1、2023-2024 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B CD 2（3 分）已知O 半径为 10cm，圆心 O 到点 A 的距离为 10cm，则点 A 与O 的位置关系是（）A相切B圆外C圆上D圆内3（3 分）下列事件属于必然事件的是（）A篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B掷一次骰子，向上一面的点数是 6C任意画一个三角形，其内角和是 180 D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯4（3
2、分）如图，在O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若A60，APD80，则B 等于（）A30B35C40D455（3 分）如图，AB，AC 分别切O 于 B，C 两点，若OBC26，则A 的度数为（）A32B52C64D726（3 分）将抛物线 y3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的解析式是（）Ay3（x1）2+2By3（x+1）22Cy3（x1）22Dy3（x+1）2+2第 9页（共 24页）27（3 分）设 x1，x2 是一元二次方程 x22x30 的两根，则 x12+x 2（ ）A2B2C1D108（3 分）若点 A（1，a），B（1，b），C（2，c）在
3、反比例函数 y（k 为常数）的图象上，则 a， b，c 的大小关系是（ ）AabcBbacCcabDacb9（3 分）如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向边连续翻转 2023 次，点 P 依次落在点 P1，P2， P3，P2023 的位置，则 P2023 的横坐标 x2023 为（ ）A2021B2022C2023D不能确定10（3 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x1下列结论：abc04a+2b+c04acb28a a bc 其中含所有正
4、确结论的选项是（）ABCD二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.）11（3 分）点 P（2，3）关于原点对称的点 P1 的坐标为 12（3 分）一元二次方程 x2+6x3x+2 化成一般式为： 13（3 分）不透明的袋子中装有 8 个球，除颜色外无其他差别每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于 0.25，则袋子中白球的个数约是14（3 分）圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积是 15（3 分）点 A 是反比例函数 y（k0）上的点，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，若AOB 的面积为8，则
5、一元二次方程 x24x+k0 的根的情况为16（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为cm三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（4 分）解方程：x24x518（4 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC若点 A、D、E 在同一条直线上，且ACB20，求CAE 及B 的度数19（6 分）随着信息
6、技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式（1） 若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；（2） 在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式 进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）20（6 分）如图，在OABC 中，点 O 为坐标顶点，点 A（3，0），C（1，2），反比例函数 y（k0）的图象经过定 C（1） 求 k 的值及直线 OB 的函数表达式；（2） 试探究此反比例函数的图象是否经过OABC 的中心21（8 分）对于抛物线
7、yx24x+3（1） 它与 x 轴交点的坐标为，与 y 轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2） 在坐标系中利用描点法画出此抛物线；xy（3） 结合图象直接回答：当 0x3 时，则 y 的取值范围是22（10 分）如图，在ABC 中，ABC90，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A21，E 是 BC上的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D（1） 求证：AC 是O 的切线；（2） 若A60，O 的半径为 2，求阴影部分的面积（结果保留根号和）23（10 分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10 元涨到了每包 16.9 元（1） 求出这两次价格上调
