1、2023-2024 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（3 分）如图所示图形中，不是中心对称图形的是（）A B C D 2（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A经过红绿灯路口，遇到绿灯B射击运动员射击一次，命中靶心C班里的两名同学，他们的生日是同一天D从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球3（3 分）在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（3，1） 4（3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次
2、都是正面朝上的概率为（）A B C D 5（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 yx22x3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线顶点坐标是（）A（1，1）B（3，1）C（1，7）D（3，1）6（3 分）如图，OA 是O 的半径，弦 BCOA，D 是优弧上一点，如果AOB58，那么ADC的度数为（）A32B29C58D1167（3 分）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛 21 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A x（x+1）21B x（x1）21Cx（x+1）21Dx（x1）21第 9页（共 27页）8
3、（3 分）已知 a，b，c 为常数，点 P（a，c）在第四象限，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法判定9（3 分）如图，RtABC 中，ACB90，AC4，BC3，若把直角三角形绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A B C12D2410（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点，与 y 轴的交点 B 在（0，0）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x则下列结论：x3 时，y0；4a+b0； a0；2ac其中正确的个数是（）A.1 个B2 个C3
4、 个D4 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）11（3 分）二次函数 yx2+bx+c 的图象上有两点 A（3，1），B（5，1），则此抛物线的对称轴是直线 x12（3 分）从 110 这 10 个整数中随机抽取 1 个数，抽到 3 的倍数的概率是 13（3 分）如图，将三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到三角形 CDE，若点 A 恰好在 ED 的延长线上，若ABC110，则ADC 的度数为14（3 分）若、是关于 x 的方程 x2x+k0 的两个实数根，且2+25，则 k 的值为 15（3 分）O 的半径是 2，弦 AB2，点 C 为O 上的一点（不与点 A
5、、B 重合），则ACB 的度数为16（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，BC8，AC12，点 D 是边 BC 上的一动点，连接 AD，作 CEAD 于点 E，连接 BE，则 BE 的最小值为三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（4 分）解方程：x22xx218（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，0），B（2，2）， C（4，1）（1） 将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2） 求点 B 运动路径长19（6 分）如图 AB 是O 的直径，弦
6、CDAB 于点 E，若 EB9，AE1，求弦 CD 的长20（6 分）一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）、1 个白球、1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀（1） 从中任意摸出 1 个球，求恰好摸到黑球的概率；（2） 先从中任意摸出 1 个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法求两次都摸到红球的概率21（8 分）如图，已知点 E 在直角ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的O 与直角边 BC 相切于点 D（1） 求证：AD 平分BAC；（2） 若 BE4，BD8，求O 的半径22（10 分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南
7、忆”套装，成本为每件 30 元，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W 元网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2） 当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3） 如果每天的利润不低于 3000 元，求销售单价 x（元）的取值范围23（10 分）已知抛物线 y1x2+mx+n 和直线 y2kx+b，抛物线 y1 的对称轴与直线 y2 交于点 A（1，5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4（1） 求 y1 的解析式
8、；（2） 若 y2 随着 x 的增大而减小，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的解析式24（12 分）已知O 是ABC 的外接圆，且，ABC60，D 为O 上一动点（1） 如图 1，若点 D 是的中点，则DBA；（2） 如图 2，点 D 是上一动点，过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E，求证：CDDE+AE；（3） 如图 3，D30，连接 AD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由25（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P 为直线 BC 上方抛物
9、线上一动点（1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 A 作 ADBC 交抛物线于点 D，点 Q 为直线 AD 上一动点，连接 CP，CQ，BP，BQ，求四边形 BPCQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3） 将抛物线向右平移 1 个单位，M 为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点 N，使以点 B，C，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标，若不存在，请说明理由第 27页（共 27页）2023-2024 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每
