1、2023-2024 学年第一学期广东省广州市白云区九年级数学期末模考训练试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分）1. 下面四个汽车标志图案是中心对称图形的是（）A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【详解】解： A 、是中心对称图形，故本选项正确； B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、不是中心对称图形，故本选项错误； D 、不是中心对称图形，故本选项错误 故选： A 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 后两部分重合2. 把抛物线 y = -2x2 + 4 的图象
2、向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的拋物线的函数关系式是()A. y = -2( x + 3)2 + 6B. y = -2(x - 3)2 + 2C. y = -2(x - 3)2 + 6D. y = -2(x + 3)2 + 2【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可【详解】解：把抛物线 y = -2x2 + 4 的图象向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得的拋物线的函数关系式是 y = -2( x + 3)2 + 6故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键3. 如图，将V ABC 绕点 A 顺时针旋
3、转60o 得到AED ，若 AB = 3cm ，则 BE 等于（）第 1 页/共 21 页【答案】B【解析】【分析】由旋转的性质可得 AB = AE ，BAE = 60 ，可证V ABE 是等边三角形，即可求解【详解】解：将V ABC绕点 A 顺时针旋转60 得到AED ， AB = AE ，BAE = 60 ，V ABE 是等边三角形， AB = BE = 3cm 故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键4. 关于 x 的方程kx2 + 2x + 1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是（）A. k -1C. k 0B.D.k 1k 1 且
4、k 0【答案】B【解析】【分析】由于 k 的取值不确定，故应分 k =0 (此时方程可化简为一元一次方程)和 k 0次方程)两种情况进行解答即可【详解】解：当 k =0 时， 2x + 1 = 0 ，解得： x = - 1 ；2(此时方程为一元二当 k 0 时，此方程是一元二次方程，关于 x 方程kx2 + 2x + 1 = 0 有实根， D = 22 - 4k 1 0 ，解得 k 1 ， 综上，k 的取值范围是 k 1 ，故选：B【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意掌握一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a 0) 的根与D = b 2 - 4 ac 有如下关系：当D
5、0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当D = 0 时，方程有两个相等的两个实数根；当D 0 时，方程无实数根同时解答此题时要注意分 k =0 和 k 0 两种情况进行第 3 页/共 21 页讨论5. 若函数 ym - 3x的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是（）A m3B. m3C. m3D. m3【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的性质得 m30，然后解不等式即可【详解】解：根据题意得 m30， 解得 m3故选：C【点睛】本题主要考查的是反比例函数的性质，当 k0 时，图像在第一、三象限内，根据这个性质即可解出答案.6. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中
6、的概率是（）11A.B.3221C.D.39【答案】C【解析】【分析】画出树状图，共有 6 种等可能的结果，其中甲被选中的结果有 4 种，由概率公式即可得出结果【详解】解：根据题意画图如下：共有 6 种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有 4 种， 则甲被选中的概率为 4 = 2 63故选：C【点睛】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，解题的关键是画出树状图7. 如图，若 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，ABD50，则BCD 的度数为（）【答案】A【解析】【分析】连接 AC，由圆周角定理可求得ACB90，ACDABD，则可求得答案【详解】如图，连接 AC，AB 为直径，ACB90，AB
7、D50，ACDABD50，BCDACBACD905040， 故选 A【点睛】此题主要考查圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题.8. 若关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3x +1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围为（）9A. kB. k 9 且 k0C. k 9 且 k0D. k 94444【答案】B【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 k 的一元一次不等式组，解之即可得出 k的取值范围【详解】解：关于 x 的一元二次方程 kx2 - 3x +1 = 0 有实数根，k 0 = (-3)2 - 4 k 1 0 ，9解得：k4故选 B且 k0第 5 页/共 21