8、的平均增长率；（2） 在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包 10 元，而且调查发现，定价为每包 10 元时，一天可以卖出 30 包，每降价 1 元，可以多卖出 5 包当销售额为 315 元时，且让顾客获得更大的优惠， 应该降价多少元？24（12 分）如图，直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 yx2+mx+n与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P（1） 求 3m+n 的值；（2） 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由（3） 将该抛物
9、线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值25（12 分）如图，P 是正方形 ABCD 中一动点，连接 PA，PB，PC（1） 如图 1，若 BCPB，CBP30，求APC 的度数；（2） 如图 2，当APC135时，求证：CDPB；（3） 如图 3，在（2）的条件下，若正方形 ABCD 的边长为 8，Q 为 BC 上一点，CQ2，连接 AQ，PQ， 求APQ 面积的最大值2023-2024 学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学
10、试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（3 分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D【解答】解：A 选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意 故选：A2（3 分）已知O 半径为 10cm，圆心 O 到点 A 的距离为
11、10cm，则点 A 与O 的位置关系是（）A相切B圆外C圆上D圆内【解答】解：O 的半径为 10cm，点 A 到圆心 O 的距离为 10cm，dr，点 A 与O 的位置关系是：点 A 在圆上， 故选：C3（3 分）下列事件属于必然事件的是（） A篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B掷一次骰子，向上一面的点数是 6C任意画一个三角形，其内角和是 180 D经过有交通信号灯的路口，遇到红灯【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件B、掷一次骰子，向上一面的点数是 6，是随机事件第 24页（共 24页）C、任意画一个三角形，其内角和是 180，是必然事件 D、经过有交通信号灯的路
12、口，遇到红灯，是随机事件 故选：C4（3 分）如图，在O 中，弦 AB，CD 相交于点 P，若A60，APD80，则B 等于（）A30B35C40D45【解答】解：A60，CA60，APD80，BPC80，B180CBPC180608040 故选：C5（3 分）如图，AB，AC 分别切O 于 B，C 两点，若OBC26，则A 的度数为（）A32B52C64D72【解答】解：AB，AC 分别切O 于 B，C 两点，ABAC，OBAB，OBA90，OBC26，ABC902664，ABAC，ACBABC64，A180ABCACB52故选：B6（3 分）将抛物线 y3x2 先向右平移 1 个单位，再向
13、上平移 2 个单位得到的抛物线的解析式是（）Ay3（x1）2+2By3（x+1）22Cy3（x1）22Dy3（x+1）2+2【解答】解：抛物线 y3x2 的对称轴为直线 x0，顶点坐标为（0，0），抛物线 y3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到的抛物线的对称轴为直线 x1，顶点坐标为（1，2），平移后抛物线的解析式为 y3（x1）2+2 故选：A27（3 分）设 x1，x2 是一元二次方程 x22x30 的两根，则 x12+x 2（）A2B2C1D10【解答】解：根据根与系数的关系可得 x1+x22，x1x23， 所以 x12+x22（x1+x2）22x1x242（3）10
14、故选：D8（3 分）若点 A（1，a），B（1，b），C（2，c）在反比例函数 y（k 为常数）的图象上，则 a， b，c 的大小关系是（）AabcBbacCcabDacb【解答】解：k2+30，反比例函数 y（k 为常数）的图象位于一三象限，且在每个象限内，y 随 x 的增大而减小，点 A（1，a）在第三象限，B（1，b），C（2，c）在第一象限，a0，bc0，acb， 故选：D9（3 分）如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向边连续翻转 2023 次，点 P 依次落在点 P1，P2， P3，P2023 的位置，则 P2023 的横坐标 x2023 为（）A2021B202
15、2C2023D不能确定【解答】解：从 P 到 P4 要翻转 4 次，横坐标刚好加 4，202345053，505412019，还要再翻三次，即完成从 P 到 P3 的过程，横坐标加 3， 则 P2023 的横坐标 x20232022故选：B10（3 分）如图，已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点 A（1，0），与 y 轴的交点 B在（0，2）和（0，1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x1下列结论：abc04a+2b+c04acb28a abc其中含所有正确结论的选项是（）ABCD【解答】解：函数开口方向向上，a0；对称轴在 y 轴右侧ab 异号，抛物线与 y 轴