10、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1（3 分）如图所示图形中，不是中心对称图形的是（ ）A B C D【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不符合题意； 故选：C2（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A经过红绿灯路口，遇到绿灯 B射击运动员射击一次，命中靶心C班里的两名同学，他们的生日是同一天D从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；C、班
11、里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D3（3 分）在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（）A（1，3）B（1，3）C（1，3）D（3，1）【解答】解：点 A（1，3）关于原点 O 对称的点 A1 的坐标是：（1，3）故选：A4（3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（）A B C D 【解答】解：画树状图如下：共有 4 种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有 1 种，两次都是“正面朝上”的概率为 ， 故选：C5（3 分）在平面直
12、角坐标系中，将抛物线 yx22x3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线顶点坐标是（）A（1，1）B（3，1）C（1，7）D（3，1）【解答】解：yx22x3（x1）24，抛物线 yx22x3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 y（x1+2）24+3（x+1）21，得到的抛物线顶点坐标是（1，1）故选：A6（3 分）如图，OA 是O 的半径，弦 BCOA，D 是优弧上一点，如果AOB58，那么ADC的度数为（）A32B29C58D116【解答】解：弦 BCOA，ADC AOB 5829 故选：B7（3 分）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两
13、支球队之间都要进行一场比赛，共比赛 21 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A x（x+1）21B x（x1）21Cx（x+1）21Dx（x1）21【解答】解：依题意得： x（x1）21 故选：B8（3 分）已知 a，b，c 为常数，点 P（a，c）在第四象限，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C没有实数根D无法判定【解答】解：点 P（a，c）在第四象限，a0，c0，ac0，方程 ax2+bx+c0 的判别式b24ac0，方程 ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根 故选：B9（3
14、分）如图，RtABC 中，ACB90，AC4，BC3，若把直角三角形绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（）A B C12D24【解答】解：RtABC 中，ACB90，AC4，BC3，AB 5，设 AB 边上的高为 h，则5h 34， 解得：h 所得两个圆锥底面半径为 几何体的表面积 2 4+23 故选：A10（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点，与 y 轴的交点 B 在（0，0）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x则下列结论：x3 时，y0；4a+b0； a0；2ac其中正确的个数是（）A.1 个B2 个C3 个D4 个【解答】解：
15、由题知，因为抛物线的对称轴为直线 x，且与 x 轴的一个交点坐标为（，0），所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（，0），所以当 x时，y0，则当 x3 时，y0 故正确因为抛物线的对称轴是直线 x，所以 ，则 3a+b0，又因为 a0， 所以 4a+b0 故正确将（ ，0）代入函数解析式得，又因为 b3a， 则 c而抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，0）和（0，1）之间（不包括这两点），所以1c0，则1 0，得 故正确因为 ，a0， 所以 又因为 c， 所以 2ac故正确 故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）11（3 分）二次函数 yx2+bx+c 的
16、图象上有两点 A（3，1），B（5，1），则此抛物线的对称轴是直线 x4【解答】解：点 A（3，1），B（5，1）的纵坐标相同，点 A（3，1），B（5，1）是抛物线上的对称点，对称轴为直线 x4， 故答案为：412（3 分）从 110 这 10 个整数中随机抽取 1 个数，抽到 3 的倍数的概率是 【解答】解：由题意可得：在 110 中共有 10 个整数，3 的倍数只有 3，6，9，共 3 个，随机抽取一个数，抽到 3 的倍数的概率是 故答案为： 13（3 分）如图，将三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到三角形 CDE，若点 A 恰好在 ED 的延长线上，若ABC110，则ADC 的度数
17、为 70 【解答】解：三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到三角形 CDE，ABCCDE，ABC110，CDE110，ADC70， 故答案为：7014（3 分）若、是关于 x 的方程 x2x+k0 的两个实数根，且2+25，则 k 的值为 2【解答】解：、是关于 x 的方程 x2x+k0 的两个实数根，+1，k，2+25，2+2（+）2212k5， 解得：k2（1）24k0，k ，k 的值为2 故答案为：215（3 分）O 的半径是 2，弦 AB2，点 C 为O 上的一点（不与点 A、B 重合），则ACB 的度数为 30或 150 【解答】解：如图，连接 OA，OBAOBO2，AB2，ABO
18、 是等边三角形，AOB60若点 C 在优弧上，则BCA30；若点 C 在劣弧上，则BCA （360AOB）150； 综上所述：BCA 的度数为 30或 150故答案为 30或 15016（3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，BC8，AC12，点 D 是边 BC 上的一动点，连接 AD，作 CEAD 于点 E，连接 BE，则 BE 的最小值为 4【解答】解：CEAD，AEC90，点 E 在以 AC 为直径的圆上，取 AC 的中点 O，以 AC 为直径作O，当 O、E、B 共线时，BE 的长最小，ACB90，BC8，AC12，OC AC6，RtOCB 中，OCOE6，BC8，OB 10，
19、BEOBOE1064， 则 BE 的最小值为：4，故答案为：4三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（4 分）解方程：x22xx2【解答】解：方程整理，得x（x2）（x2）0， 因式分解，得（x2）（x1）0于是，得x20 或 x10解得 x12，x2118（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，0），B（2，2）， C（4，1）（1） 将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得到A1B1C1，请画出A1B1C1；（2） 求点 B 运动路径长【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1 即为所求（2）OB
