，（4）24（a2）0， 解得，a6，a2，a6 且 a2 故选：C转动转盘的次数 n1001502005008001000落在“饮料”区域次数 m3239641552542998（3 分）如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘规定：顾客购物 100 元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品下表是活动进行 中的一组统计数据：则转盘中“饮料”区域的圆心角AOB 的度数近似是（）A119B108C87D90【解答】解：转动该转盘一次，可估计指针落在“饮料”区域的概率为 0.3， 所以转盘中“饮料”区域的圆心
15、角AOB 的度数近似是 3600.3108 故选：B9（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC 且 BC2AD，AC 与 BD 交于点 O，E，F 分别是 BO，BC的中点，则AOB 的面积与四边形 EOCF 的面积比是（ ）A2：3B4：9C1：2D3：4【解答】解：ADBC，DOABOC， ，BC2AD，OC2OA，SBOC2SAOB，E，F 分别是 BO，BC 的中点，EFAC，EF OC，BEFBOC， ，S 四边形 EOCFSBOC，AOB 的面积与四边形 EOCF 的面积比2：3， 故选：A10（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 交 x 轴于 A（1，0），B 两点
16、，交 y 轴的负半轴于点 C，顶点为 D（1，n）下列结论：abc0；2c3b；若 M（x1，y1），N（x1+1，y2）为该抛物线上两点且，则 y1y2；若ABD 是等腰直角三角形，则；若 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 a（x2）2+b（x2）+cn 的两个根，则 x1x21其中正确的是（）ABCD【解答】解：由题意，抛物线 yax2+bx+c 交 y 轴的负半轴于点 C，令 x0，yc0又对称轴是直线 x10，ab0abc0，故正确抛物线过（1，0），ab+c0又 b2a，即 ab，c b2c3b，故错误01，x1x1+1 又 ，M 在 N 的左侧，共有两种情形第一种情形：M，N
17、 在对称轴直线 x1 的左侧抛物线开口向上，在对称轴直线 x1 的左侧 y 随 x 的增大而减小y1y2，符合题意第二种情形：M，N 在对称轴直线 x1 的两侧 ，2x11x11x1x1+111x1点 N 到对称轴的距离M 到对称轴的距离y1y2综上，正确ABD 是等腰直角三角形， 又 D 为顶点，ADBD顶点为 D（1，n），对称轴是直线 x1，n1（1）2可设抛物线为 ya（x1）22 又抛物线过点（1，0），4a20a ，故正确 令 x1X，方程为 aX2+bX+cn结合函数 yax2+bx+c 的顶点为（1，n），方程 aX2+bX+cn 的解为 X1X21x2X1X21x1x23 故
18、错误综上，正确的是 故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11（3 分）已知 x1 是方程 x23x+c0 的一个根，则实数 c 的值是 2【解答】解：x1 是方程 x23x+c0 的一个根，13+c0， 解得：c2， 故答案为：212（3 分）在一个不透明的袋中装有 3 个红球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同从中任意摸出 2 球，则“摸出的球中至少有 1 个红球”是 必然 事件（填“必然”，“不可能”或“随机”）【解答】解：一个不透明的袋中装有 3 个红球，1 个黑球，每个球除颜色外都相同从中任意摸出 2 球，共有以下 2 种情况：1、2 个红球；2、1
19、 个红球，1 个黑球；所以从中任意摸出 2 球，“摸出的球至少有 1 个红球”是必然事件，故答案为：必然13（3 分）如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，则端点 C 的坐标为 （5，5） 【解答】解：线段 AB 两个端点的坐标分别为 A（10，10），B（12，6），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的后得到线段 CD，端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半，端点 C 的坐标为（5，5）故答案为：（5，5）14（3 分）如图，在AOB 中，AO
20、B90，OAB30，以 OA 为轴将AOB 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开图的扇形圆心角的度数是 180 【解答】解：设 OBr，则 AB2r，2r，解得180 故答案为：18015（3 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的函数值 y 和自变量 x 的部分对应取值如表所示：x10123y1mn1p若在 m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数，则 a 的取值范围是 a 【解答】解：从表中可看出，x1 和 2 时，y 值都是 1，因此抛物线的对称轴为：x， 把（0，m），（1，n）代入 yax2+bx+c 得：，对称轴 x，（0，m）和（1，n）是对称点，mn，把（1，1）代入