16、交点在 y 轴负半轴，c0，abc0， 故正确；图象与 x 轴交于点 A（1，0），对称轴为直线 x1，图象与 x 轴的另一个交点为（3，0），当 x2 时，y0，4a+2b+c0， 故错误；图象与 x 轴交于点 A（1，0），当 x1 时，y（1）2a+b（1）+c0，ab+c0，即 abc，cba，对称轴为直线 x1 1，即 b2a，cba（2a）a3a，4acb24a（3a）（2a）216a208a04acb28a 故正确图象与 y 轴的交点 B 在（0，2）和（0，1）之间，2c123a1， a ； 故正确a0，bc0，即 bc； 故正确；故选：D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题
17、 3 分，满分 18 分.）11（3 分）点 P（2，3）关于原点对称的点 P1 的坐标为 （2，3） 【解答】解：点 P（2，3）关于原点对称的点 P的坐标是（2，3）故答案为：（2，3）12（3 分）一元二次方程 x2+6x3x+2 化成一般式为： x2+3x20【解答】解：x2+6x3x+2，移项，得 x2+6x3x20， 合并同类项，得 x2+3x20，即把一元二次方程 x24x6 化成一般式是：x2+3x20， 故答案为：x2+3x2013（3 分）不透明的袋子中装有 8 个球，除颜色外无其他差别每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子通过大量重复试验，发现摸到白球的频率
18、稳定于 0.25，则袋子中白球的个数约是 2个 【解答】解：根据题意，袋子中白球的个数约是 80.252（个），故答案为：2 个14（3 分）圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，则圆锥的侧面积是65 cm2【解答】解：圆锥的底面半径为 5cm，高为 12cm，圆锥的母线长13（cm），圆锥的侧面积251365（cm2），故答案为：65 cm215（3 分）点 A 是反比例函数 y（k0）上的点，过点 A 作 ABx 轴，垂足为 B，若AOB 的面积为8，则一元二次方程 x24x+k0 的根的情况为 无实数根 【解答】解：根据题意得 SAOB|k|8，k0，k16，一元二次方程 x24x+
19、k0 为：一元二次方程 x24x+160，16640，方程 x24x+k0 无实数根， 故答案为：无实数根16（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4cm，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，以相同的速度分别沿 AB、CD 向终点 B、D 移动，当点 E 到达点 B 时，运动停止，过点 B 作直线 EF 的垂线 BG，垂足为点 G，连接 AG，则 AG 长的最小值为cm【解答】解：设正方形的中心为 O，可证 EF 经过 O 点连接 OB，取 OB 中点 M，连接 MA，MG，则 MA，MG 为定长，MA，MG OB，AGAMMG， 当 A，M，G 三点共线时，AG 最小（）cm，故
20、答案为：（）三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（4 分）解方程：x24x5【解答】解：x24x5x24x50（x5）（x+1）0x50，x+10原方程的解为：x15，x2118（4 分）如图，将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到EDC若点 A、D、E 在同一条直线上，且ACB20，求CAE 及B 的度数【解答】解：根据旋转的性质可知 CACE，且ACE90， 所以ACE 是等腰直角三角形所以CAE45；根据旋转的性质可得BCD90，ACB20ACD902070EDC45+70115所以BEDC11519（6 分）随着信息技术的迅猛
21、发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式（1） 若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是；（2） 在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式 进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，故答案为 ；（2）树状图如图，由树状图可知，共有 9 种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种， 故 P（两人恰好选择同一种支付方式）为20（6 分）如图，在OABC 中，
22、点 O 为坐标顶点，点 A（3，0），C（1，2），反比例函数 y（k0）的图象经过定 C（1） 求 k 的值及直线 OB 的函数表达式；（2） 试探究此反比例函数的图象是否经过OABC 的中心【解答】解：（1）将点 C（1，2）代入反比例函数 y ，得 k2，A（3，0），OA3，在OABC 中，OABC，且 OABC，点 B 坐标是（4，2），设直线 OB 的解析式：ykx， 代入 B（4，2），得 4k2，解得 k，直线 OB 解析式是：yx；（2）OABC 的中心就是 OB 中点，且 OB 的中点坐标（2，1），将 x2 代入， 可得 y1，反比例函数的图象经过OABC 的中心21（8
