1、2023-2024 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列各图中，是中心对称图形的是（）A B C D 2（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（）Ax2+2x0B Cx+30Dx3+2x21 3（3 分）方程 3x22x10 的根的情况是（）A有两个相等的实数根B没有实数根C有两个不相等的实数根D无法确定4（3 分）下列事件为随机事件的是（）A太阳从东方升起B度量四边形内角和，结果是 720 C某射击运动员射击一次，命中靶心D通常加热到 100时，水沸腾
2、5（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（2，1）6（3 分）不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个红球和 5 个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为（）A B C D 7（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径是 1，则正六边形 ABCDEF 的周长是（）A B6C D12第 9页（共 22页）8（3 分）如图，用圆心角为 120，半径为 6 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A4B2C4D2 9（3 分）反比例函数 y（m0，x0）的图象位于（）A第一象限
3、B第二象限C第三象限D第四象限10（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 BC 延长线上一点，连接 OD，OB，若 ODBC，且 ODBC，则BOD 的度数是（）A65B115C130D120二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）设 x1，x2 是方程 x2+3x40 的两个根，则 x1+x2 12（3 分）若点（2，a）在反比例函数的图象上，则 a 13（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为 （指针指向 OA 时，当作指向黑色扇形；指针指向 OB 时，当作
4、指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角AOB 14（3 分）如图，在 RtABC 中，BAC30，BC3，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABC，则 BB15（3 分）如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面，半径 OA10m，地面宽 AB16m，则高度 CD 为 16（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的开口向上，经过点（1，3）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴则下列结论：a+b+c0，abc0；2a+b0；，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（4 分）解方程：2x28018（4 分）如图
5、，在ABC 中，边 BC 与A 相切于点 D，BADCAD求证：ABAC19（6 分）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函数 y2x 的图象与反比例函数 y的图象交于 A， B 两点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为点 C，AC2，求 k 的值20（6 分）如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 互相垂直，AC+BD10，当 AC，BD 的长是多少时，四边形 ABCD 的面积最大？21（8 分）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A搭豇豆架、B斩草除根 C趣挖番薯、D开垦播种，学校要
6、求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组（1） 甲选择“趣挖番薯”小组的概率是；（2） 请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率22（10 分）如图，AB 是O 直径，C 为O 上一点（1） 尺规作图：求作一点 B，使得 B与 B 关于直线 AC 对称；（2） 在直线 AB上取一点 D，连接 CD，若 CDAB，求证：CD 是圆 O 的切线23（10 分）为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将一块长 18 米，宽 10 米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其 余区域种植绿化，使绿化区域的面