8、页【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及其根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式0，找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键9. 如图，两个反比例函数 y = 4 和 y = 2 在第一象限的图象分别是C 和C ，设点 P 在C 上， PA x 轴于xx121点 A，交C2 于 B，则VPOB 的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数 y = kx(k 0) 系数 k 的几何意义得到 SV AOP， SV AOB，然后利用SV POB = SV AOP - SV AOB 进行计算即可【详解】解： PA x 轴于点 A，交C2 于点 B， S
9、= 1 4 = 2 ， S= 1 2 = 1， AOP2V AOB2 SV POB = SV AOP - SV AOB = 2 -1 = 1故选：A【点睛】本题考查了反比例函数 y = kx(k 0) 系数 k 的几何意义：从反比例函数 y = kx(k 0) 图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为 k 10. 抛物线 yax2bxc 对称轴为 x1，与 x 轴的负半轴的交点坐标是（x1，0），且1x10，它的部分图象如图所示，有下列结论：abc0；b24ac0；9a3bc0；3ac0，其中正确的结论有（）A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案
10、】D【解析】【分析】根据函数图象的对称轴和与 y 轴的交点位置判断出正确，根据函数图象与 x 轴有两个交点坐标判断出正确，根据当 x = 3 时，函数值小于 0，判断出正确，由对称轴得b = -2a ，再根据当 x = -1 时，函数值小于 0，判断出正确【详解】解：函数图象对称轴在 y 轴右边， ab 0 ， abc 0 ，故正确；根据二次函数图象的对称性，它与 x 轴的另一个交点坐标在 2 和 3 之间，当 x = 3 时， y = 9a + 3b + c 0 ，故正确；抛物线的对称轴是直线 x = - b2a b = -2a ，= 1，当 x = -1 时， y = a - b + c
11、= a + 2a + c = 3a + c ”“ = ”或“ ”）【答案】【解析】【分析】分别求出 x = -1 和 x = 2 时的函数值，即可得到答案1【详解】解：当 x = -1 时， y = 2x2 -1 = 2 (-1)2 -1 = 1 ，即 y = 1 ，当 x = 2 时， y = 2x2 -1 = 2 22 -1 = 7 ，即 y2 = 7 ， y1 y2 故答案为： 【点睛】此题考查二次函数的性质，准确计算是解题的关键14. 如图，在V ABC 中， BAC = 55， C = 20 ，将V ABC 绕点A 逆时针旋转a度(0 a 3) 在第一象限的图像，直线 AB x 轴，
12、并分别交两条双曲线于xxA 、 B 两点，若 S AOB = 4 ，则 k =【答案】11【解析】【 分 析 】 应 用 反 比 例 函 数 比 例 系 数 k 的 几 何 意 义 ， 表 示SBOC - S AOC = S AOB 构造方程即可VBOC 、 AOC 的 面 积 ， 利 用【详解】解：如图，设直线 AB 与 y 轴交于点C ，由反比例函数比例系数 k 的几何意义可知，S= 1 k ， S= 3 ，BOC2V AOC2 SBOC - S AOC = S AOB = 4 ， 1 k - 3 = 4 ， 22解： k = 11 故答案为：11【点睛】本题考查反比例函数比例系数 k 的
13、几何意义根据图形中三角形面积关系构造方程是解题的关键16. 如图，正五边形 ABCDE 的边长为 2 ，以A 为圆心，以 AB 为半径作弧 BE ，则阴影部分的面积为 （结果保留p）6p【答案】5【解析】【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出A 的度数，利用扇形面积公式计算即可【详解】解：正五边形的内角和= (5 - 2)180 = 540 ，A = 540 = 108 ，5第 9 页/共 21 页 S扇形ABE =108p22360= 6p， 56p故答案为：5【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是解答本题的关键三、解
14、答题（本大题共 9 小题，满分 72 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 解下列方程：（1） x2 - 2x - 4 = 0（2） 3x ( x - 4) = 5( x - 4)55【答案】（1） x1 = 1 +， x2 = 1 -（2） x = 4 ， x = 5123【解析】【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解【小问 1 详解】解： x2 - 2x - 4 = 0方程两边同时加上 5，即 x2 - 2x +1 = 5即( x -1)2 = 5 ，5 x -1 = ，55解得： x1 = 1 +， x2 = 1 -【小问
15、2 详解】解： 3x ( x - 4) = 5( x - 4) ( x - 4)(3x - 5) = 0 ， x - 4 = 0, 3x - 5 = 0 ， 解得： x = 4 ， x = 5 123【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键18. 如图， V ABC 的三个顶点 A、B、C 都在格点上，坐标分别为(-2, 4) 、(-2, 0) 、(-4,1) （1） 画出V ABC 绕着点 O 顺时针旋转90 得到的A1B1C1 ；（2） 写出点C1 的坐标【答案】（1）画图见解析（2） (1, 4)【解析】【分析】（1）分别确定 A，B，C 绕 O 点顺时针旋