21、函数 ab+c1c1a+b，把（0，m）代入函数 cm，m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数， 又m0，c0，1a+b抛 0， 又ba，12a0，a ，故答案为：a 16（3 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB6，AD4，点 O 为边 AB 上一点，且 AO2，点 E 为边 BC上动点，将线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120得到线段 OE，OE与边 AD 交于点 F，连接 EF（1） 当点 E 与点 B 重合时，EOF 的面积是 4 ；（2） 当点 E 在 BC 边上运动时，EOF 的面积最小值是【解答】解：（1）点 E 与点 B 重合，则EOF 的面积长方形 ABCD 中，AB6
22、，AD4，点 O 为边 AB 上一点，且 AO2BOOE624线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120得到线段 OEAOF18012060AFO30 则 OF2OA4AF 故EOD 的面积故答案为：4 （2）根据题意，设 BEx， 当点 E 与点 B 不重合时，故AOD18012060 此时 AF2则 OEOB，OEOBOF延长 EO 交 DA 延长线于点 G，过点 G 作 GHOF线段 OE 绕点 O 顺时针旋转 120得到线段 OEGOH60，OGH30BOEGOAtanBOE tanGOA GA 则 OH根据等面积法，SOGF得：则 x2+4AF2+4AFx3AF2+AF2x2+12+（
23、）AF24xAF+12 x20根据公式法：AF 进行分母有理化，AFSEOF（BF+AF）AB BEOBOAAF 整理得：SEOFx+将 x代入可得，SEOF 有最小值，且为 故答案为：三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（4 分）解方程：x（x3）x3【解答】解：x（x3）x3x（x3）（x3）0，（x3）（x1）0，解得：x13，x2118（4 分）如图，已知 A（1，2），B（3，1），C（0，1），将ABC 绕点 C 沿顺时针方向旋转 90后得到A1B1C（1） 请在图中画出A1B1C；（2） 直接写出线段 CB 在旋转过程中扫过的
24、图形面积：【解答】解：（1）如图，A1B1C 即为所求（2）由勾股定理得，BC ，线段 CB 在旋转过程中扫过的图形面积为 故答案为： 19（6 分）如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，CDBD，且测得 AB4m，BP6m，PD12m，求该古城墙 CD 的高度是多少 m？【解答】解：光线从点 A 出发经平面镜反射到点 C，APBCPD，ABBD，CDBD，ABPCDP90，RtABPRtCDP， ，即 解得：CD8 答：该古城墙 CD 的高度为 8m20（6 分）如图，直
25、线 ykx+3 分别交 x 轴，y 轴于 A，B 两点，经过 A，B 两点的抛物线 yx2+bx+c与 x 轴的正半轴相交于点 C（1，0）（1） 求抛物线的解析式；（2） 结合图象，直接写出不等式x2+bx+ckx+3 的解集【解答】解：（1）将 x0 代入 ykx+3，得 y3，点 B 的坐标为（0，3），将 B（0，3），C（1，0）代入 yx2+bx+c，得解得，抛物线的解析式为 yx22x+3（2）将 y0 代入 yx22x+3， 得x22x+30，即（x+3）（x1）0，解得 x13，x21，点 A 的坐标为（3，0）由图象可知，不等式x2+bx+ckx+3 的解集为3x021（8
26、 分）2023 年举世瞩目的第十九届亚运会在中国杭州举行，亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”成为热销产品小李和小张去杭州旅游，他们分别从这三个吉祥物中任意选购一款以作留念（1） 小李选购吉祥物“琮琮”的概率是 ；（2） 请用列表法或画树状图法，求小李和小张选购同一款吉祥物的概率【解答】解：（1）由题意得，小李选购吉祥物“琮琮”的概率是故答案为： （2）将“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别记为 A，B，C， 画树状图如下：共有 9 种等可能的结果，其中小李和小张选购同一款吉祥物的结果有 3 种，小李和小张选购同一款吉祥物的概率为 22（10 分）2022 年教育部正式印发义务教育课程方案和课
27、程标准（2022 年版），劳动成为一门独立的课程某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园 ABCD（靠墙的一边 BC 不需用篱笆），墙长为 16 米（1） 当围成的矩形养殖园面积为 108 平方米时，求养殖园的边 BC 的长；（2） 求矩形养殖园 ABCD 面积的最大值【解答】解：（1）设养殖园的边 BC 的长为 x m，由题意得：x 108，整理得：x230x+2160， 解得：x112，x218，x16，x218，不符合题意，舍去， 答：BC 的长为 12m（2）设矩形养殖园 ABCD 面积为 y m2，由题意得：yx ， x2+