7、积为广场总面积的 80%（1） 求该广场绿化区域的面积；（2） 求广场中间小路的宽24（12 分）已知抛物线经过点 A（1，0）和 B（3，0）（1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 A 的直线 y2kx+k 与抛物线交于点 P当 0x3 时，若 y1y2 的最小值为 5，求 k 的值；抛物线的顶点为 C，对称轴与 x 轴交于点 D，当点 P（不与点 B 重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，直线 AP 和直线 BP 分别与对称轴交于点 M，N，试探究AMD 的面积与BND 的面积之间满足的等量关系25（12 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 边上的一点，CG 平分正方形的外角DCF，将线段
8、AE 绕点 E顺时针旋转，点 A 的对应点为点 H（1） 当点 H 落在边 CD 上且 CECH 时，求AEH 的度数；（2） 当点 H 落在射线 CG 上时，求证：AEEH；（3） 在（2）的条件下，连接 AH 并与 CD 交于点 P，连接 EP，探究 AP2，EP2 与 HP2 之间的数量关系，并说明理由2023-2024 学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列各图中，是中心对称图形的是（）A BC D【解答】解：中心对称图形，即把一
9、个图形绕一个点旋转 180后能和原来的图形重合，A、C、D 都不符合；是中心对称图形的只有 B 故选：B2（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（）Ax2+2x0B Cx+30Dx3+2x21【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；B、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、未知数的最高次数是 1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、未知数的最高次数是 3，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A3（3 分）方程 3x22x10 的根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B没有实数根C有两个不相等的实数根D无法确定【解答】解：a3，b2，c1，443（1）16
10、0， 故选：C4（3 分）下列事件为随机事件的是（）A. 太阳从东方升起B. 度量四边形内角和，结果是 720 C某射击运动员射击一次，命中靶心D通常加热到 100时，水沸腾【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故此选项不符合题意； B、度量四边形内角和，结果是 720是不可能事件，故此选项不符合题意； C、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故此选项符合题意；D、通常加热到 100时，水沸腾是必然事件，故此选项不符合题意； 故选：C5（3 分）在平面直角坐标系中，点 P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（2，1）【解答】解：根据中心对称
11、的性质，可知：点 P（1，2）关于原点 O 中心对称的点的坐标为（1，2）故选：C6（3 分）不透明的袋子中装有 2 个白球，3 个红球和 5 个黑球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球，恰好是白球的概率为（）A B C D 【解答】解：随机摸出一个球共有 10 种等可能结果，其中恰好是白球的有 2 种结果，所以随机摸出一个球，恰好是白球的概率为 ， 故选：C7（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于O，O 的半径是 1，则正六边形 ABCDEF 的周长是（）A B6C D12【解答】解：如图，连接 OA，OB第 22页（共 22页）在正六边形 ABCDEF 中，OAOB1，AOB60，
12、OAB 是等边三角形，ABOA1，正六边形 ABCDEF 的周长是 166 故选：B8（3 分）如图，用圆心角为 120，半径为 6 的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是（）A4B2C4D2【解答】解：扇形的弧长 4，圆锥的底面半径为 422 故选：B9（3 分）反比例函数 y（m0，x0）的图象位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：反比例函数 y中，m0，x0，函数图象位于第一象限 故选：A10（3 分）如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 BC 延长线上一点，连接 OD，OB，若 ODBC，且 ODBC，则BOD 的度数是（）A65B115C130D1