16、转90 后的A1B1C1 ，从而可得答案；（2）根据C1 的位置可得其坐标【小问 1 详解】解：如图，A1B1C1 即为所求；【小问 2 详解】由C1 的位置可得坐标为： (1, 4) ；【点睛】本题考查的是坐标与图形，画旋转图形，掌握旋转的性质并进行画图是解本题的关键19. 已知关于 x 的方程 x2+ax+16=0，（1） 若这个方程有两个相等的实数根，求 a 的值（2） 若这个方程有一个根是 2，求 a 的值及另外一个根【答案】（1）a=8 或8；（2）a=10，方程的另一个根为 8【解析】第 11 页/共 21 页【分析】（1）由题意可得方程的判别式=0，由此可得关于 a 的方程，解方
17、程即得结果；（2）把 x=2 代入原方程即可求出 a，然后再解方程即可求出方程的另一个根【详解】解：（1）方程 x2+ax+16=0 有两个相等的实数根，a24116=0， 解得 a=8 或8；（2）方程 x2+ax+16=0 有一个根是 2，22+2a+16=0，解得 a=10； 此时方程为 x210x+16=0， 解得 x1=2，x2=8；a=10，方程的另一个根为 8【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键20. 如图，在RtABC 中，ACB = 90 ，A = 32 ，以直角顶点 C 为旋转中心，将V AB
18、C 旋转到V ABC的位置，其中 A ， B 分别是 A，B 的对应点，且点 B 在斜边 AB 上，直角边CA 交 AB 于 D，求BDC 的度数【答案】96【解析】【分析】由内角和定理求出ABC = 58，由旋转的性质得到B = CBA = 58 ， BC = BC ，得到CBB = BBC = 58 ，再由三角形内角和定理求出ABD = 64 ，由三角形外角的性质求出BDC 的度数即可【详解】解： ACB = 90 ， A = 32 ， ABC = 180 - ABC - A = 58，以直角顶点 C 为旋转中心，将V ABC 旋转到V ABC的位置， B = CBA = 58 ， BC
19、= BC ， CBB = BBC = 58 ， ABD = 180 - ABC - BBC = 180 - 58 - 58 = 64， BDC = A + ABD = 32 + 64 = 96 【点睛】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键21. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为 2.5m，地面入口宽为 1m，求该门洞的半径【答案】该门洞的半径为1.3m 【解析】【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解
20、即可【详解】解：如图，连接OA ，设圆心为点 O，洞高为 DC = 2.5m ，入口宽为 AB = 1m ，门洞的半径为 xm ，根据题意，得OC = (2.5 - x) m ， AC = 1 AB = 0.5m ，2根据勾股定理，得 x2 = (2.5 - x)2 + (0.5)2 ，解得 x = 1.3 ，答：该门洞的半径为1.3m 22. 某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如下两幅不完整的统计图第 13 页/共
21、21 页根据图中提供的信息，解答下列问题：（1） 本次被调查的学生有人；（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；（3） 通过了解，喜爱“航模”的学生中有 2 名男生和 2 名女生曾在市航模比赛中获奖，现从这 4 个人中随机选取 2 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率2【答案】（1）60；（2）图详见解析，144；（3）3【解析】【分析】（1）由摄影小组的人数及其对应的百分比可得总人数；（2） 用（1）得到的总人数减去其它各小组的人数即可得到航模小组的人数，从而补全条形统计图，再用航模小组的人
22、数除以总人数乘以 360即可得到“航模”所对应的圆心角的度数；（3） 根据题意列表得出所有等可能的结果数和“恰好是 1 名男生和 1 名女生”的结果数，再根据概率公式即可得到答案【详解】解：（1）915%=60（人）（2） 60 - 9 -15 -12 = 24 （人） 补全条形统计图如图360 24 = 14460答：在扇形统计图中“航模”所对应圆心角的度数为 144（3）解：设两名男生分别为男1 ，男 2 ，两名女生分别为女1 ，女 2 ，列表如下：男1男 2女1女 2男1（男 2 ，男1 ）（女1 ，男1 ）（女 2 ，男1 ）男 2（男1 ，男 2 ）（女1 ，男 2 ）（女 2 ，男
23、 2 ）女1（男1 ，女1 ）（男 2 ，女1 ）（女 2 ，女1 ）女 2（男1 ，女 2 ）（男 2 ，女 2 ）（女1 ，女 2 ）由表格可以看出，所有可能出现的结果有 12 种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好是 1 名男生和 1名女生的情况有 8 种 P(1男1女) = 8 = 2 123【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形图和扇形统计图用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价 50 元，每天销售量 y（桶）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示（1） 求 y 与 x 之