23、 分）对于抛物线 yx24x+3（1） 它与 x 轴交点的坐标为 （1，0），（3，0） ，与 y 轴交点的坐标为 （0，3） ，顶点坐标为 （2，1） ；（2） 在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x01234y30103（3） 结合图象直接回答：当 0x3 时，则 y 的取值范围是 1y3【解答】解：（1）当 y0 时，x24x+30，解得 x11，x23，则抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当 x0 时，yx24x+33，则抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，3），y（x2）21，抛物线的顶点坐标为（2，1），故答案为：（1，0），（3，0），（0，3），（2，1）；（2）
24、 列表：描点、连线，如图，（3） 由（2）中的函数图象知，当 0x3 时，则 y 的取值范围是1y3 故答案为：1y322（10 分）如图，在ABC 中，ABC90，D 是边 AC 上的一点，连接 BD，使A21，E 是 BC上的一点，以 BE 为直径的O 经过点 D（1） 求证：AC 是O 的切线；（2） 若A60，O 的半径为 2，求阴影部分的面积（结果保留根号和）【解答】（1）证明：连接 OD，ODOB，1ODB，DOC1+ODB21， 而A21，DOCA，A+C90，DOC+C90，ODDC，AC 是O 的切线；（2）解：A60，C30，DOC60， 在 RtDOC 中，OD2，CD
25、OD2 ，阴影部分的面积SCODS 扇形DOE 22 2 23（10 分）由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10 元涨到了每包 16.9 元（1） 求出这两次价格上调的平均增长率；（2） 在有关部门大力调控下，口罩价格还是降到了每包 10 元，而且调查发现，定价为每包 10 元时，一天可以卖出 30 包，每降价 1 元，可以多卖出 5 包当销售额为 315 元时，且让顾客获得更大的优惠， 应该降价多少元？【解答】解：（1）设这两次价格上调的平均增长率为 x，依题意得：10（1+x）216.9，解得：x10.330%，x22.3（不符合题意，舍去）答
26、：这两次价格上调的平均增长率为 30%（2）设每包应该降价 m 元，则每包的售价为（10m）元，每天可售出（30+5m）包， 依题意得：（10m）（30+5m）315，整理得：m24m+30， 解得：m11，m23又要让顾客获得更大的优惠，m 的值为 3答：每包应该降价 3 元24（12 分）如图，直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、点 C，经过 B、C 两点的抛物线 yx2+mx+n与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P（1） 求 3m+n 的值；（2） 在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使以 C，P，Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 Q 的坐标；
27、若不存在，请说明理由（3） 将该抛物线在 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象 x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求 b 的值【解答】解：（1）直线 yx3，令 y0，则 x3，令 x0，则 y3，故点 B、C 的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点 B、C 的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得： ，则抛物线的表达式为：yx2+4x3，则点 A 坐标为（1，0），顶点 P 的坐标为（2，1），3m+n1239；（2） 当 CPCQ 时，C 点纵坐标与 PQ 中点的纵坐标相同， 故
28、此时 Q 点坐标为（2，7）；当 CPPQ 时，可得：点 Q 的坐标为（2，12）或（2，1+2）；当 CQPQ 时，可得：过该中点与 CP 垂直的直线方程为：yx ， 当 x2 时，y，即点 Q 的坐标为（2，）；故：点 Q 的坐标为（2，12）或（2，1+2）或（2，）或（2，7）；（3） 图象翻折后的点 P 对应点 P的坐标为（2，1），在如图所示的位置时，直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点， 此时直线 BC 和抛物线的交点有 3 个，b3；当直线 yx+b 与 x 轴上方的部分沿 x 轴向下翻折后的图象相切时， 此时，直线 yx+b 与该“M”形状的图象部分恰好有
29、三个公共点；即：x24x+3x+b，524（3b）0，解得：b 即：b3 或25（12 分）如图，P 是正方形 ABCD 中一动点，连接 PA，PB，PC（1） 如图 1，若 BCPB，CBP30，求APC 的度数；（2） 如图 2，当APC135时，求证：CDPB；（3） 如图 3，在（2）的条件下，若正方形 ABCD 的边长为 8，Q 为 BC 上一点，CQ2，连接 AQ，PQ，求APQ 面积的最大值【解答】（1）解：CBP30，ABC90，ABP60，BCPB，ABPB，ABP 是等边三角形，APB60，BPCBCP75，APC135；（2）证明：ABC90，ABBC， 以 B 为圆心，AB 为半径作圆，劣弧 AC 所对的圆心角是 270，优弧 AC 所对的圆周角是 135，APC135，P 点在圆 B 上，BPBC，BCCD，BPCD；（3）解：CQ2，AB8，BQ6，AQ10，当 BPAQ 时，APQ 面积有最大值， 设 BP 与 AQ 的交点为 K，ABBQAQBK，BK ，ABBP，PK8 ，APQ 面积的最大值为1016