13、20【解答】解：ODBC，且 ODBC，四边形 OBCD 是平行四边形，BODBCD，BAD BOD，BCD+A180， BOD+BOD180， 解得：BOD120，故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）11（3 分）设 x1，x2 是方程 x2+3x40 的两个根，则 x1+x2 3【解答】解：x1，x2 是方程 x2+3x40 的两个根， ，故答案为：312（3 分）若点（2，a）在反比例函数的图象上，则 a 6【解答】解：点（2，a）在反比例函数 的图象上，a 6， 故答案为：613（3 分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成黑、白两种颜色指针的位置
14、固定，转动的转盘停止后，指针恰好指向白色扇形的概率为 （指针指向 OA 时，当作指向黑色扇形；指针指向 OB 时，当作指向白色扇形），则黑色扇形的圆心角AOB 45 【解答】解：由题意知黑色扇形的圆心角AOB360（1 ）45，故答案为：4514（3 分）如图，在 RtABC 中，BAC30，BC3，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABC，则 BB 6 【解答】解：在ABC 中，BC3，ACB90，BAC30，AB2BC6，将ABC 绕点 A 顺时针旋转 90，得到ABC，BAB90，ABAB6，BB 6 故答案为：6 15（ 3 分） 如图某蔬菜基地建蔬菜大棚的剖面， 半径 OA 1
15、0m ， 地面宽 AB 16m ， 则高度 CD 为4m【解答】解：OCAB，ADO90，ADAB8（m），在 RtAOD 中，OD2OA2AD2，OD6（m），CD1064（m）故答案是：4m16（3 分）如图，抛物线 yax2+bx+c 的开口向上，经过点（1，3）和（1，0）且与 y 轴交于负半轴则下列结论：a+b+c0，abc0；2a+b0；，其中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）【解答】解：抛物线经过点（1，0），即 x1 时，y0，a+b+c0，所以正确；抛物线开口向上a0，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，即 b0，抛物线与 y 轴相交于负半轴，c0，abc0，
16、所以错误；x 1， 而 a0，b2a，即 2a+b0，所以错误；二次函数经过点（1，3）和（1，0），ab+c3，a+b+c0，2a+2c3，即 a+c，所以正确； 故答案为：三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（4 分）解方程：2x280【解答】解：x24， 所以 x12，x2218（4 分）如图，在ABC 中，边 BC 与A 相切于点 D，BADCAD求证：ABAC【解答】解：BC 与A 相切于点 D，ADBC，ADBADC90，BADCAD，ADAD，ABDACD（ASA），ABAC19（6 分）如图，在同一平面直角坐标系中，正比例函
17、数 y2x 的图象与反比例函数 y的图象交于 A， B 两点，过点 A 作 ACx 轴，垂足为点 C，AC2，求 k 的值【解答】解：ACx 轴，AC2，A 的纵坐标为 2，正比例函数 y2x 的图象经过点 A，2x2，解得 x1，A（1，2），反比例函数 y的图象经过点 A，k12220（6 分）如图，四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 互相垂直，AC+BD10，当 AC，BD 的长是多少时，四边形 ABCD 的面积最大？【解答】解：设 ACx，四边形 ABCD 面积为 S，则 BD10x， 则：S ACBD x（10x） （x5）2+ ，当 x5 时，S 最大；所以 ACBD5 时
18、，四边形 ABCD 的面积最大21（8 分）学校为了践行“立德树人，实践育人”的目标，开展劳动课程，组织学生走进农业基地，欣赏田园风光，体验劳作的艰辛和乐趣，该劳动课程有以下小组：A搭豇豆架、B斩草除根 C趣挖番薯、D开垦播种，学校要求每人只能参加一个小组，甲和乙准备随机报名一个小组（1） 甲选择“趣挖番薯”小组的概率是 ；（2） 请利用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一个小组的概率【解答】解：（1）甲选择“趣挖番薯”小组的概率是，故答案为： ；（2）画树状图如下：共有 16 种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一个小组的结果有 4 种，甲、乙两人选择同一个小组的概率为 22（10 分
19、）如图，AB 是O 直径，C 为O 上一点（1） 尺规作图：求作一点 B，使得 B与 B 关于直线 AC 对称；（2） 在直线 AB上取一点 D，连接 CD，若 CDAB，求证：CD 是圆 O 的切线【解答】（1）解：如图，连接 BC 并延长，以点 C 为圆心，BC 的长为半径画弧，交 BC 的延长线于点B，则点 B 即为所求（2）证明：连接 OC，B与 B 关于直线 AC 对称，AC 垂直平分 BB，ABAB，ABBABBOBOC，OBCOCB，OCBABB，ABOC，CDAB，BDC90，DCOBDC90，OCCDOC 为圆 O 的半径，CD 是圆 O 的切线23（10 分）为改善生态环境