24、间的函数表达式；（2） 每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润=销售价- 进价）【答案】（1）函数的表达式为：y=-2x+220；（2）80 元，1800 元【解析】第 15 页/共 21 页【分析】（1）设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=kx+b， ，将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式，即可求解；（2）由题意得 w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，即可求解【详解】（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为：y=kx+b， 将点（60，100）、（70，80）代入一次函数表达式得：10060
25、k + b，8070k + bk- 2解得： ，b220故函数的表达式为：y=-2x+220；（2）设药店每天获得的利润为 W 元，由题意得： w=（x-50）（-2x+220）=-2（x-80）2+1800，-20，函数有最大值，当 x=80 时，w 有最大值，此时最大值是 1800，故销售单价定为 80 元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润 1800 元【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润=w 得出函数关系式是解题关键24. 已知 A(-4, 2) 、 B (n, -4) 两点是一次函数 y = kx + b 和反比例函数
26、y = m 图象的两个交点，点 P 坐x标为(n, 0) （1） 求一次函数和反比例函数的解析式；（2） 求V AOB 的面积；（3） 观察图象，直接写出不等式 kx + b - m 0 的解集；x（4） 若V ABP 为直角三角形，直接写出 n 值【答案】（1） y = - 8 ，y =-x - 2x（2） SV AOB = 6（3） 不等式 kx + b - m 0 的解集为： x-4 或0 x 0 的解集为： x-4 或0 x 2 .x【小问 4 详解】Q P (n, 0) ， A(-4, 2) ， B (2, -4) ， AB2 = (2 + 4)2 + (-4 - 2)2 = 72
27、， PA2 = (n + 4)2 + 22 = n2 + 8m + 20 ，PB2 = (n - 2)2 + 42 = n2 - 4n + 20当 AB 是斜边时， PA2 + PB 2 = AB2 n2 + 8m + 20 + n2 - 4n + 20 = 721717解得: n = -1-或 n = -1+.当 AP 是斜边时， AB2 + PB 2 = PA2 72 + n2 - 4n + 20 = n2 + 8m + 20解得: n = 6当 BP 是斜边时， PA2 +AB2 = PB 2 n2 + 8m + 20 + 72 = n2 - 4n + 20解得: n = -61717
28、n 的值为：-6，6， -1-， -1+.【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数结合，勾股定理，解一元二次方程，第三问中注意分类分类是解题的关键25. 如图， 在平面直角坐标系中， 已知点 B 的坐标为 (-1, 0) ， 且 OA = OC = 5OB ， 抛物线y = ax2 + bx + c (a 0) 图象经过 A，B，C 三点（1） 求 A，C 两点的坐标；（2） 求抛物线的解析式；（3） 若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD AC 于点 D，当 PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及 PD 的最大值【答案】（1） A(5, 0), C (0, -5)（2） y
29、 = x2 - 4x - 5（3） P 5 , - 35 ， PD 的最大值为 25 2248【解析】【分析】（1）根据OA = OC = 5OB = 5 ，即可求解；（2） 设抛物线的表达式为： y = a ( x +1)( x - 5) ，再把点C (0, -5) 代入，即可求解；（3） 先求出直线 CA 的表达式，然后过点 P 作 y 轴的平行线交 CA 于点 H，根据 OA = OC = 5 ，可得第 19 页/共 21 页PD =2 PH ，设点 P (x，x2 - 4x - 5)2，则点 H ( x, x - 5) ，可得 PD 的长，再根据二次函数的性质，即可求解【小问 1 详解
30、】解：点 B 的坐标为(-1, 0) ， OB = 1， OA = OC = 5OB ， OA = OC = 5 ，点 A(5, 0), C (0, -5) ；【小问 2 详解】解：设抛物线的表达式为： y = a ( x +1)( x - 5) ， 把点C (0, -5) 代入得： -5a = -5 ，解得： a = 1 ，故抛物线的表达式为： y = ( x + 1)( x - 5) = x2 - 4x - 5 ；【小问 3 详解】解：直线CA 过点C (0, -5) ，可设其函数表达式为： y = kx - 5 ， 将点 A(5, 0) 代入得： 5k - 5 = 0解得： k = 1
31、，故直线CA 的表达式为： y = x - 5 ， 过点 P 作 y 轴的平行线交CA 于点 H， OA = OC = 5 ，OAC = OCA = 45 ， PH y 轴，PHD = OCA = 45 ， PD = PH ， PD AC ，第 21 页/共 21 页 PD =2 PH ，2设点 P (x，x2 - 4x - 5) ，则点 H ( x, x - 5) ，225 2225 25 2 PD =(x - 5 - x2 + 4x + 5) = -x2 +x = - x - +，2222 2 8 -2 0 ，2 PD 有最大值，当 x = 5 时，其最大值为 25 2 ，28 2 4此时点 P 5 , - 35 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、等腰直角三角形的性质、图象的面积计算等， 其中（3），用函数关系表示 PD ，是本题解题的关键