20、 2 ，BOB190，点 B 运动路径长为 19（6 分）如图 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，若 EB9，AE1，求弦 CD 的长【解答】解：连接 OC，如图，CDAB，CEDE，EB9，AE1，AB10，OCOA5，OE4，在 RtOCE 中，CE3，CD2CE620（6 分）一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）、1 个白球、1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀（1） 从中任意摸出 1 个球，求恰好摸到黑球的概率；（2） 先从中任意摸出 1 个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法求两次都摸到红球的概率【解答】解：（1）4 个小球
21、中有 1 个黑球，则任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是； 故答案为： ；红 1红 2白黑红 1（红 2，红 1）（白，红 1）（黑，红 1）红 2（红 1，红 2）（白，红 2）（黑，红 2）白（红 1，白）（红 1，白）（黑，白）黑（红 1，黑）（红 2，黑）（白，黑）（2）列表如下：所有等可能的情况有 12 种，其中两次都摸到红球有 2 种可能， 则 P（两次摸到红球） 21（8 分）如图，已知点 E 在直角ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的O 与直角边 BC 相切于点 D（1） 求证：AD 平分BAC；（2） 若 BE4，BD8，求O 的半径【解答】（1）证明：连接 OD
22、，BC 是O 的切线，ODBC， 又ACBC，ODAC，23；OAOD，13，12，AD 平分BAC；（2）解：BC 与圆相切于点 DBD2BEBA，BE4，BD8，BA16，AEABBE12，O 的半径为 622（10 分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30 元，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W 元网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；（2） 当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是
23、多少？（3） 如果每天的利润不低于 3000 元，求销售单价 x（元）的取值范围【解答】解：（1）设 ykx+b，将（40，300），（55，150）代入，得：，解得：，所以 y 与 x 之间的函数关系式为：y10x+700；（2）设每周可获利润为 W 元，Wy（x30），（x30）（10x+700），10x2+1000x21000，10（x50）2+4000， 又10x+700220，x48，x50，x48，x50 时，W 随 x 的增大而增大，当 x48 时，W 取得最大值，最大值为104+40003960答：当销售单价为 48 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3960 元（3）依题
24、意得：W10x2+1000x210003000， 即10（x50）21000，解得：x140，x260，a100，x48，当 40x48 时，每月利润不低于 3000 元23（10 分）已知抛物线 y1x2+mx+n 和直线 y2kx+b，抛物线 y1 的对称轴与直线 y2 交于点 A（1，5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4（1） 求 y1 的解析式；（2） 若 y2 随着 x 的增大而减小，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的解析式【解答】解：（1）抛物线 y1x2+mx+n，直线 y2kx+b，y1 的对称轴与 y2 交于点 A（1，5），点 A与 y1
25、 的顶点 B 的距离是 4B（1，1）或（1，9）， 1， 1 或 9， 解得 m2，n0 或 8，y1 的解析式为 y1x22x 或 y1x22x+8；（2）当 y1 的解析式为 y1x22x 时，抛物线与 x 轴交点是（0，0）和（2，0），y1 的对称轴与 y2 交于点 A（1，5），y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（0，0），把（1，5），（0，0）代入得，解得 k5，y25x当 y1x22x+8 时，解x22x+80 得 x4 或 2，y2 随着 x 的增大而 j 减小，且过点 A（1，5），y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（2，0），把（1，5），（2，0）代入得，
26、解得；y2 x+综上所述，y2 的解析式为 y25x 或 y2x+ 24（12 分）已知O 是ABC 的外接圆，且，ABC60，D 为O 上一动点（1） 如图 1，若点 D 是的中点，则DBA 30；（2） 如图 2，点 D 是上一动点，过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E，求证：CDDE+AE；（3） 如图 3，D30，连接 AD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由【解答】（1）解：连接 BD，如图： ，ABC60，ABC 是等边三角形，ACB60，点 D 是的中点，ACD30，DBAACD30； 故答案为：30；（2） 证明：过 B 作 BHCD 于点 H，连接
27、 BD，BHCBHD90，BEAD，E90BHC， ，ABBC，又EABHCB，ABECBH（AAS），BEBH，CHAE，BDBD，RtBDERtBHD（HL），DEDH，CDCH+DH，CDAE+DE；（3） 解：AD2BD2+CD2连接 AD，在 AD 的下方作等边三角形 ADE，连接 CE，如图：ADAEDE，DAE60， 由（1）知ABC 是等边三角形，ABAC，BAC60，BADCAE，ABDCAE（SAS），BDCE，ABDACE，BAC60，D30，ABD+ACDACE+ACD3606030270，DCE360（ACE+ACD）90，DE2DC2+CE2，AD2BD2+CD22
28、5（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A（2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一动点（1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 A 作 ADBC 交抛物线于点 D，点 Q 为直线 AD 上一动点，连接 CP，CQ，BP，BQ，求四边形 BPCQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；（3） 将抛物线向右平移 1 个单位，M 为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点 N，使以点 B，C，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解
29、：（1）由题意得：y（x4）（x+2）x2+2x+8；（2） 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y2x+8， 设点 P（x，x2+2x+8），则点 H（x，2x+8），则 PHx2+2x+8+2x8x2+4x，ADBC，则 SBCQSBCA，则四边形 BPCQ 面积SBCQ+SBCPSBCP+SBCAABCO OBPH68+4（x2+4x）2x2+8x+24，20，故四边形 BPCQ 面积有最大值为 32，此时点 P（2，8）；（3） 存在，理由：平移后的抛物线的对称轴为直线 x2，设点 M（2，m），设点 N（s，t），当 BC 是对角线时，由中点坐标公式和 MBCM 得：，解得：，则点 N（2，4）；当 BN 或 BM 为对角线时，由中点坐标公式和 BMBC 或 BCBN 得：或，解得：或，即点 N（2，82）或（6，2）；综上，点 N 的坐标为：（2，4）（舍去）或（2，82）或（6，2）