20、，建设美丽乡村，某村规划将一块长 18 米，宽 10 米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其 余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的 80%（1） 求该广场绿化区域的面积；（2） 求广场中间小路的宽【解答】解：（1）181080%144（平方米）答：该广场绿化区域的面积为 144 平方米（2）设广场中间小路的宽为 x 米，依题意，得：（182x）（10x）144，整理，得：x219x+180，解得：x11，x218（不合题意，舍去）答：广场中间小路的宽为 1 米24（12 分）已知抛物线经过点 A（1，0）和 B
21、（3，0）（1） 求抛物线的解析式；（2） 过点 A 的直线 y2kx+k 与抛物线交于点 P当 0x3 时，若 y1y2 的最小值为 5，求 k 的值；抛物线的顶点为 C，对称轴与 x 轴交于点 D，当点 P（不与点 B 重合）在抛物线的对称轴右侧运动时，直线 AP 和直线 BP 分别与对称轴交于点 M，N，试探究AMD 的面积与BND 的面积之间满足的等量关系【解答】解：（1）抛物线经过点 A（1，0）和 B（3，0），y1（x+1）（x3），抛物线的解析式为 y1x2+2x+3；（2）由题意可知：y1y2x2+2x+3kxkx2+（2k）x+3k，该函数的对称轴为直线 x ，10，开口向
22、下，当 0即4k2 时，当 0x3 时，若 y1y2 的最小值为 5，当 x0 时，y1y2 的最小值为 5，即 3k5，解得 k2，当 x3 时，若 y1y2 的最小值为 5，即9+3（2k）+3k5，解得 k（不符合题意，舍去），当 即 k4 时，同理可得不符合题意；抛物线解析式 yx2+2x+3，整理成顶点式为：y1（x1）2+4，对称轴为直线 x1，顶点（1，4），D（1，0），直线 AP 的解析式为 y2kx+k，且直线 AP 与对称轴交于点 M，M（1，2k），即 DM2K，过点 A 的直线 y2kx+k 与抛物线交于点 P， 有x2+2x+3kx+k，解得，x11，x23k，将
23、x3k 代入 y2kx+k 中，有 y24kk2，P（3k，4kk2），设直线 PB 的解析式为 y3mx+n，则解得，直线 BP 的解析式为 y3（4+k）x+123k，直线 BP 与对称轴交于点 N，N（1，82k），即 DN82k当 P 在第一象限时，SAMD ADDM 22k2k，SBND BDDN 82k，SAMD+SBND2k+82k8当点 P 在第四象限时，SAMD ADDM 2（2k）2k，SBND BDDN 82k，SBNDSAMD82k（2k）8综上可知，SAMD+SBND8 或 SBNDSAMD825（12 分）如图，点 E 为正方形 ABCD 边上的一点，CG 平分正方
24、形的外角DCF，将线段 AE 绕点 E顺时针旋转，点 A 的对应点为点 H（1） 当点 H 落在边 CD 上且 CECH 时，求AEH 的度数；（2） 当点 H 落在射线 CG 上时，求证：AEEH；（3） 在（2）的条件下，连接 AH 并与 CD 交于点 P，连接 EP，探究 AP2，EP2 与 HP2 之间的数量关系，并说明理由【解答】（1）解：如图所示，连接 AH，线段 AE 绕点 E 顺时针旋，当点 H 落在边 CD 上，AEEH，四边形 ABCD 是正方形，CBCDABAD，ABEADH90，CECH，CBCECDCH，BEDH，在ABE 和ADH 中，ABEADH（SAS），AHA
25、EEH，故AEH 为等边三角形，AEH60；（2）证明：如图，在 AB 上取点 Q，使 BQBE，作 HM 垂直 BF 于点 M，线段 AE 绕点 E 顺时针旋，当点 H 落在边 CG 上，AEEH，ABAC，BQBE，AQCE，CG 平分DCF，CMHM，设 AQCEa，CMHMb，BQBEx，在 RtABE 和 RtEMH 中，AE2AB2+BE2，EH2EM2+MH2，AB2+BE2EM2+MH2，即（a+x）2+x2（a+b）2+b2， 整理得：2（xb）（a+b+x）0，a+b+x0，xb0， 解得 xb，CMBE，CG 平分DCF，BQBE，GCFBQE45，AQEECH135， ，CH CM，QECH，在AQE 和ECG 中，AQEECG（SAS），QAECEG，QAE+AEB90，CEG+AEB90，AEG90， 故 AEEH（3）解：HP2+AP22EP2理由如下：如图，过点 P 作 PMEH 于点 M，PNAE 于点 N，由（2）可知，AEEH，EAHEHA45，APN 和PHM 为等腰直角三角形， 即 ， ，PH22PM2，AP22PN2，PNEAEHPME90，四边形 PNEM 为矩形，PMNE，在 RtPNE 中，EP2NE2+PN2PM2+PN2HP2+AP22（PM2+PN2）2EP2， 故 HP2+AP22EP2