28、15x，当 x15 时，y 有最大值，最大值为 112.5 m2， 答：矩形养殖园 ABCD 面积的最大值为 112.5m223（10 分）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，且 CDAB，点 E 为劣弧上一点，且，DE 与 AC 交于点 F（1） 尺规作图：作出点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不写作法）；（2） 连接 AE，CE，M 为 CE 延长线上一点，求证：AE 平分DEM；（3） 求证：FDFEEC【解答】（1）解：如图，点 E 即为所求：（2） 证明：如图：设EACx，AB 为O 的直径，CDAB， ，EACCABEDCx，DEC2x，EAB2x，DHB90xAHE，在
29、AEH 中，AEH1802x（90x）90x，AEM180（90x）2x90x，AEHAEM，AE 平分DEM；（3） 证明：连接 BD，由（2）可知 AEAH，即AEH 是等腰三角形，EACCAB，EFHF，EDCCDB，CDAB，DHBD， ，ECBDDH，FDFHBD， 即 FDEFEC24（12 分）已知抛物线 G：ya（x+1）（x3）与 x 轴交于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，点 P（0，t）（1t2）为 y 轴上一动点，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合）（1） 求点 C 的纵坐标（用含 a 的式子表示）；（2
30、） 当 a0 时，若，求抛物线 G 的纵坐标在 4ax4a+5 时的取值范围；（3） 对于 a（a0）的每一个确定的值，MN 有最小值 m，若 m2，求 a 的取值范围【解答】解：（1）由点 C 是抛物线与 y 轴的交点，把 x0 代入 ya（x+1）（x3），得 y3a，点 C 的纵坐标为3a；（2）把 y0 代入 ya（x+1）（x3），解得 x11，x23，点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，3a）， ，解得 ，a0， ，抛物线的解析式为 ，且对称轴为直线 x1， 当 4ax4a+5，即3x2 时，得当 x1 时，函数取最大值，当 x3 时，函数
31、取最小值， 得抛物线 G 的纵坐标在3x2 时的取值范围9y3；（3）由抛物线可知顶点坐标为（1，4a），设点 M 的坐标为（xM，1），点 N 的坐标为（xN，1），若 a0，由图可得当 t1 时，MN 取得最小值 m，把 y1 代入 ya（x+1）（x3），整理得 ax22ax+13a0，得 ， ，M（xM，1），N（xN，1），MN|xMxN|，整理得 ，m2， ，解得 ，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合），4a1，解得 ， 得 ；若 a0，由图可得当 t2 时，MN 取得最小值 m，把 y2 代入 ya（x+1）（x3），整理得 ax22ax3a
32、20，得 xM+xN2，整理得 ，m2， ，解得 ，过点 P 作 y 轴的垂线交抛物线 G 于点 M、N（M 与 N 不重合），4a2，解得 ， 得 ；综上所述，a 的取值范围为或 25（12 分）如图，四边形 ABCD 中，ABCD，ABC+BCD270（1） 求A+D 的度数；（2） 连接 AC，若ACB45，求证：BC2+2AC2AD2；（3） 点 E，F 分别为线段 BC 和 AD 上的点，点 G 是线段 EF 上任意一点，且GAB 和GCD 的面积相等，过点 D 作 DHEF，DH 交直线 EF 于点 H，连接 AH若 AD4，求线段 AH 的最小值【解答】（1）解：在四边形 ABC
33、D 中，A+D+ABC+BCD360，ABC+BCD270，A+D90，（2） 证明：如图 1，作 DGAC 交 AC 的延长线于点 G，在 DG 的延长线上截取 DFAC，连接 CF，DAC+ADC+CDG90， 由（1）知：BAD+ADC90，DAC+BAC+ADC90，CDFBAC，ABCD，ABCDCF（SAS），FACB45，CFBC，CGFG CF BC，AGD90，AG2+DG2AD2，（AC+CG）2+（DFFG）2AD2，（AC+）2+（AC）2AD2，（AC+）2+（AC）2AD2，BC2+2AC2AD2；（3） 解：如图 2，延长 AB，DC，交于点 X，由（1）得：BAD+CAD90，AXD90，点 X 在以 AD 为直径的圆上运动，GAB 和GCD 的面积相等，ABCD，hABhCD，点 G 在AXD 的平分线上，点 G 是 EF 上任意一点，EF 在AXD 的角平分线上，设 EF 交圆 O 于点 W，AXEDXF，W 是半圆 AWD 的中点，DW AD2，DHEF，DHW90，点 H 在以 DW 为半径的圆 I 上运动， 连接 AI，交I 于点 H，则 AH 最小， 作 IVAD 于 V，ADW45，DI ，VIDV1，AVADDV3，AI，AH 最小
